(# a (vx) =) # b (vx) = # c (vx) > 0 , dass b’s und c’s in der falschen Reihenfolge auftreten.

(1)

Beispiel 62

Wir wollen sehen, dass die Sprache {a ⁱ b ⁱ c ⁱ ; i ∈ N 0 } nicht kontextfrei ist.

W¨ are sie kontextfrei, so k¨ onnten wir das Wort a ⁿ b ⁿ c ⁿ (n die Konstante aus dem Pumping-Lemma) aufpumpen, ohne aus der Sprache herauszufallen. Wir sehen aber leicht, dass das Teilwort v nur aus a’s bestehen kann und bei jeder m¨ oglichen Verteilung des Teilworts x Pumpen entweder die Anzahl der a’s, b’s und c’s unterschiedlich ¨ andert oder, wenn

(# a (vx) =) # b (vx) = # c (vx) > 0 , dass b’s und c’s in der falschen Reihenfolge auftreten.

Info IV 4.4 Das Pumping-Lemma und Ogdens Lemma f¨ur kontextfreie Sprachen 114/164 c

Ernst W. Mayr

(2)

Zur Vereinfachung von Beweisen wie in dem gerade gesehenen Beispiel f¨ uhren wir die folgende Versch¨ arfung des

Pumping-Lemmas ein:

Satz 63 (Ogdens Lemma)

F¨ ur jede kontextfreie Sprache L gibt es eine Konstante n ∈ N , so dass f¨ ur jedes Wort z ∈ L mit |z| ≥ n die folgende Aussage gilt:

Werden in z mindestens n (beliebige) Buchstaben markiert, so l¨ asst sich z zerlegen in

z = uvwxy, so dass

1

in vx mindestens ein Buchstabe und

2

in vwx h¨ ochstens n Buchstaben markiert sind und

3

(∀i ∈ N 0 )[uv ⁱ wx ⁱ y ∈ L] .

Bemerkung: Das Pumping-Lemma ist eine triviale Folgerung aus Ogdens Lemma (markiere alle Buchstaben in z).

Ernst W. Mayr

(3)

Beweis:

Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik in Chomsky-Normalform mit L(G) = L. W¨ ahle n = 2 ^|V ^|+1 . Sei z ∈ L und seien in z mindestens n Buchstaben markiert. In einem Ableitungsbaum f¨ ur z markieren wir alle (inneren) Knoten, deren linker und rechter Teilbaum jeweils mindestens ein markiertes Blatt enthalten. Es ist nun offensichtlich, dass es einen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt gibt, auf dem mindestens |V | + 1 markierte innere Knoten liegen.

Info IV 116/164

c

Ernst W. Mayr

(4)

Beweis:

. . .

Wir betrachten die letzten |V | + 1 markierten inneren Knoten eines Pfades mit maximaler Anzahl markierter Knoten; nach dem

Schubfachprinzip sind zwei mit demselben Nichtterminal, z.B. A, markiert. Wir nennen diese Knoten v 1 und v 2 . Seien die Bl¨ atter des Teilbaumes mit der Wurzel v ₂ insgesamt mit w und die Bl¨ atter des Teilbaumes mit der Wurzel v ₁ insgesamt mit vwx beschriftet. Es ist dann klar, dass die folgende Ableitung m¨ oglich ist:

S → ^∗ uAy → ^∗ uvAxy → ^∗ uvwxy .

Es ist auch klar, dass der Mittelteil dieser Ableitung weggelassen oder beliebig oft wiederholt werden kann.

Info IV 116/164

c

Ernst W. Mayr

(5)

Beweis:

. . .

Es bleibt noch zu sehen, dass vx mindestens einen und vwx h¨ ochstens n markierte Buchstaben enth¨ alt. Ersteres ist klar, da auch der Unterbaum von v ₁ , der v ₂ nicht enth¨ alt, ein markiertes Blatt haben muss.

