Berufskolleg Kaufmännische Schulen des Kreises Düren
Mathematik-Übungsaufgaben
©Koch Seite 1 von 1
Thema: Kostenfunktion, Monopol, mit Differentialrechnung Schulform: Höhere Handelsschule, WG2/I
Schwierigkeitsgrad: einfach Bearbeitungszeit (ca.): 20 min.
Ein Hersteller medizinischer Geräte produziert als Monopolist ein Diagnosegerät. Dabei entstehen für die Produktion von x Mengeneinheiten (ME) Kosten, die sich mittels der folgenden Funktion in Geldeinheiten (GE) berechnen lassen: K(x) = x³ - 15 x² + 100 x + 500.
Der Stückpreis, den der Hersteller für die medizinischen Geräte erzielen kann, ist abhängig von der Absatzmenge und lässt sich berechnen durch: p(x) = -10 x + 200.
Formuliere zu den Aufgabenteilen b) – d) Antwortsätze!
a) Bestimme die Gleichungen der Erlös- und der Gewinnfunktion.
b) Zeige, dass bei 5 ME Kosten und Erlös gleich sind. Bestimme Nutzenschwelle und –grenze.
c) Berechne das Gewinnmaximum und den Cournotschen Punkt.
d) Wo wechselt der Kostenanstieg vom unter- in den überproportionalen Bereich?
Lösungen
a) E(x) = p(x) . x =-10 x² + 200 x
G(x) = E(x) - K(x) = -10 x² + 200 x - (1 x³ - 15 x² + 100 x + 500) = -1 x³ + 5 x² + 100 x - 500
b) E(x) = K(x) -10 x² + 200 x = x³ - 15 x² + 100 x + 500 x³ - 5 x² - 100 x + 500 = 0 125 - 5 . 25 - 100 . 5 + 500 = 0 x1 = 5
(x³ - 5 x² - 100 x + 500) : (x - 5) = x² + 0 x – 100 - (1 x³ - 5 x²)
0x² - 100 x + 500
- (-100x + 500) x² - 100 = 0 x² = 100 x2 = 10 x3 = -10
0 E(5) = 750 E(10) = 1000 NS(5 | 750) NG(10 | 1000) Zwischen 5 ME und 10 ME erzielt der Hersteller der Diagnosegeräte Gewinn. Dabei entstehen Kosten zwischen 750 GE und 1000 GE.
c) G(x) = -1x³ + x² + 100x – 500 G'(x) = -3 x² + 10 x + 100 G''(x) = -6 x + 10
G'(x) = 0 -3 x² + 10 x + 100 = 0 x² - 3,3333 x - 33,3333 = 0 x1/2 = 1,6667 ± 6,0093 x1 = 7,676 G''(7,676) = -36,06 < 0 → Max (7,676 | 109,9275) mit G(7,676) = 109,9275 x2 = -4,3426 nicht sinnvoll! CP (7,676 | 123,24) mit p(7,676) = 123,24
Beim Verkauf von 7,67 ME erzielt der Hersteller der Diagnosegeräte maximalen Gewinn in Höhe von 109,9275 GE. Dabei verlangt er einen Stückpreis von 123,24 GE/ME.
d) K'(x) = 3 x² - 30 x + 100 K''(x) = 6 x - 30 K'''(x) = 6
K''(x) = 0 6 x - 30 = 0 x = 5 K'''(5) = 6 > 0 → WP(5 | 750) mit K(5) = 750
Bei der Produktion von 5 ME und Kosten in Höhe von 750 GE wechselt der Kostenanstieg vom unter- in den überproportionalen Bereich
