Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2018
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 3
Aufgabe 1. Gegeben seien die folgenden Mengen:
M={n∈N|n−1 ist teilbar durch 5∧n <32} N ={n∈N| ∃k∈N:n+ 1 = 4k∧n <32}
P ={n∈N|x4−13x2+ 36 = 0} Q={n2|n∈N∧n≤5}.
(a) Geben Sie die Mengen in aufzählender Schreibweise an.
(b) Bestimmen Sie (M∪P)\Q,(M∩P)∪Qund (M\N)\P. Aufgabe 2. Seiena, bundc(mathematische) Objekte.
(a) Es gelte{a, b}={c}. Zeigen Siea=b.
(b) Es gelte{a, b}={c, d}. Gilt danna=cundb=d?
(c) Es gelte{a, b, c}={a, d}. Zeigen Sie, dassd∈ {b, c}.
Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für Mengenoperationen:
(a) M\(N∩P) = (M\N)∪(M\P)
(b) (M∪N)\(M∩N) = (M\N)∪(N\M).
Verwenden Sie dabei zwei verschiedene Beweismethoden.
Aufgabe 4. Gilt die Gleichheit (M∩N)\P = (M\P)∪(N\P) für alle Mengen M, N undP? Überlegen Sie sich dies zuerst anhand eines Venn-Diagramms und geben Sie danach einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe 5. Berechnen/Vereinfachen Sie die folgenden Summen und Produkte:
(a) 2018P
k=0
2k (b)
200
P
k=0
(k+ 1) (c) P3
k=1
P3 j=1
(j+k) (d) Qn
k=1 k k+1.
Aufgabe 6. Beweisen Sie die vollständigen Gleichheiten mittels vollständiger Induktion:
(a) Pn
k=1
k(k+ 1) =n(n+1)(n+2) 3
(b) Pn
k=1 1
(2k−1)(2k+1)=2n+1n .
Aufgabe 7. Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für jedesn∈Nist 52n−32n durch 8 teilbar.
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Aufgabe 8. Finden Sie den Fehler im folgenden “Beweis”:
Behauptung:Es passen unendlich viele Studenten in einen Hörsaal.
Beweis.Durch vollständige Induktion.
Induktionsanfang: Ein Student passt auf jeden Fall in den Hörsaal.
Induktionsannahme: Wir nehmen an, dassnStudenten in den Hörsaal passen.
Induktionsschluss: Da ein Student im Vergleich zum Hörsaal sehr klein ist, passt ein zusätzlicher Student auch noch in den Hörsaal.
Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt nun, dassn Studenten für jedesn∈Nin den Hörsaal passen. Also passen unendlich viele Studenten in den Hörsaal.
