Satzgruppe Pythagoras - Gemischte Aufgaben
Informationen
Auf dieser Seite befindet sich eine Auswahl an Aufgaben zur Satzgruppe Pythagoras. Die Lösungen jeweils direkt hinterlegt, bitte verwendet sie in sinnvoller Art und Weise.
Aufgabe 1 - Fehlende Größen berechnen1)
Berechne die fehlenden Größen für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c.
$a$ $b$ $c$ $p$ $q$ $h_c$ $A$
a) $4cm$ $1cm$
b) $9cm$ $3cm$
c) $7cm$ $10cm$
d) $3cm$ $5cm$ $20cm^2$
e) $2cm$ $4cm$
f) $4cm$ $6cm$
g) $5cm$ $11cm$ $30cm^2$
Lösung
$a$ $b$ $c$ $p$ $q$ $h_c$ $A$
a) $4cm$ $4 \sqrt{15}cm$ $16cm$ $1cm$ $15cm$ $\sqrt{15}cm$ $8 \sqrt{15}cm^2$
b) $3\sqrt{3}cm$ $3 \sqrt{6}cm$ $9cm$ $3cm$ $6cm$ $3 \sqrt{2}cm$ $\frac{27
\sqrt{2}}{2}cm^2$
c) $7cm$ $\sqrt{51}cm$ $10cm$ $4,9cm$ $5,1cm$ $\frac{7
\sqrt{51}}{10}cm$ca. $25cm^2$
d) $4 \sqrt{6}cm$ ca. $7,19cm$ $8cm$ $3cm$ $5cm$ $\sqrt{15}cm$ $20cm^2$
Video
Aufgabe 2 - Flächeninhalt Rechteck2)
Berechne Umfang und Flächeninhalt des Rechtecks.
Lösung
Achtung: Beim Umfang ist ein Fehler in der Lösung, im Video wird die korrekte Lösung berechnet.
Video
Aufgabe 3 - Diagonale im Quadrat3)
Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a = 6cm$. Berechne die 1.
Diagonalenlänge $d$.
Stelle den Term d(a) auf, mit dem man allgemein in einem Quadrat aus der Seitenlänge 2.
a die Diagonalenlänge d berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.
Lösung 1. $d$ Diagonalenlänge in $cm$
\begin{align} 6^2 + 6^2 &= d^2 &| T \\ 72 &= d^2 &| \sqrt{}\\ \pm \sqrt{72} &= d
\end{align}
Die Diagonalenlänge beträgt $6\sqrt{2}cm \approx 8,5cm$. Das negative Ergebnis braucht hier nicht beachtet werden, da keine negativen Längen definiert sind.
2. $a$: Seitenlänge; $d$: Diagonalenlänge
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a = 6cm$ und $b = 3cm$. Berechne die 1.
Diagonalenlänge $d$.
Stelle den Term auf, mit dem man allgemein in einem Rechteck aus den Seitenlängen 2.
$a$ und $b$ die Diagonalenlänge $d$ berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.
Lösung 1. $d$ Diagonalenlänge in $cm$
\begin{align} 6^2 + 3^2 &= d^2 &| T \\ 45 &= d^2 &| \sqrt{}\\ \pm \sqrt{45} &= d &| T
\pm 3\sqrt{5} &= d \end{align}
Die Diagonalenlänge beträgt $3\sqrt{5}cm \approx 6,7cm$. Das negative Ergebnis braucht hier nicht beachtet werden, da keine negativen Längen definiert sind.
2. $a, b$: Seitenlängen; $d$: Diagonalenlänge
\begin{align} a^2 + b^2 &= d^2 &| \sqrt{}\\ \sqrt{a^2 + b^2} &= d \\ \end{align}
Der Term lautet $d = \sqrt{a^2 + b^2}$
Aufgabe 5 - Anwendungsaufgabe - Glocke5)
In einem Glockenturm hängt das Seil zum Läuten der Glocke. Wenn man das Ende des Seils um 2m seitlich aus der Ruhelage bewegt, so hebt sich das Seilende dabei um 10cm. Berechne die Länge des Glockenseils.