Letzteres ist klar, da der gew¨ ahlte Pfad eine maximale Anzahl von markierten inneren Knoten hatte und unterhalb von v ₁ nur noch h¨ ochstens |V | markierte Knoten auf diesem Pfad sein k¨ onnen. Der Teilbaum mit Wurzel v ₁ kann also maximal 2 ^|V ^|+1 = n markierte Bl¨ atter haben. Formal kann man z.B. zeigen, dass ein Unterbaum, der auf jedem Ast maximal k markierte (innere) Knoten enth¨ alt, h¨ ochstens 2 ^k markierte Bl¨ atter enth¨ alt.

Ernst W. Mayr

(6)

Beispiel 64

L = {a ⁱ b ^j c ^k d ^l ; i = 0 oder j = k = l} .

Sei n die Konstante aus Ogdens Lemma. Betrachte das Wort ab ⁿ c ⁿ d ⁿ und markiere darin bc ⁿ d. Nun gibt es eine Zerlegung ab ⁿ c ⁿ d ⁿ = uvwxy, so dass vx mindestens ein markiertes Symbol enth¨ alt und uv ² wx ² y ∈ L.

Es ist jedoch leicht zu sehen, dass dies einen Widerspruch liefert, da vx h¨ ochstens zwei verschiedene der Symbole b, c, d enthalten kann, damit beim Pumpen nicht die Reihenfolge durcheinander kommt.

Ernst W. Mayr

(7)

4.5 Algorithmen f¨ ur kontextfreie Sprachen/Grammatiken

Satz 65

Sie G = (V, Σ, P, S) kontextfrei. Dann kann die Menge V ⁰ der Variablen A ∈ V , f¨ ur die gilt:

(∃w ∈ Σ ^∗ )[A → ^∗ w]

in Zeit O(|V | · s(G)) berechnet werden.

Beweis:

Betrachte folgenden Algorithmus:

∆ := {A ∈ V ; (∃(A → w) ∈ P mit w ∈ Σ ^∗ }; V ⁰ := ∅;

while ∆ 6= ∅ do V ⁰ := V ⁰ ∪ ∆

∆ := {A ∈ V \ V ⁰ ; (∃A → α) ∈ P mit α ∈ (V ⁰ ∪ Σ) ^∗ } od

Induktion ¨ uber die L¨ ange der Ableitung.

Info IV 4.5 Algorithmen f¨ur kontextfreie Sprachen/Grammatiken 118/164 c

Ernst W. Mayr

(8)

Definition 66

A ∈ V heißt nutzlos, falls es keine Ableitung S → ^∗ w, w ∈ Σ ^∗ gibt, in der A vorkommt.

Satz 67

Die Menge der nutzlosen Variablen kann in Zeit O(|V | · s(G)) bestimmt werden.

Ernst W. Mayr

(9)

Beweis:

Sei V ⁰⁰ die Menge der nicht nutzlosen Variablen.

Offensichtlich gilt: V ⁰⁰ ⊆ V ⁰ (V ⁰ aus dem vorigen Satz).

Falls S 6∈ V ⁰ , dann sind alle Variablen nutzlos.

Ansonsten:

∆ := {S}; V ⁰⁰ := ∅;

while ∆ 6= ∅ do V ⁰⁰ := V ⁰⁰ ∪ ∆

∆ := {B ∈ V ⁰ \ V ⁰⁰ ; (∃A → αBβ) ∈ P mit A ∈ V ⁰⁰ , α, β ∈ (V ⁰ ∪ Σ) ^∗ }

od

Induktion ¨ uber L¨ ange der Ableitung: Am Ende des Algorithmus ist V ⁰⁰ gleich der Menge der nicht nutzlosen Variablen.

Bemerkung: Alle nutzlosen Variablen und alle Produktionen, die nutzlose Variablen enthalten, k¨ onnen aus der Grammatik entfernt werden, ohne die erzeugte Sprache zu ¨ andern.

Ernst W. Mayr

(10)

Korollar 68

F¨ ur eine kontextfreie Grammatik G kann in Zeit O(|V | · s(G)) entschieden werden, ob L(G) = ∅.

