Mikroökonomik A, Wintersemester 2010/2011 Dr. Stefan Behringer/Dr. Alexander Westkamp
Klausur 2. Termin 29.03.2011
Klausur: Mikroökonomik A Wintersemester 2010/2011 2. Termin Musterlösung
1. Teil (Behringer)
Aufgabe 1:
a) Inkorrekt: Die Slutzky Gleichung mit Anfangsausstattung ist
∂x
∂px = ∂xc
∂px + ∂x
∂M(ω−x) sodass wennω > x, ∂p∂x
x >0 möglich ist,obgleich ∂M∂x >0.
b) i) Aus der VL wissen wir, dass für eine Cobb Douglas Produktionsfunktion mit Ska- lererträgenα+β die Kostenfunktion homogen vom Grad1/(α+β)inyist. Daher ρ= 2.
ii) Da die Firma Preisnehmer ist, setzt sie (wie in VL) p=M C also
p= 2h(w1, w2) =M C =ρh(w1, w2)yρ−1= 2h(w1, w2)y Daher wird der Profit bei y∗ = 1 maximiert.
Aufgabe 2:
a) Lagrangeansatz:
L=pxx+pyy−λ√ x+√
y−U Die Bedingungen erster Ordnung ergeben:
py√
y=px√ x
. Substitution in den Mindestnutzenlevel py
√y px +√
y =√ y
1 +py
px
=U
oder
yc= U2
1 +ppy
x
2 =p2x U2 (px+py)2
und wegen Symmetrie
xc=p2y U2 (px+py)2.
b) Lagrangeansatz:
L=√ x+√
y+λ[M −pxx−pyy]
Die Bedingungen erster Ordnung ergeben
p2yy=p2xx.
Substitution in die Budgetbeschränkung ergibt
M =pxx+py(p2x p2yx) =x
px+p2x py
oder
x= M px
py px+py
und wegen Symmetrie
y= M py
px
px+py. c) Das größtmögliche Nutzenniveau ist nun√
9 +√ 9 = 6 d) Die neuen unkompensierten Nachfragen sind
x= M px
py px+py
= 18 2
1 2 + 1 = 3
y= M py
px
px+py = 18 1
2
2 + 1 = 12.
e) Die neuen kompensierten Nachfragen beim ursprünglichen Nutzenniveau sind
xc=p2y U2
(px+py)2 = 1 62
(2 + 1)2 = 4 und
yc=p2x U2
(px+py)2 = 22 62
(2 + 1)2 = 16.
f) Aus der Hicks’schen Nachfrage: Veränderung vonx = 9auf x= 4,eine Reduktion von 5.
Aufgabe 3:
a)
M PL= 1 2
rK−1
L , M PK = 1 2
r L
K−1, RT SL,K = M PL
M PK
= K−1 L b) K = 5,daherQ=L12(5−1)12 oder L= Q42.
i) Die Kostenfunktion ist daher
C=vK +wL= 5v+wQ2 .
ii) DaherF = 5v,M C = wQ2 , AC = 5vQ +wQ4,.
c) i) Lagrangeansatz:
L=vK+wL+λ(Q−L12(K−1)12) Die B.e.O. sind
v−λ 2
r L
K−1 = 0 w−λ
2
rK−1
L = 0
Q−L12(K−1)12 = 0
Aus (1) und (2) haben wir wv = K−1L ⇒ K−1 = wLv in (3) Q−L12(wLv )12 = 0 ⇒ Q= (wv)12L⇒
L= (v w)12Q
und ausK−1 = wLv ⇒K= wLv + 1 = wv(wv)12Q+ 1 = (wv)12Q+ 1⇒
K= (w
v)12Q+ 1.
ii) Die Kostenfunktion ist
C=vK +wL=v((w
v)12Q+ 1) +w((v
w)12Q) = 2Q√
wv+v.
iii) Die Durchschnittskosten sind
AC= 2√
wv+ v Q.
Somit haben wir auch in der langen Frist Fixkosten vonv.
d)
Q(2K,2L) = (2L)12(2K−1)12 >(2L)12(2K−2)12 = 2(L)12(K−1)12 = 2Q(K, L) Somit hat diese Technologie steigende Skalenerträge.
2. Teil (Westkamp)
Aufgabe 4:
a) Zunächst berechnen wir die Ausgabenfunktion mittelsV(pX, E(pX, U)) =U und erhal- tenE(pX, U) = 2√
pXU.
Die äquivalente Variation ist gegeben durch EV(p1, p0, M) = E(p0, u1) −M, wobei u1 =V(p1, M) = 4. Einsetzen liefertEV(p1, p0, M) = 2√
4×4−4 = 4.
Die kompensatorische Variation ist gegeben durch KV(p1, p0, M) = M −E(p1, u0), wobeiu0 =V(p0, M) = 1. Einsetzen liefert KV(p1, p0, M) = 4−2√
1 = 2.
b) (i) Die Angebotsfunktion istS(pX, α) = p2αX. Die Markträumungsbedingung ist also 2pM
X = p2αX und umformen liefert p∗X =
√ αM.
