3 Der Satz von Glivenko-Cantelli

(1)

3 Der Satz von Glivenko-Cantelli

Nun: gleichzeitige Betrachtung der Mengen

M := ] −∞ , x]

^,

siehe Korollar 10.

Vermutung: Konvergenz gegen Verteilungfunktion

F

_X₁ in geeignetem Sinn.

12. Bemerkung Falls

X

diskret mit

P ( { X ∈ D } ) = 1

^{f ¨ur}

D ⊂ R

abz¨ahlbar,

F

_X

(x) = X

y∈]−∞,x]∩D

P ( { X = y } ).

Siehe Bsp. II.38.

127/1

(2)

13. Beispiel

P

Gleichverteilung auf

Ω := { 1, . . . , n }

^und

X (ω) := ω

. Dann:

F

_X

(x) = |{ X ≤ x }| / | Ω | = | [1, x] ∩ Ω | /n

=

 

 



 

 

0,

^falls

x < 1

b x c /n,

falls

1 ≤ x < n

1,

^falls

x ≥ n

(3)

14. Satz F¨ur jede Verteilungsfunktion

F

_X gilt:

(i)

F

_X ist monoton wachsend (ii)

F

_X ist rechtsseitig stetig

(iii)

lim

_x→∞

F

_X

(x) = 1

^und

lim

_x→−∞

F

_X

(x) = 0

Ferner gilt f¨ur alle

x ∈ R

P ( { X = x } ) = F

_X

(x) − lim

y→x−

F

_X

(y ).

und

P ( { X = x } ) = 0 ⇔ F

_X stetig in

x.

Beweis. ¨U^BUNG

129/1

(4)

15. Definition F¨ur

q ∈ ]0, 1[

heißt

inf { v ∈ R : F

_X

(v ) ≥ q }

q

-Quantil der Verteilungsfunktion

F

_X. Speziell f¨ur

q = 1/2

:

z

Median.

16. Beispiel P^ROJEKTOR

17. Lemma

z

genau dann

q

-Quantil von

F

_X, wenn

F

_X

(z ) ≥ q

und

∀ y ∈ R : y < z ⇒ F

_X

(y) < q.

(5)

Approximation (Problem A) bzw. Sch ¨atzung (Problem B) der zugrundeliegenden Vert’funktion.

18. Definition Empirische Verteilungsfunktion

F

_n

( · ; x

₁

, . . . , x

_n

) : R → [0, 1]

zu

x

₁

, . . . , x

_n

∈ R

definiert durch

F

_n

(x; x

₁

, . . . , x

_n

) := 1/n ·

X

n i=1

1

_]−∞,x]

(x

_i

).

19. Beispiel P^ROJEKTOR

Im folgenden

(X

_i

)

_i∈^N ^{iid. Sei}

F := F

_X₁ die Vert’funktion jeder der ZVen

X

_i. Bei Problem A: F ”schwer“ zu berechnen. Bei Problem B: F ^unbekannt.

131/1

(6)

20. Bemerkung Korollar 10 zeigt f¨ur alle

x ∈ R

, daß f¨ur fast alle

ω

gilt

n→∞

lim F

_n

(x; X

₁

(ω ), . . . , X

_n

(ω)) = F (x).

Versch¨arfung im folgenden Satz von Glivenko-Cantelli (Hauptsatz der Mathematischen Statistik): fast sicher gleichm¨aßige Konvergenz.

21. Satz F¨ur fast alle

ω

gilt

n→∞

lim sup

x∈R

| F

_n

(x; X

₁

(ω), . . . , X

_n

(ω)) − F (x) | = 0.

(7)

Beweis. PROJEKTOR: vorab Spezialfall F stetig, streng mon. wachsend.

Bezeichnungen:

G⁻(x) := lim

y→x− G(y),

F_n(x, ω) := F_n(x; X₁(ω), . . . , X_n(ω)), E := {A ∈ A : P (A) = 1}.

Fixiere k ∈ N. Betrachte f ¨ur ` = 1, . . . , k − 1 die `/k-Quantile z_`,k von

F , setze ferner z_0,k := −∞ ^und z_k,k := ∞^.

Korollar 10 und Satz 14 zeigen

∀` ∈ {1, . . . , k − 1} ∃A ∈ E ∀ω ∈ A :

n→∞lim F_n⁽⁻⁾(z_`,k, ω) = F⁽⁻⁾(z_`,k).

133/1

(8)

F¨ur

∆_n,k(ω) := max

`∈{0,...,k} max

F_n(z_`,k, ω) − F(z_`,k) , F_n⁻(z_`,k, ω) − F⁻(z_`,k)

folgt

∃A_k ∈ E ∀ω ∈ A_k : lim

n→∞ ∆_n,k(ω) = 0. (1)

(9)

Lemma 17 zeigt

F⁻(z_`,k) − F(z_`−1,k) ≤ `/k − (` − 1)/k = 1/k.

Hiermit folgt f¨ur x ∈ ]z_`−1,k, z_`,k[ und ω ∈ Ω

F_n(x, ω) ≤ F_n⁻(z_`,k, ω) ≤ F⁻(z_`,k) + ∆_n,k(ω)

≤ F(z_`−1,k) + 1/k + ∆_n,k(ω)

≤ F(x) + 1/k + ∆_n,k(ω),

F_n(x, ω) ≥ F_n(z_`−1,k, ω) ≥ F(z_`−1,k) − ∆_n,k(ω)

≥ F⁻(z_`,k) − 1/k − ∆_n,k(ω)

≥ F(x) − 1/k − ∆_n,k(ω).

F¨ur ω ∈ A_k ergibt sich gem¨aß (1)

lim sup

n→∞

sup

x∈R |F_n(x, ω) − F(x)| ≤ 1/k.

135/1

(10)

Fazit: f¨ur

A := \

k∈N

A_k ∈ A

gilt

P(A) = 1

und

∀ω ∈ A : lim

n→∞ sup

x∈R |F_n(x, ω) − F (x)| = 0.

(11)

22. Beispiel Empirische Verteilungsfunktionen schwarz.

(Zugrundeliegende Verteilung gegeben durch

P ( { X

₁

= 1 } ) = 0, 3 P ( { X

₁

= 2 } ) = 0, 2 P ( { X

₁

= 3 } ) = 0, 5

Verteilungsfunktion blau.)

137/1

(12)

n = 50

01234

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

n = 50

Fn(x)

(13)

n = 25 0

01234

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

n = 250

Fn(x)

139/1

(14)

n = 1000

0.20.40.60.81.0

n = 1000

Fn(x)

(15)

(Zugrundeliegende Verteilung gegeben durch

X

₁

∼ U ([0, 1])

, siehe Def. 25, Verteilungsfunktion blau.)

141/1

(16)

n = 50

0.20.40.60.81.0

n = 50

Fn(x)

(17)

n = 250

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

n = 250

Fn(x)

143/1

(18)

n = 1000

0.20.40.60.81.0

n = 1000

Fn(x)

(19)

(Zugrundeliegende Verteilung gegben durch

X

₁

∼ Exp (1/2)

, siehe Def. V.32, Verteilungsfunktion blau.)

145/1

(20)

n = 50

0246810

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

n = 50

Fn(x)

(21)

n = 250

0 2 4 6 8 10

0.00.20.40.60.81.0

n = 250

Fn(x)

147/1

(22)

n = 1000

0.20.40.60.81.0

n = 1000

Fn(x)