Beweis:

L(G) = ∅ ⇐⇒ S 6∈ V ⁰⁰ (bzw. S 6∈ V ⁰ )

Ernst W. Mayr

(11)

Satz 69

F¨ ur eine kontextfreie Grammatik G = (V, Σ, P, S) ohne nutzlose Variablen und in Chomsky-Normalform kann in linearer Zeit entschieden werden, ob

|L(G)| < ∞ .

Beweis:

Definiere gerichteten Hilfsgraphen mit Knotenmenge V und Kante A → B ⇐⇒ (A → BC) oder (A → CB) ∈ P . L(G) ist endlich ⇐⇒ dieser Graph enth¨ alt keinen Zyklus.

Verwende DFS, um in linearer Zeit festzustellen, ob der Graph Zyklen enth¨ alt.

Ernst W. Mayr

(12)

Satz 70

Seien kontextfreie Grammatiken G ₁ = (V ₁ , Σ ₁ , P ₁ , S ₁ ) und G 2 = (V 2 , Σ 2 , P 2 , S 2 ) gegeben. Dann k¨ onnen in linearer Zeit kontextfreie Grammatiken f¨ ur

1

L(G 1 ) ∪ L(G 2 ),

2

L(G 1 )L(G 2 ),

3

(L(G ₁ )) ^∗

konstruiert werden. Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist also unter Vereinigung, Konkatenation und Kleene’scher H¨ ulle

abgeschlossen.

Ernst W. Mayr

(13)

Beweis:

Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass V 1 ∩ V 2 = ∅.

1

V = V ₁ ∪ V ₂ ∪ {S}; S neu P = P ₁ ∪ P ₂ ∪ {S → S ₁ |S ₂ }

2

V = V ₁ ∪ V ₂ ∪ {S}; S neu P = P 1 ∪ P 2 ∪ {S → S 1 S 2 }

3

V = V ₁ ∪ {S, S ⁰ }; S, S ⁰ neu

P = P 1 ∪ {S → S ⁰ |, S ⁰ → S 1 S ⁰ |S ₁ }

Falls ∈ L(G 1 ) oder ∈ L(G 2 ), sind noch Korrekturen vorzunehmen, die hier als ¨ Ubungsaufgabe ¨ uberlassen bleiben.

Ernst W. Mayr

(14)

Satz 71

Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist nicht abgeschlossen unter Durchschnitt oder Komplement.

Beweis:

Es gen¨ ugt zu zeigen (wegen de Morgan (1806–1871)): nicht abgeschlossen unter Durchschnitt.

L 1 := {a ⁱ b ⁱ c ^j ; i, j ≥ 0} ist kontextfrei L 2 := {a ⁱ b ^j c ^j ; i, j ≥ 0} ist kontextfrei L ₁ ∩ L ₂ = {a ⁱ b ⁱ c ⁱ ; i ≥ 0} ist nicht kontextfrei

Ernst W. Mayr

(15)

Satz 72

Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen gegen¨ uber Substitution (mit kontextfreien Mengen).

Beweis:

Ersetze jedes Terminal a durch ein neues Nichtterminal S a und f¨ uge zu den Produktionen P f¨ ur jedes Terminal a die Produktionen einer kontextfreien Grammatik G _a = (V _a , Σ, P _a , S _a ) hinzu.

Forme die so erhaltene Grammatik in eine ¨ aquivalente Chomsky-2-Grammatik um.

Ernst W. Mayr

(16)

4.6 Greibach-Normalform

Definition 73

Sei G = (V, Σ, P, S) eine kontextfreie Grammatik. G ist in Greibach-Normalform (benannt nach Sheila Greibach (UCLA)), falls jede Produktion 6= S → von der Form

A → aα mit a ∈ Σ, α ∈ V ^∗ ist.

Lemma 74

Sei G = (V, Σ, P, S) kontextfrei, (A → α ₁ Bα ₂ ) ∈ P, und sei B → β 1 |β ₂ | . . . |β _r die Menge der B -Produktionen (also die Menge der Produktionen mit B auf der linken Seite). Ersetzt man

A → α ₁ Bα ₂ durch A → α ₁ β ₁ α ₂ |α ₁ β ₂ α ₂ | . . . |α ₁ β _r α ₂ , so ¨ andert sich die von der Grammatik erzeugte Sprache nicht.