Lösung
$l$: Länge des Seils in $m$ \begin{align} \require{cancel} (l - 0,1)^2 + 2^2 &= l^2 &| T
\\ \cancel{l^2} - 0,2l + 0,01 + 4 &= \cancel{l^2} &| -l^2\\ - 0,2l + 4,01 &= 0 &| +0,2l \\ + 4,01 &= 0,2l &| \cdot 5 \\ 20,05 &= l \end{align}
In einer Kugelschale mit dem Radius $R = 1,8m$ hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser
$s = \sqrt{5,12}m$. Berechne die Flüssigkeitstiefe $t$.
Lösung
$t$ Diagonalenlänge in $cm$
$l$: Länge des Seils in $m$ \begin{align} \require{cancel} (\frac{1}{2} \sqrt{5,12m})^2 + (1,8m-t)^2 &= (1,8m)^2 &| T \\ \frac{1}{4} \cdot 5,12m ˙\cancel{+1,8m^2} - 3,6tm + t^2 &= \cancel{1,8m^2} &| -l^2\\ 1,28m - 3,6tm + t^2 &= 0 &| pq-Formel \\ \\ t_1 = 0,4m \\ t_2 = 3,2m \end{align}
Da $3,2m$ als Wassertiefe zu tief ist, da dies mehr als $R$ ist, muss die Wassertiefe
$0,4m$ sein.
Aufgabe 7 - Anwendungsaufgabe - Strohhalm7)
Wie weit ragt ein $20cm$ langer Strohhalm mindestens aus der Dose, wenn diese $11cm$
hoch ist und einen Durchmesser von $6cm$ hat?
Lösung
$t$ Diagonalenlänge in $cm$
$l$: Länge des Strohhalms in der Dose in $cm$ \begin{align} 6^2 + 11^2 &= l^2 &| T \\
157 &= l^2 &| \sqrt{} \\ \pm \sqrt{157} &= l \end{align}
Die Länge des Strohhalms in der Dose beträgt $\sqrt{157} \approx 12,5cm$, also ragen mindestens ca. $7,5cm$ des Strohhalms aus der Dose.
Aufgabe 8 - Anwendungsaufgabe - Zahnradbahn am Pilatus8)
Die steilste Zahnradbahn der Welt fährt auf den Pilatus (Schweiz). Auf einem Streckenabschnitt von 1130m Länge überwindet sie gleichmäßig einen Höhenunterschied von 489m.
In einer Landkarte sind im Normalfall die horizontalen Abstände von Orten 1.
maßstabsgetreu abgebildet. Wie lang erscheint dieser Streckenabschnitt auf einer Karte im Maßstab 1:25000?
Eine andere Zahnradbahnstrecke erscheint auf einer Karte im Maßstab 1:10000 12cm 2.
lang. Die wirkliche Streckenlänge beträgt 1250m. Wie groß ist der Höhenunterschied?
Lösung 1. $x$ Länge der Strecke in $m$
\begin{align} x^2 + 489^2 &= 1130^2 &| -489^2 \\ x^2 &= 1037779 &| \sqrt{} \\ x &=
\pm \sqrt{1037779} \end{align}
Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit $1037779m \approx 1019m$ und auf einer Karte im Maßstab $1:25000$ ca. $4,1cm$.
2. Horizontaler Abstand
$h$: Höhenunterschied in $m$
\begin{align} h^2 + 1200^2 &= 1250^2 &| -1200^2 \\ h^2 &= 122500 &| \sqrt{} \\ h
&= \pm \sqrt{122500} \end{align}
Der Höhenunterschied beträgt $350m$.
1) , 2)
Aufgabe von http://herrlandgraf.de/ 2021-01-19 unter Open-Source-Lizenz
3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8)
Aufgabe: Thomas Unkelbach http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1ge/fs/fsindex.html 27.04.2020 unter CC BY-SA
