Theoretische Physik B, SS 2005 Ubungsblatt 4 ¨

Theoretische Physik B, SS 2005 Ubungsblatt 4 ¨

Besprechung: 23/05/2005

Institut f¨ur Theoretische Festk¨orperphysik

Prof. Dr. Gerd Sch¨on, Dr. Alexander Shnirman (11/03, Tel.: 608-6030) http://www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/˜shnirman

1. Sph¨arisches Pendel (8 Punkte)

φ x z

l θ y

Abbildung 1: Das sph¨arische Pendel.

Wir betrachten ein mathematisches Pendel (Abb. 1), das nicht nur in einer Ebene schwin- gen m¨oge. Wir benutzen Polarkoordinaten:~r = (x, y, z) = (rcosφsinθ, rsinφsinθ, rcosθ).

Wegen der Zwangsbedingung r = l sind nur θ und φ frei w¨ahlbare Koordinaten (diesmal keine N¨aherung f¨ur kleine Winkel¨anderungen benutzt werden soll).

(1a)(3 Punkte)

Dr¨ucken Sie die kinetische und potentielle EnergieT undU in Polarkoordinaten aus, und fin- den Sie die Lagrange-Funktion. Leiten Sie die Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen zweiter Art) her.

(1b) (3 Punkte)

Betrachten Sie die z-Komponente des Drehimpulses Lz. Zeigen Sie mittels der Bewegungs- gleichungen, dass diese erhalten ist. Eliminieren Sie ˙φ in den Bewegungsgleichungen, indem Sie ihn durch Lz ausdr¨ucken. Zeigen Sie (durch Multiplikation der so erhaltenen Gleichung mit ˙θ), dass die Gesamtenergie E =T +U erhalten ist.

(1c) (2 Punkte)

Schreiben Sie E in der Form E = ¹₂ml²θ˙² +Uef f(θ), und finden Sie das effektive Potential Uef f(θ). Skizzieren SieUef f(θ) f¨urLz 6= 0. Diskutieren sie f¨ur vorgegebene Werte vonE und Lz 6= 0 die Art der Bewegung. Zeichnen Sie auf Ihrer Skizze den Wert θc ein, f¨ur den ˙θ = 0 gilt, d.h. f¨ur den keine Bewegung in der θ-Richtung stattfindet.

2. Das relativistische Teilchen (4 Punkte)

Die Lagrange-Funktion eines relativistischen Teilchens lautet

L=−mc²

v u u t1−~r˙²

c² −U(~r)

1

wobei m die Masse und cdie Geschwindigkeit des Lichtes ist. Leiten Sie die Energie

E = ∂L

∂~r˙

~r˙ −L

und die Bewegungsgleichung des Teilchens her. Geben Sie die Energie f¨ur den Fall |~r| ˙ c an.

3. Der Lenzsche Vektor(8+10^∗ Punkte)

Die Lagrange-Funktion f¨ur das Kepler-Problem lautet L = ¹₂m~r˙² +α/r. In dieser ¨Ubung zeigen wir den Erhaltungssatz f¨ur den sogenannten Lenzschen Vektor:

V~Lenz =~p×L~ − mα~r

r , (L~ =~r×~p ist der Drehimpuls). (1) (3a)(4 Punkte)

Benutzen Sie die Lagrange-Gleichung zweiter Art und zeigen Sie, dass der Lenzsche Vektor V~Lenz erhalten ist.

(3b) (4 Punkte)

Zeigen Sie, dassV~Lenz·L~ = 0. Der Lenzsche Vektor liegt folglich in der Ebene der Bahn (weil diese bekanntlich senkrecht zu L~ liegt). Es seiθ der Winkel zwischen ~rund dem erhaltenen Vektor V~Lenz, d.h. ~r ·V~Lenz = rVLenzcosθ. Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt von ~r mit Gl. (1) folgende Gleichung liefert rVLenzcosθ = L²−mαr. Geben Sie die Bahnkurve r(θ) an. Skizzieren Sie die Bahnkurve f¨ur die F¨alleVLenz < mα und VLenz > mα.

(3c)^∗ Die entsprechende Symmetrie(10^∗ Punkte)

i) (4^∗ Punkte) Untersuchen Sie das erweiterte Noethersche Theorem. Betrachten Sie hier- zu eine infinitesimale Transformation ~r → ~r+δ~r, wobei δ~r = ψ(~r,~ ~r, t)˙ gilt und eine infinitesimale Gr¨oße ist. Diese Transformation liefert eine Variation der Lagrange-Funktion δL =L(~r+δ~r,~r˙+δ~r, t)˙ −L(~r,~r, t). Nehmen Sie an, dass diese Variation eine totale Zeita-˙ bleitung ist, d.h., dass es eine Funktionξ(~r,~r, t) gibt mit˙ δL= _dt^dξ(~r,~r, t). Dann besagt das˙ Theorem, dass

I = ∂L

∂~r˙ ψ~−ξ eine erhaltene Gr¨oße ist. Pr¨ufen Sie das Theorem.

ii) (6^∗ Punkte) F¨ur das Kepler-Problem, betrachten Sie jetzt die Transformation mit ψ~ = (~b×~r)˙ ×~r, wobei~b ein beliebiger Vektor ist. Zeigen Sie, dass die entsprechende VariationδL eine totale Zeitableitung mitξ=α~b·~r/rist (Hinweis: Benutzen Sie die Bewegungsgleichung).

Zeigen Sie jetzt, dass

I = 1

mV~Lenz ·~b

die erhaltene Gr¨oße ist. Da~b beliebig war, ist V~Lenz erhalten.

Hinweis: Folgende Vektoridentit¨aten sind f¨ur die Aufgabe 3 n¨utzlich: a) ~x × (~y × ~z) =

~y(~x·~z)−~z(~x·~y) und b) (~x×~y)·~z= (~y×~z)·~x= (~z×~x)·~y.

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