Info IV 4.6 Greibach-Normalform 127/164

c

Ernst W. Mayr

(17)

Lemma 75

Sei G = (V, Σ, P, S) kontextfrei, sei A → Aα ₁ |Aα ₂ | . . . |Aα _r die Menge der linksrekursiven A-Produktionen (alle α i 6= , die Produktion A → A kommt o.B.d.A. nicht vor), und seien A → β ₁ |β ₂ | . . . |β _s die restlichen A-Produktionen (ebenfalls alle β i 6= ).

Ersetzen wir alle A-Produktionen durch

A → β ₁ | . . . |β _s |β ₁ A ⁰ | . . . |β _s A ⁰ A ⁰ → α 1 | . . . |α _r |α ₁ A ⁰ | . . . |α _r A ⁰ ,

wobei A ⁰ ein neues Nichtterminal ist, so ¨ andert sich die Sprache nicht, und die neue Grammatik enth¨ alt keine linksrekursive A-Produktion mehr.

c

Ernst W. Mayr

(18)

Beweis:

Von A lassen sich vor der Transformation alle Zeichenreihen der Form

(β ₁ |β ₂ | . . . |β _s )(α ₁ |α ₂ | . . . |α _r ) ⁺ ableiten.

Dies ist auch nach der Transformation der Fall. W¨ ahrend vor der Transformation alle Zeichenreihen der obigen Form von rechts her aufgebaut werden, werden sie danach von links nach rechts erzeugt.

Die Umkehrung gilt ebenso.

c

Ernst W. Mayr

(19)

Satz 76

Zu jeder kontextfreien Grammatik G gibt es eine ¨ aquivalente Grammatik in Greibach-Normalform.

c

Ernst W. Mayr

(20)

Beweis:

Sei o.B.d.A. G = (V, Σ, P, S) mit V = {A ₁ , . . . , A _m } in Chomsky-Normalform und enthalte keine nutzlosen Variablen.

Bemerkung: Im folgenden Algorithmus werden ggf neue Variablen hinzugef¨ ugt, die Programmvariable m ¨ andert sich dadurch

entsprechend!

Info IV 131/164

c

Ernst W. Mayr

(21)

Beweis:

for k = 1, . . . , m do for j = 1, . . . , k − 1 do

for all (A _k → A _j α) ∈ P do

ersetze die Produktion gem¨ aß der Konstruktion in Lemma 74

od od

co die rechte Seite keiner A _k

⁰

-Produktion, k ⁰ < k, beginnt nun noch mit einer Variablen A _j , j < k oc

ersetze alle linksrekursiven A _k -Produktionen gem¨ aß der Konstruktion in Lemma 75

co die rechte Seite keiner A _k

⁰

-Produktion, k ⁰ ≤ k, beginnt nun noch mit einer Variablen A _j , j ≤ k oc

od

c

Ernst W. Mayr

(22)

(# a (vx) =) # b (vx) = # c (vx) > 0 , dass b’s und c’s in der falschen Reihenfolge auftreten.

Beispiel 62

Wir wollen sehen, dass die Sprache {a i b i c i ; i ∈ N 0 } nicht kontextfrei ist.

(# a (vx) =) # b (vx) = # c (vx) > 0 , dass b’s und c’s in der falschen Reihenfolge auftreten.

Zur Vereinfachung von Beweisen wie in dem gerade gesehenen Beispiel f¨ uhren wir die folgende Versch¨ arfung des

Pumping-Lemmas ein:

Satz 63 (Ogdens Lemma)

F¨ ur jede kontextfreie Sprache L gibt es eine Konstante n ∈ N , so dass f¨ ur jedes Wort z ∈ L mit |z| ≥ n die folgende Aussage gilt:

Werden in z mindestens n (beliebige) Buchstaben markiert, so l¨ asst sich z zerlegen in

z = uvwxy, so dass

in vx mindestens ein Buchstabe und

in vwx h¨ ochstens n Buchstaben markiert sind und

(∀i ∈ N 0 )[uv i wx i y ∈ L] .