(ii) Zunächst sollte man sich überlegen, was man hier vergleichen muss. Hierzu berech- nen wir zunächst den indirekten Nutzen des Konsumenten im Gleichgewicht durch Einsetzen des Gleichgewichtspreises in die indirekte Nutzenfunktion:
V(p∗X, M) = M2 4√
αM.
Im ursprünglichen Gleichgewicht mit α0 = 4 ist der Gleichgewichtsnutzen des Konsumenten gerade 42
4√
4×4 = 1.
Durch die Durchführung der Maßnahme sinkt der Kostenparameter auf α1 = 14 und das verfügbare Einkommen des Konsumenten auf 4− 94 = 74. Der Gleichge- wichtsnutzen ist nun (
7 4)2 4
q7 16
= 49
16√ 7 >1.
Aufgabe 5:
a) Der Grenzerlös des Monopolisten ist √2q und die BEO folglich √2q = 2q.
Auflösen ergibtqm = 1 und einsetzen in die inverse Nachfrage liefertpm = 4.
b) (i) Der Erlös des Monopolisten istR(q, T) = (P2(q)−T)q = 5q−12q2−T q.
Der Grenzerlös ist folglich R0(q, T) = 5−q−T.
(ii) Die Monopolmenge ergibt sich aus der Lösung von5−q−T = 2q und wir erhalten qm= 5−T3 .
Einsetzen in die inverse Nachfragefunktion ergibtpm =P2(qm) = 5−125−T3 = 25+T6 . c) Der Gewinn des Monopolisten ist hier π(q) := 2000q1+q −q2 mit π(0) = 0.
Die Ableitung des Gewinns istπ0(q) = (1+q)20002 −2q.
Es gilt π0(q) > 0 ⇔ 2000 > 2q(1 +q)2 und die rechte Seite dieser Ungleichung ist offenbar steigend in q.
Da die Ungleichung fürq = 9erfüllt ist, wird der Monopolist genau 9 Einheiten anbieten.
Einsetzen in die inverse Nachfrage liefertpm= 200.
Aufgabe 6:
a) Nachfragefunktionen von Agent A sindxA1(p2) = 1und xA2(p2) = p3
2. Nachfragefunktionen von AgentB sindxB1(p2) =xB2(p2) = 6+10p1+p 2
2 . b) Die Markträumungsbedingung für Gut 1 ist 1 +6+10p1+p 2
2 = 10.
Auflösen liefertp2 = 3.
Für diesen Preis wird auch der Markt für das zweite Gut geräumt, da die Nachfrage von KonsumentA durchxA2 = 1 gegeben ist.
c) Eine Allokation liegt auf der Kontraktkurve, wenn sie (1) effizient ist und (2) keinen der beiden Agenten schlechter stellt als würde er seine Anfangsausstattung konsumieren.
(nur zur Erinnerung, die Definition musste nicht wiedergegeben werden)
i) Die Allokation x liegt auf der Kontraktkurve, da der Nutzen von A bei Konsum seiner Anfangsausstattung0beträgt undBalle verfügbaren Einheiten beider Güter konsumiert.
ii) Die Allokation liegt nicht auf der Kontraktkurve, da sie nicht effizient ist (zB könnte man B besser stellen indem man ihm zwei zusätzliche Einheiten von Gut 1 gibt;
A wird dadurch nicht schlechter gestellt, da sein Nutzen iny 0 ist).
iii) Die Allokation liegt nicht auf der Kontraktkurve, da AgentBlediglich einen Nutzen von5 erzielt, während der Konsum seiner Anfangsausstattung einen Nutzen von8 bedeuten würde.
d) Wie angegeben berechnen wir zunächst einen Preisp2, so dass KonsumentAgerade das Bündel (5,5)wählt. Dafür muss
M RS1,2A =
∂
∂xA1UA(xA1,xA2)
∂
∂xA2UA(xA1,xA2)
=
x 1 A14 x
3 A24 4xA1 3x
14 A1x
34 A2 4xA2
= 3xxA2
A1
= 155
= p1
2, gelten und wir erhalten p2 = 3.
Eine mögliche Anfangsausstattung iste˜A= (5,5)und e˜B= (5,5).
Bemerkung:Es gibt viele weitere Möglichkeiten die Anfangsausstattungen zu wählen.
Jede Verteilung der Anfangsausstattungen eˆA und eˆB so dass eˆA1 + 3ˆeA2 = 8 sowie ˆ
eB1+ 3ˆeB2= 32führt im Gleichgewicht zu der angegebenen Allokation.
e) Nein. Konsument A fragt auf jeden Fall immer eine Einheit des ersten Gutes nach.
Damit der Markt des ersten Gutes geräumt wird, müsste also 8+p1+p210
2 = 11bzw.p2 =−3 gelten. Dies ist aber nicht zulässig.
[Streng genommen, war in der Aufgabenstellung nicht direkt angegeben, dass Preise und konsumierte Mengen nicht negativ sein durften. Man konnte alternativ auch einfach noch mal einsetzen und sehen, dass die Markträumungsbedingung für das zweite Gut bei p2=−3 nicht erfüllt ist.]
