Berufskolleg Kaufmännische Schulen des Kreises Düren
Mathematik-Übungsaufgaben
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Thema: Kostenfunktion, Monopol, mit Differentialrechnung Schulform: Höhere Handelsschule, WG2/I
Schwierigkeitsgrad: gehoben Bearbeitungszeit (ca.): 40 min.
Ein Elektronikkonzern stellt als Monopolist einen neuen Computerchip her. Bei der Produktion von 5 ME (Mengeneinheiten) entstehen monatliche Kosten in Höhe von 1250 GE (Geldeinheiten), bei 10 ME sind es 1400 GE und bei 20 ME betragen sie 2600 GE. Die anteiligen Fixkosten belaufen sich auf 1000 GE.
Von dem Chip werden monatlich 4 ME zu einem Stückpreis von 234 GE/ME abgesetzt. Eine Marktanalyse ergab, dass der Absatz bei einem Stückpreis von 156 GE/ME auf 16 ME steigt.
Formuliere zu den Aufgabenteilen c) – f) Antwortsätze!
a) Die Kosten lassen sich durch eine Kostenfunktion 3. Grades beschreiben. Bestimme diese.
b) Bestimme die Gleichung der linearen Preisabsatzfunktion, sowie die Funktionsgleichungen für den Erlös und den Gewinn.
c) Zeige, dass bei 20 ME der Erlös genau die Kosten deckt. Bestimme Nutzenschwelle und –grenze.
d) Der Elektronikkonzern möchte mit dem neuen Computerchip möglichst hohen Gewinn erzielen.
Bei welcher Ausbringungsmenge ist dies der Fall, zu welchem Stückpreis muss der Chip angeboten werden und welche Höhe hat der maximale Gewinn?
e) Wo wechselt der Kostenanstieg vom degressiven in den progressiven Bereich?
f) Angenommen, die Marktsituation verschlechtert sich in Zukunft. Welches wäre dann der niedrigste Stückpreis für den Computerchip, der betriebswirtschaftlich für kurze Zeit vertreten werden könnte? Wie viel Stück müssten dann monatlich produziert werden?
Wie bezeichnet man diese Preisgrenze? Beschreibe sie kurz.
Berufskolleg Kaufmännische Schulen des Kreises Düren Mathematik-Übungsaufgaben Lösung/Fortsetzung
©Koch Seite 2 von 2
Lösungen
a) K(x) = ax³ - bx² + cx + d Kf = 1000 = d
K(5) = 125 a + 25 b + 5 c + 1000 = 1250 | - 1000 K(10) = 1000 a + 100 b + 10 c + 1000 = 1400 | - 1000 K(20) = 8000 a + 400 b + 20 c + 1000 = 2600 | - 1000
125 a + 25 b + 5 c = 250| : 5 | : 5 1000 a + 100 b + 10 c = 400| : (- 10)
8000 a + 400 b + 20 c = 1600 | : (- 20)
25 a + 5 b + c = 50
-75 a - 5 b = 10| : (- 5)
-375 a - 15 b = -30| : 15
25 a + 5 b + c = 50 10 - 40 + c = 50 c = 50 + 30 = 80
15 a + 1 b = -2 6 + 1 b = -2 b = -2 - 6 = -8
-10 a = -4| : ( -10) a = 0,4 K(x) = 0,4 x³ - 8 x² + 80 x + 1000
b) p(x) = m x + b (4 | 234) (16 | 156) 234 156 4 16 6,5
m −
= = −
−
p(x) = -6,5 x + b 234 = -6,5 . 4 + b | + 26 b = 260 p(x) = -6,5 x + 260
E(x) = p(x) . x =-6,5 x² + 260 x
G(x) = E(x) - K(x) = -6,5 x² + 260 x - (0,4 x³ - 8 x² + 80 x + 1000) = -0,4 x³ + 1,5 x² + 180 x - 1000 c) E(x) = K(x) -6,5 x² + 260 x = 0,4 x³ - 8 x² + 80 x + 1000 0,4 x³ - 1,5 x² - 180 x + 1000 = 0 | . 10
4x³ - 15 x² - 1800 x + 10000 = 0 4 . 8000 - 15 . 400 - 1800 . 20 + 10000 = 0 x1 = 20 (4 x³ - 15 x² - 1800 x + 10000) : (x - 20) = 4 x² + 65 x - 500
- (4 x³ - 80 x²)
65x² - 1800 x 4 x² + 65 x - 500 = 0 - (65x² - 1300x) x² + 16,25 x - 125 = 0
-500x + 10000 x2/3 = -8,125 ± 13,821 x2 = 5,696 x3 = -21,946 - (-500x + 10000) NS(5,696 | 1270,034) mit E(x1) = 1270,034
0 NG(20 | 2600) mit E(x2) = 2600
Zwischen 5,696 ME und 20 ME erzielt Elektronikkonzern bei der Produktion der neuen Computerchips Gewinn. Dabei liegen die Kosten zwischen 1270,034 GE und 2600 GE.
d) G'(x) = -1,2 x² + 3 x + 180 G''(x) = -2,4 x + 3
G'(x) = 0 -1,2 x² + 3 x + 180 = 0 x² - 2,5 x - 150 = 0 x1/2 = 1,25 ± 12,3111 x1 = -11,061 (nicht sinnvoll) x2 = 13,561 G''(13,561) = -29,55 < 0 → Max (13,561 | 719,28) mit G(13,561) = 719,28 CP(13,561 | 171,853) mit p(13,5611) = 171,853
Beim Verkauf von 13,561 ME der neuen Computerchips erzielt der Elektronikkonzern maximalen Gewinn in Höhe von 719,28 GE. Dabei beträgt der Stückpreis von 171,85 GE/ME.
e) K'(x) = 1,2 x² - 16 x + 80 K''(x) = 2,4 x - 16 K'''(x) = 2,4
K''(x) = 0 2,4 x - 16 = 0 x = 6,667 K'''(6,6667) = 2,4 > 0 → WP(6,667 | 1296,297) mit K(6,667) = 1296,297
Bei der Produktion von 6,667 ME und Kosten in Höhe von 1296,297 GE wechselt der Kostenanstieg vom degressiven in den progressiven Bereich
f) kv(x) = 0,4 x² - 8 x + 80 kv'(x) = 0,8 x - 8 kv''(x) = 0,8
kv'(x) = 0 0,8 x - 8 = 0 x = 10 kv''(10) = 0,8 > 0 → Min(10 | 40) mit kv(10) = 40 Für kurze Zeit könnte der Chip zu einem Stückpreis von 40 GE/ME angeboten werden. Um diesen realisieren zu können, müssen 10 ME produziert werden.
Es handelt sich um die kurzfristige Preisuntergrenze. Nur die variablen Kosten werden gedeckt. Es entsteht Verlust in Höhe der Fixkosten.