Bemerkung: Das Pumping-Lemma ist eine triviale Folgerung aus Ogdens Lemma (markiere alle Buchstaben in z).

Beweis:

Beweis:

. . .

Wir betrachten die letzten |V | + 1 markierten inneren Knoten eines Pfades mit maximaler Anzahl markierter Knoten; nach dem

S → ∗ uAy → ∗ uvAxy → ∗ uvwxy .

Es ist auch klar, dass der Mittelteil dieser Ableitung weggelassen oder beliebig oft wiederholt werden kann.

Beweis:

. . .

Es bleibt noch zu sehen, dass vx mindestens einen und vwx h¨ ochstens n markierte Buchstaben enth¨ alt. Ersteres ist klar, da auch der Unterbaum von v 1 , der v 2 nicht enth¨ alt, ein markiertes Blatt haben muss.

Beispiel 64

L = {a i b j c k d l ; i = 0 oder j = k = l} .

Sei n die Konstante aus Ogdens Lemma. Betrachte das Wort ab n c n d n und markiere darin bc n d. Nun gibt es eine Zerlegung ab n c n d n = uvwxy, so dass vx mindestens ein markiertes Symbol enth¨ alt und uv 2 wx 2 y ∈ L.

Es ist jedoch leicht zu sehen, dass dies einen Widerspruch liefert, da vx h¨ ochstens zwei verschiedene der Symbole b, c, d enthalten kann, damit beim Pumpen nicht die Reihenfolge durcheinander kommt.

4.5 Algorithmen f¨ ur kontextfreie Sprachen/Grammatiken

Satz 65

Sie G = (V, Σ, P, S) kontextfrei. Dann kann die Menge V 0 der Variablen A ∈ V , f¨ ur die gilt:

(∃w ∈ Σ ∗ )[A → ∗ w]

in Zeit O(|V | · s(G)) berechnet werden.

Beweis:

Betrachte folgenden Algorithmus:

∆ := {A ∈ V ; (∃(A → w) ∈ P mit w ∈ Σ ∗ }; V 0 := ∅;

while ∆ 6= ∅ do V 0 := V 0 ∪ ∆

∆ := {A ∈ V \ V 0 ; (∃A → α) ∈ P mit α ∈ (V 0 ∪ Σ) ∗ } od

Induktion ¨ uber die L¨ ange der Ableitung.

Definition 66

A ∈ V heißt nutzlos, falls es keine Ableitung S → ∗ w, w ∈ Σ ∗ gibt, in der A vorkommt.

Satz 67

Die Menge der nutzlosen Variablen kann in Zeit O(|V | · s(G)) bestimmt werden.

Beweis:

Sei V 00 die Menge der nicht nutzlosen Variablen.

Offensichtlich gilt: V 00 ⊆ V 0 (V 0 aus dem vorigen Satz).

Falls S 6∈ V 0 , dann sind alle Variablen nutzlos.

Ansonsten:

∆ := {S}; V 00 := ∅;

while ∆ 6= ∅ do V 00 := V 00 ∪ ∆

∆ := {B ∈ V 0 \ V 00 ; (∃A → αBβ) ∈ P mit A ∈ V 00 , α, β ∈ (V 0 ∪ Σ) ∗ }

od

Induktion ¨ uber L¨ ange der Ableitung: Am Ende des Algorithmus ist V 00 gleich der Menge der nicht nutzlosen Variablen.

Bemerkung: Alle nutzlosen Variablen und alle Produktionen, die nutzlose Variablen enthalten, k¨ onnen aus der Grammatik entfernt werden, ohne die erzeugte Sprache zu ¨ andern.

Korollar 68

F¨ ur eine kontextfreie Grammatik G kann in Zeit O(|V | · s(G)) entschieden werden, ob L(G) = ∅.

Beweis:

L(G) = ∅ ⇐⇒ S 6∈ V 00 (bzw. S 6∈ V 0 )

Satz 69

F¨ ur eine kontextfreie Grammatik G = (V, Σ, P, S) ohne nutzlose Variablen und in Chomsky-Normalform kann in linearer Zeit entschieden werden, ob

|L(G)| < ∞ .

