Mathematik-Übungsaufgaben Thema: Kostenfunktion, Polyopol, mit Differentialrechnung Schulform: Höhere Handelsschule Schwierigkeitsgrad: mittel Bearbeitungszeit (ca.): 30 min.

Berufskolleg Kaufmännische Schulen des Kreises Düren

Mathematik-Übungsaufgaben

Thema: Kostenfunktion, Polyopol, mit Differentialrechnung Schulform: Höhere Handelsschule

Schwierigkeitsgrad: mittel Bearbeitungszeit (ca.): 30 min.

Die FLZ-GmbH produziert Falzmaschinen. Pro Monat belaufen sich die Fixkosten auf 600 GE (Geldeinheiten). Bei der Produktion von 2 Mengeneinheiten (ME) entstehen monatliche Gesamt- kosten von 1392 GE, bei 4 ME sind es 2016 GE und bei 6 ME betragen die monatlichen Gesamt- kosten 2544 GE.

a) Bestimme die Gleichung der Kostenfunktion (ganzrationale Funktion 3. Grades).

b) Für 2 ME wird ein Erlös von 1008 € erzielt. Bestimme die Gleichungen der linearen Erlösfunkti- on und der Gewinnfunktion.

c) Zeige, dass bei 4 ME Erlös und Kosten gleich sind. Bestimme Gewinnschwelle und –grenze, sowie die zugehörigen Kosten. Formuliere einen Antwortsatz.

d) Berechne, bei welcher Produktionsmenge der Gewinn maximal wird. Berechne die Höhe des maximalen Gewinns und formuliere einen Antwortsatz.

e) Berechne den Wendepunkt der Kostenfunktion. Formuliere einen Antwortsatz, der die Bedeu- tung dieses Wendepunktes erklärt.

f) Wann sind die variablen Stückkosten minimal? Formuliere einen angemessenen Antwortsatz.

Lösungen

a) K(x) = ax³ - bx² + cx + d Kf = 600 = d

K(2) = 8 a + 4 b + 2 c + 600 = 1392 | - 600 K(4) = 64 a + 16 b + 4 c + 600 = 2016 | - 600 K(6) = 216 a + 36 b + 6 c + 600 = 2544 | - 600 8 a + 4 b + 2 c = 792 | : 2 | : 2

64 a + 16 b + 4 c = 1416 | : (- 4)

216 a + 36 b + 6 c = 1944 | : (- 6) 8 a + 4 b + 2 c = 792

-12 a - 2 b = 42 | : 2 -32 a - 4 b = 72 | : (- 4)

8 a + 4 b + 2 c = 792 12 - 120 + 2 c = 792 c = (792 - 12 + 240) : 4 c = 450 -12 a - 2 b = 42 -18 - 2 b = 42 b = (42 + 18) : (- 2) b = -30 2 a = 3 | : 2 a = 1,5

K(x) = 1,5 x³ - 30 x² + 450 x + 600 b) E(x) =504 x G(x) = E(x) - K(x) = 504 x - (1,5 x³ - 30 x² + 450 x + 600) = -1,5 x³ + 30 x² + 54 x - 600 c) 504 x = 1,5 x³ - 30 x² + 450 x + 600 1,5 x³ - 30 x² - 54 x + 600 = 0 | : 1,5

1x³ - 20 x² - 36 x + 400 = 0 1 ^. 64 - 20 ^. 16 - 36 ^. 4 + 400 = 0 x₁ = 4 (1 x³ - 20 x² - 36 x + 400) : (x - 4) = 1 x² - 16 x – 100

- (1 x³ - 4 x²) -16x² - 36 x

- (-16x² + 64x) x² - 16 x - 100 = 0 x_2/3 = 8 ± 12,8062

-100x + 400 x₂ = 20,81 x₃ = - 4,8062 (nicht sinnvoll) - (-100x + 400) E(x₁) = 2016 E(x₂) = 10486,3248 0 N_S(4 | 2016) N_G(20,8062 | 10486,3248) Zwischen 4 ME und 20,81 ME arbeitet die FLZ-GmbH mit Gewinn. Dabei sind monatliche Kosten zwi- schen 2.016 GE und 10.486,32 GE aufzubringen.

Berufskolleg Kaufmännische Schulen des Kreises Düren Mathematik-Übungsaufgaben Lösung/Fortsetzung

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d) G(x) = -1,5x³ + x² + 54x - 600 G'(x) = -4,5 x² + 60 x + 54 G''(x) = -9 x + 60

G'(x) = 0 -4,5 x² + 60 x + 54 = 0 x² - 13,3333 x - 12 = 0 x1/2 = 6,6667 ± 7,513 x1 = 14,1797 G''(14,1797) = -67,62 → < 0 → Gmax (14,1797 | 1921,0821)

x2 = -0,8463 (nicht sinnvoll!)

Die FLZ-GmbH erzielt bei der Produktion von 14,18 ME maximalen Gewinn in Höhe von 1921,08 GE.

e) K(x) = 1,5 x³ - 30 x² + 450 x + 600 K'(x) = 4,5 x² - 60 x + 450 K''(x) = 9 x - 60 K'''(x) = 9 K''(x) = 0 9 x - 60 = 0 x = 6,6667 K'''(6,6667) = 9 > 0 → WP (6,6667 | 2711,12) mit K(6,6667) = 2711,1194

Bei 6,667 ME und Kosten von 2711,12 GE wechselt der Anstieg der Kostenkurve vom degressiven in den progressiven Bereich.

f) k

(x) = 1,5 x² - 30 x + 450 k

'(x) = 3 x - 30 k

''(x) = 3

k

'(x) = 0 3 x - 30 = 0 x = 10 k

''(10) = 3 > 0 → Min(10 | 300) mit k

(10) = 300

Bei der Herstellung von 10 ME sind die variablen Stückkosten mit 300

/

am geringsten.