Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Bokowski D. Frisch
N. Nowak
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
SS 2007 06.-11.06.2007Lineare Algebra II f¨ ur M, HLM, CSB, CS 8. ¨ Ubung
Gruppen¨ ubungen
Wir werden in dieser ¨Ubung die Quaternionen behandeln. Hierbei werden wir zun¨achst zeigen, dass diese keinen K¨orper, jedoch einen Schiefk¨orper bilden. Ein Schiefk¨orper ist eine Menge M zusammen mit zwei Verkn¨upfungen · :M ×M →M (Multiplikation) und + :M ×M →M (Addition), sodass das Tripel (M,·,+) folgende Eigenschaften hat:
(i) Die Addition ist assoziativ und kommutativ.
(ii) Die Multiplikation ist assoziativ und nicht kommutativ.
(iii) Es gibt ein neutrales Element 0 ∈ M bzgl. der Addition und ein neutrales Element 1∈M bzgl. der Multiplikation.
(iv) Jedes Element ausM besitzt ein inverses Element bzgl. der Additon und jedes Element aus M\{0} besitzt ein inverses Element bzgl. der Multiplikation.
Anschliessend werden wir betrachten, wie die Quaternionen als Matrizen in M2(C) oder M4(R) realisiert werden k¨onnen. Abschliessend untersuchen wir dann die Anwendung der Qauternionen in der Computergrafik.
Aufgabe G17 Quaternionen I
Gegeben sei die Menge der Quaternionen
H:={a1+bi+cj+dk : a, b, c, d∈R} zusammen mit der Addition
(a1+bi+cj+dk) + (˜a1+ ˜bi+ ˜cj+ ˜dk) = (a+ ˜a)1+ (b+ ˜b)i+ (c+ ˜c)j+ (d+ ˜d)k, sowie der Multiplikation
(a1+bi+cj+dk)·(˜a1+ ˜bi+ ˜cj+ ˜dk)
= (a˜a−b˜b−c˜c−dd)1˜ + (a˜b+ ˜ab+cd˜−cd)i˜ + (˜ac−bd˜+a˜c+ ˜bd)j+ (ad˜+b˜c−˜bc+ ˜ad)k.
Hierbei gilt folgende Multiplikationstafel:
· i j k
i −1 k −j
j −k −1 i
k j −i −1
Zeigen Sie, dass das Tripel (H,·,+) ein Schiefk¨orper ist.
Hinweis: Das Inverse Element der Multiplikation ist q−1 = a1−bi−cj−dk a2+b2+c2+d2. Aufgabe G18 Quaternionen II
In dieser Aufgabe werden wir zeigen, wie die Quaternionen H in die komplexen 2 ×2 Matrizen eingebettet werden k¨onnen:
Gegeben seien die folgenden Matrizen aus M2(C):
E =
1 0 0 1
, I =
i 0 0 −i
, J =
0 1
−1 0
, K =
0 i i 0
Betrachten Sie den Vektorraum H, der von diesen Matrizen aufgespannt wird, d.h.
H={αE+βI+γJ +δK ∈M2(C) : α, β, γ, δ∈R}.
Wir statten diesen Vektorraum mit der von M2(C) induzierten Multiplikation (Matrizen- multiplikation) und Addition (Matrizenaddition) aus. Wir werden zeigen, dass H zusam- men mit dieser Addition und Multiplikation einen Schiefk¨orper bildet, der isomorph zu den Quaternionen ist.
a) Vervollst¨andigen Sie die Multiplikationstafel
· E I J K E
I J K
b) Zeigen Sie, dass H ein Unterring von M2(C) ist, d.h. beweisen sie die folgenden Aus- sagen:
(i) Es ist 0∈ H und mit A ist auch −A inH.
(ii) Es ist 1 = Id2 inH.
(iii) Mit A, B ∈ H ist auch A+B ∈ H und AB ∈ H.
c) Zeigen Sie, dass
H=
z w
−w z
∈M2(C) : w, z ∈C
gilt.
d) Wir haben in a)-c) gezeigt, dass H ein Schiefk¨orper ist. Zeigen Sie nun, dass H ∼= H ist, indem sie eine Bijektion angeben.
Aufgabe H13 Quaternionen III (5 Punkte)
In dieser Aufgabe werden wir zeigen, wie die Quaternionen H in die reellen 4× 4 Ma- trizen eingebettet werden k¨onnen:
Gegeben seien die folgenden Matrizen aus M4(R):
E =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
, I =
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
,
J =
0 0 0 −1
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
, K =
0 0 −1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 −1 0 0
Betrachten Sie den Vektorraum H, der von diesen Matrizen aufgespannt wird, d.h.
H={αE +βI+γJ+δK ∈M4(R) : α, β, γ, δ∈R}.
Wir statten diesen Vektorraum mit der von M4(R) induzierten Multiplikation aus. Zeigen sie, dass H zusammen mit dieser Addition und Multiplikation einen Schiefk¨orper bildet, der isomorph zu den Quaternionen ist.
Aufgabe H14 Quaternionen in der Computergrafik (10 Punkte)
Wir haben in der letzten ¨Ubung gesehen, dass sich alle Transformationen des 3-dimensionalen Raumes in homogenen Koordinaten durch 4×4 Matrizen ¨uberR darstellen lassen.
Wir widmen uns nun den Drehungen, welche mit Hilfe der Quaternionen besonders einfach dargestellt werden k¨onnen. Wir identifizieren den R3 mit dem imagin¨aren Unterraum der Quaternionen, d.h. f¨ur ein festesa∈Rbeschreiben die Quaternionena1+x1i+x2j+x3kdie Punktex= (x1, x2, x3)t∈R3. Wir schreiben (a, x) f¨ur das Quaterniona1+x1i+x2j+x3k.
a) Bestimmen Sie die Summe (a, x) + (b, y) und das Produkt (a, x)(b, y), sowie das kon- jugierte Quaternion (a, x)∗ zu (a, x).
Hinweis: Es gilt
x1 x2 x3
×
y1 y2 y3
=
x2y3−x3y2
−x1y3+y1x3 x1y2−x2y1
.
b) Wir beschreiben nun eine Drehung im R3. Die Drehachse wird dabei durch den Ein- heitsvektor n repr¨asentiert. Drehen wir einen Punkt x∈R3 um den Winkel ϕ um die Drehachse n, so erhalten wir
x0 =xcos(ϕ) +nhn, ri(1−cos(ϕ)) + (n×x) sinϕ.
Zeigen Sie, dass die Drehung durch das Quaternion q :=
cosϕ 2
,sinϕ 2
n
induziert wird, indem Sie zeigen, dass
(0, x0) = q(0, x)q∗ ist.
Hinweis: Es gilt f¨urx, y ∈R3: (x×y)×x=y− hy, xixund x×y =−y×x.
c) In der letzten ¨Ubung haben Sie sich ¨uberlegt, wie man eine ONB desR3 durch 3 Dre- hungen in eine beliebige andere ONB des R3 ¨uberf¨uhren kann.
Die Winkel, um die hierbei gedreht werden heißen Eulerwinkel. Quaternionen ver- einfachen die Hintereinanderausf¨uhrungen von Drehungen. Bestimmen Sie dazu das Quaternionq, welches eine Drehung umϕ1 um diex-Achse, gefolgt von einer Drehung um ϕ2 um diey-Achse und gefolgt von einer Drehung umϕ3 um diez-Achse induziert.
K¨onnen Sie anhand der Quaternionen beurteilen, ob eine ¨Anderung der Reihenfol- ge der Einzeldrehungen die Gesamtdrehung ¨andert?