Beweis:

Definiere gerichteten Hilfsgraphen mit Knotenmenge V und Kante A → B ⇐⇒ (A → BC) oder (A → CB) ∈ P . L(G) ist endlich ⇐⇒ dieser Graph enth¨ alt keinen Zyklus.

Verwende DFS, um in linearer Zeit festzustellen, ob der Graph Zyklen enth¨ alt.

Satz 70

Seien kontextfreie Grammatiken G 1 = (V 1 , Σ 1 , P 1 , S 1 ) und G 2 = (V 2 , Σ 2 , P 2 , S 2 ) gegeben. Dann k¨ onnen in linearer Zeit kontextfreie Grammatiken f¨ ur

L(G 1 ) ∪ L(G 2 ),

L(G 1 )L(G 2 ),

(L(G 1 )) ∗

konstruiert werden. Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist also unter Vereinigung, Konkatenation und Kleene’scher H¨ ulle

abgeschlossen.

Beweis:

Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass V 1 ∩ V 2 = ∅.

V = V 1 ∪ V 2 ∪ {S}; S neu P = P 1 ∪ P 2 ∪ {S → S 1 |S 2 }

V = V 1 ∪ V 2 ∪ {S}; S neu P = P 1 ∪ P 2 ∪ {S → S 1 S 2 }

V = V 1 ∪ {S, S 0 }; S, S 0 neu

P = P 1 ∪ {S → S 0 |, S 0 → S 1 S 0 |S 1 }

Falls ∈ L(G 1 ) oder ∈ L(G 2 ), sind noch Korrekturen vorzunehmen, die hier als ¨ Ubungsaufgabe ¨ uberlassen bleiben.

Satz 71

Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist nicht abgeschlossen unter Durchschnitt oder Komplement.

Beweis:

Wir wollen sehen, dass die Sprache {a ⁱ b ⁱ c ⁱ ; i ∈ N 0 } nicht kontextfrei ist.

(∀i ∈ N 0 )[uv ⁱ wx ⁱ y ∈ L] .

S → ^∗ uAy → ^∗ uvAxy → ^∗ uvwxy .

Es bleibt noch zu sehen, dass vx mindestens einen und vwx h¨ ochstens n markierte Buchstaben enth¨ alt. Ersteres ist klar, da auch der Unterbaum von v ₁ , der v ₂ nicht enth¨ alt, ein markiertes Blatt haben muss.

L = {a ⁱ b ^j c ^k d ^l ; i = 0 oder j = k = l} .

Sei n die Konstante aus Ogdens Lemma. Betrachte das Wort ab ⁿ c ⁿ d ⁿ und markiere darin bc ⁿ d. Nun gibt es eine Zerlegung ab ⁿ c ⁿ d ⁿ = uvwxy, so dass vx mindestens ein markiertes Symbol enth¨ alt und uv ² wx ² y ∈ L.

Sie G = (V, Σ, P, S) kontextfrei. Dann kann die Menge V ⁰ der Variablen A ∈ V , f¨ ur die gilt:

(∃w ∈ Σ ^∗ )[A → ^∗ w]

∆ := {A ∈ V ; (∃(A → w) ∈ P mit w ∈ Σ ^∗ }; V ⁰ := ∅;

while ∆ 6= ∅ do V ⁰ := V ⁰ ∪ ∆

∆ := {A ∈ V \ V ⁰ ; (∃A → α) ∈ P mit α ∈ (V ⁰ ∪ Σ) ^∗ } od

A ∈ V heißt nutzlos, falls es keine Ableitung S → ^∗ w, w ∈ Σ ^∗ gibt, in der A vorkommt.

Sei V ⁰⁰ die Menge der nicht nutzlosen Variablen.

Offensichtlich gilt: V ⁰⁰ ⊆ V ⁰ (V ⁰ aus dem vorigen Satz).

Falls S 6∈ V ⁰ , dann sind alle Variablen nutzlos.

