Analysis-Aufgaben: Differentialrechnung 8
In dieser Aufgabenserie wollen wir die L¨osungswege diskutieren bei Extremalwertaufgaben (mit Nebenbedingungen)
Theoretische Grundlagen:
Beispiel zur Vorgehensweise:
Zerlegen Sie 60 so in zwei Summanden, dass das Produkt der Summanden maximal ist.
Die folgenden Aufgaben sollen in zwei Schritten angegangen werden:
1. L¨osungsansatz/ - idee, (wird besprochen) 2. L¨osung. (wirdnichtbesprochen)
1. Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basisl¨ange 2xund den Schen- kell¨angenbwird aus einem Draht der L¨angeLgebogen, d.h. 2x+ 2b=L.
(a) Beweise f¨ur die Dreiecksfl¨acheAdie Beziehung
A(x) =
√L 2
pLx2−4x3
(b) Berechne x = x0 so, dass A(x0) die maximale Dreiecksfl¨ache ist.
Untersuche, um welches besondere Dreieck es sich im Fall x = x0
handelt.
(c) Dr¨ucke die maximale Fl¨acheA(x0) durch L aus und vereinfache so weit wie m¨oglich.
L¨osungsansatz:
2. Die optimale Dose
(a) Aus Metall soll eine zylindrische Dose mit einem vorgegebenem Vo- lumenV hergestellt werden. F¨ur welchen Radius ist der Materialver- brauch minimal?
(F¨ur die Rechnung soll der Materialverbrauch f¨ur Falze unber¨uck- sichtigt bleiben.)
(b) Aus Metall soll eine zylindrische Dose mit einer vorgegebenen Ober- fl¨acheAhergestellt. F¨ur welchen Radius ist das Volumen maximal?
L¨osungsansatz:
3. Aus einem Draht der L¨ange 120 cm wird das Kantenmodell eines Quaders hergestellt. Die Seite bist doppelt so lang wie die Seitec. Wie groß muss die L¨ange der Seitec gew¨ahlt werden, damit das Volumen des Quaders maximal wird.
L¨osungsansatz:
4. Die Punkte (x/y) auf dem Graphen der Funktion f(x) = x4−2x2+ 1 erzeugen mit den Punkten X = (x/0), Y = (0/y) und dem Koordina- tenursprungO= (0/0) ein Rechteck der Fl¨acheA(x). (mitx≥0)
(a) Berechnen Sie die Punkte des Graphen der Funktionf(x) mit waag- rechter Tangente.
(b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f(x) und zeichnen Sie f¨ur einen Punkt das zugeh¨orige Rechteck ein.
(c) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an, bei dem die Fl¨ache des Rechtecks maximal ist.
L¨osungsansatz:
5. Betrachten Sie ein Dreieck mit den Ecken A = (−a/b), B = (a/b) und C = (0/1), dessen Ecken auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt M = (0/0) und Radius 1 liegen (a≥0).
(a) Zeichnen Sie die Dreiecke f¨ura= 0,2; 0,5; 0,7 (1 ≡ 5cm).
(b) Berechnen Sie allgemein die Fl¨ache A(ϕ) des Dreiecks. Verwenden Sie zur Beschreibung den Winkel ϕ zwischen MB und der x-Achse (ϕ <0, wenn B oberhalb der x-Achse).
(c) F¨ur welchen Winkel ist die Fl¨ache des Dreiecks maximal?
TIPP: Verwenden Sie cos2ϕ= 1−sin2ϕund den Satz von Vieta!
6. Aus einem Baumstamm mit kreisf¨ormiger Querschnittsfl¨ache (Durchmes- serd, L¨angel) soll ein Balken (Breiteb, H¨oheh, L¨angel)
(a) mit maximalem Volumen herausgeschnitten werden. Welcher Pro- zentsatz des Balkens wird genutzt?
(b) mit maximaler Tragf¨ahigkeit herausgeschnitten werden. Die Tragf¨ahig- keit eines Balkens ist proportional zu bh2. Welcher Prozentsatz des Balkens wird genutzt?
L¨osungsansatz:
7. Wie muss man einen Stab der L¨angelin drei St¨ucke zerlegt werden, damit das aus den Teilst¨ucken aufgespannte Dreieck eine maximale Fl¨ache hat?
L¨osungsansatz:
8. In welchem Rechteck mit gegebenem Fl¨acheninhalt A hat die Diagonale minimale L¨ange?
L¨osungsansatz:
9. Welcher Punkt des Graphen der Funktion f(x) = q
1 + 12x2 hat vom PunktP = (0/3) minimalen Abstand?
L¨osungsansatz:
10. Warum Lastwagenfahrer so rasen
Die Kosten f¨ur eine Lastwagenfahrt setzen sich aus den Treibstoffkosten und dem Fahrerlohn zusammen. Der Dieselverbrauch pro km ist die Sum- me aus einem konstanten Terma(Rollreibung) und einem zum Geschwin- digkeitsquadrat proportionalen Term bv2 (Luftwiderstand). Der Fahrer- lohnF ist nat¨urlich zur Fahrzeitt proportional, d.h.F =ct.
(a) Dr¨ucken Sie die Gesamtkosten Gf¨ur eine Fahrt mit konstanter Ge- schwindigkeitvuber die Strecke¨ sdurcha,b,c,s,v und den Diesel- preisB pro Liter aus.
(b) F¨ur welche Geschwindigkeitv0 sind die Gesamtkosten minimal?
L¨osungsansatz:
11. Die Lichtgeschwindigkeit f¨ur verschiedene Medien betr¨agt nc, wobei c = 3,0·108ms die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum undndie Brechungszahl des Mediums ist.
Zeigen Sie, dass die Aussagedas Licht nimmt den Weg mit der minimalen Laufzeit¨aquivalent zu folgenden Gesetzen der geometrischen Optik ist:
(a) Bei der Reflexion von Licht ist der Einfallswinkel gleich dem Reflexi- onswinkel.
(b) Bei der Brechung von Licht an Grenzfl¨achen gilt: sinα1 sinα =n2
n .