∆ := {S}; V ⁰⁰ := ∅;

while ∆ 6= ∅ do V ⁰⁰ := V ⁰⁰ ∪ ∆

∆ := {B ∈ V ⁰ \ V ⁰⁰ ; (∃A → αBβ) ∈ P mit A ∈ V ⁰⁰ , α, β ∈ (V ⁰ ∪ Σ) ^∗ }

Induktion ¨ uber L¨ ange der Ableitung: Am Ende des Algorithmus ist V ⁰⁰ gleich der Menge der nicht nutzlosen Variablen.

L(G) = ∅ ⇐⇒ S 6∈ V ⁰⁰ (bzw. S 6∈ V ⁰ )

Seien kontextfreie Grammatiken G ₁ = (V ₁ , Σ ₁ , P ₁ , S ₁ ) und G 2 = (V 2 , Σ 2 , P 2 , S 2 ) gegeben. Dann k¨ onnen in linearer Zeit kontextfreie Grammatiken f¨ ur

(L(G ₁ )) ^∗

V = V ₁ ∪ V ₂ ∪ {S}; S neu P = P ₁ ∪ P ₂ ∪ {S → S ₁ |S ₂ }

V = V ₁ ∪ V ₂ ∪ {S}; S neu P = P 1 ∪ P 2 ∪ {S → S 1 S 2 }

V = V ₁ ∪ {S, S ⁰ }; S, S ⁰ neu

P = P 1 ∪ {S → S ⁰ |, S ⁰ → S 1 S ⁰ |S ₁ }

L 1 := {a ⁱ b ⁱ c ^j ; i, j ≥ 0} ist kontextfrei L 2 := {a ⁱ b ^j c ^j ; i, j ≥ 0} ist kontextfrei L ₁ ∩ L ₂ = {a ⁱ b ⁱ c ⁱ ; i ≥ 0} ist nicht kontextfrei

Ersetze jedes Terminal a durch ein neues Nichtterminal S a und f¨ uge zu den Produktionen P f¨ ur jedes Terminal a die Produktionen einer kontextfreien Grammatik G _a = (V _a , Σ, P _a , S _a ) hinzu.

A → aα mit a ∈ Σ, α ∈ V ^∗ ist.

Sei G = (V, Σ, P, S) kontextfrei, (A → α ₁ Bα ₂ ) ∈ P, und sei B → β 1 |β ₂ | . . . |β _r die Menge der B -Produktionen (also die Menge der Produktionen mit B auf der linken Seite). Ersetzt man

A → α ₁ Bα ₂ durch A → α ₁ β ₁ α ₂ |α ₁ β ₂ α ₂ | . . . |α ₁ β _r α ₂ , so ¨ andert sich die von der Grammatik erzeugte Sprache nicht.

Sei G = (V, Σ, P, S) kontextfrei, sei A → Aα ₁ |Aα ₂ | . . . |Aα _r die Menge der linksrekursiven A-Produktionen (alle α i 6= , die Produktion A → A kommt o.B.d.A. nicht vor), und seien A → β ₁ |β ₂ | . . . |β _s die restlichen A-Produktionen (ebenfalls alle β i 6= ).

A → β ₁ | . . . |β _s |β ₁ A ⁰ | . . . |β _s A ⁰ A ⁰ → α 1 | . . . |α _r |α ₁ A ⁰ | . . . |α _r A ⁰ ,

wobei A ⁰ ein neues Nichtterminal ist, so ¨ andert sich die Sprache nicht, und die neue Grammatik enth¨ alt keine linksrekursive A-Produktion mehr.

(β ₁ |β ₂ | . . . |β _s )(α ₁ |α ₂ | . . . |α _r ) ⁺ ableiten.

Sei o.B.d.A. G = (V, Σ, P, S) mit V = {A ₁ , . . . , A _m } in Chomsky-Normalform und enthalte keine nutzlosen Variablen.

for all (A _k → A _j α) ∈ P do

co die rechte Seite keiner A _k

-Produktion, k ⁰ < k, beginnt nun noch mit einer Variablen A _j , j < k oc

ersetze alle linksrekursiven A _k -Produktionen gem¨ aß der Konstruktion in Lemma 75

co die rechte Seite keiner A _k

-Produktion, k ⁰ ≤ k, beginnt nun noch mit einer Variablen A _j , j ≤ k oc