Von der Pfadregel zur „Bernoulli-Formel“
Aufgabe 1: Basketball
Beim Basketball trifft Peter mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Anne mit 70 %. Jeder wirft ein Mal.
a) Ist es wahrscheinlicher, dass sie zusammen 0 oder 2 Treffer erzielen ?
b) Kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer mit dem Ergebnis aus a) direkt angeben ?
Aufgabe 2: Rohe Eier
Doro hat in einen Korb mit 6 gekochten Eiern (schändlicherweise) 4 rohe dazugelegt. Ihre Schwester nimmt für das Frühstück 3 Eier heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein rohes Ei dabei ist ?
Aufgabe 3: Note würfeln
Stelle dir vor, dein Lehrer wirft zwei Würfel und gibt dir als Note die kleinere der Augenzahlen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Eins bekommst ?
Aufgabe 4: Fehler im Buch
Bevor ein Buch gedruckt wird, werden die probeweise gedruckten Seiten auf Fehler durchgesehen.
Der erste Kontrolleur findet erfahrungsgemäß 70 % der Fehler und korrigiert sie. Bei den nächsten beiden Kontrollen werden (von den übriggebliebenen Fehlern) 50 % bzw. 40 % entdeckt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Fehler, der ursprünglich in einem Drucktext vorhanden war, auch nach diesen drei Kontrollen noch nicht entdeckt ?
b) Macht es Sinn, so lange zu kontrollieren, bis 99 % aller ursprünglichen Fehler entdeckt worden sind ? (Nimm an, dass bei jeder weiteren Kontrolle 40 % der übriggebliebenen Fehler entdeckt werden.)
Aufgabe 5: 6 Richtige im Lotto
Bei der Lottoziehung "6 aus 49" wird 6 mal hintereinander eine Kugel aus einer Lostrommel mit 49 nummerierten Kugeln gezogen und ihre Nummer notiert.
Begründe: Die Wahrscheinlichkeit, alle 6 Zahlen richtig vorherzusagen, beträgt:
44 1 45
2 46
3 47
4 48
5 49
6
Aufgabe 6: Blutgruppe A
In Deutschland haben 40 % der Einwohner Blutgruppe A. 5 Personen kommen zur Blutspende. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Personen Blutgruppe A haben ?
Zeichne ein vereinfachtes Baumdiagramm. Es soll nur die 10 Pfade enthalten, die zum gewünschten Ereignis "zweimal Blutgruppe A" gehören.
Aufgabe 7: Vokabeltest
Frank hat nur 30 % der Vokabeln gelernt. Sein Lehrer fragt ihn 4 Vokabeln ab.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als eine Vokabel kennt ?
Aufgabe 8: Schokoladen-Feinschmecker
Herr G. aus T. behauptet, bei Schokolade blind erkennen zu können, um welche Marke und Sorte es sich handle. In einem Test werden vier Schokoladenproben blind verkostet.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr G. jedesmal die Marke und Sorte richtig erkennt, wenn er eine Trefferwahrscheinlichkeit von 80 % hat ?
b) Hildegard behauptet, dass man dieses Ergebnis auch erzielen könnte, wenn man keine Kenntnis habe, d.h. wenn man nur geraten hätte. Stimmt das ?
Aufgabe 9: Multiple-Choice-Test
In einem Multiple-Choice-Test werden 5 Fragen gestellt. Bei jeder Frage werden 3 Antwortalternativen vorgegeben, und nur eine ist richtig.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man durch bloßes Raten alle Fragen richtig beantwortet?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, drei Fragen richtig zu beantworten ?
c) Wie lauten die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, wenn man eine Frage mehr stellt ?
Steckbrief der Aufgabe
Inhaltliche Kurzbeschreibung:
In 9 Teilaufgaben kann die Pfadregel in vielfältigen Situationen eingesetzt und geübt werden.
Zudem bieten die Aufgaben Anlässe, Bernoulli-Ketten einzuführen.
Funktion der Aufgabe
:Zunächst bieten die Aufgaben die Möglichkeit, die Pfadregel in vielfältigen Situationen zu nutzen und zu üben.
Darüber hinaus regen die Aufgaben an, die Darstellung des Lösungsweges mit der Pfadregel schrittweise zu verändern und so zu Bernoulli-Ketten überzugehen. Dies wird dadurch erreicht, dass man vom gesamten Baumdiagramm über einen Teilbaum und Ein-Pfad-Betrachtungen (hier auch Anwenden der Gegenwahrscheinlichkeit) zur „Bernoulli-Formel“ gelangt.
Doppeljahrgangsstufe:
7/8 , ggf. auch 9/10Die Aufgabensammlung geht über die Anforderungen der Kernlehrpläne hinaus, da mehr als zweistufige Zufallsversuche thematisiert werden.
Schulformen, in denen entwickelt/ erprobt wurde:
Gymnasium, Klasse 8
Erforderliche Vorkenntnisse:
Laplace-Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramme, Pfadregel
Bezug zu den Kompetenzen des Kernlehrplans:
Stochastik
Kernlehrplan Hier speziell:
Auswerten bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten mit Hilfe der Pfadregeln
berechnen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregel und mit Bernoulli-Ketten
(Hinweis: die Teilaufgaben gehen über zweistufige Zufallsexperi- mente hinaus)
Argumentieren / Kommunizieren
Kernlehrplan Hier speziell:
Kommunizieren vergleichen und bewerten
Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen
vergleichen die Darstellung von Lösungswegen und verkürzen sie
Modellieren
Kernlehrplan Hier speziell:
Mathematisieren k. A. verkürzen bei der Berechnung von
Wahrscheinlicheiten die Dar- stellung des Lösungsweges von Bäumen zur „Bernoulli-Formel“
Mögliche Schülerlösungen:
Aufgrund der Vielzahl der Aufgaben können nur die Ergebnisse dargestellt werden.
13 0,14% ;P(X 3) 20
13 23 21,95%6) (X P c)
% 3 16,5
3 2 10 1 3) (X P b)
% 3 0,4
5) 1 (X P a) 9.
ab.
schlechter noch
man schneidet
0,8 p mit Raten beim aber
%, 41 etwa nur G.
Herrn für keit scheinlich Gewinnwahr
die ist Zwar
0,8 p jedes für 0,8 p wobei , p 4) (X P b)
% 40,96 0,8
4) (X P a) 8.
% 34,83 0,7
0,3 4 - 0,7 - 1 1) (X P - 0) (X P - 1 1) (X P 7.
leben.
Ort n betroffene im
Menschen viele
d hinreichen sofern
n, Zurücklege mit
Ziehen ist
Es : kt Zusatzaspe
% 34,56 0,6
0,6 0,6 0,4 0,4 10 2) (X P 6.
usw.
sein, möglichen 48
aus
n gewünschte 5
von eine Kugel zweite die soll , zurücklegt nicht
man Da sein.
möglichen 49
aus n gewünschte 6
von eine soll wird, gezogen die
Kugel, erste Die . T - T - T - T - T - T
Pfad den also betrachtet Man
sollen.
werden gezogen
die getippt, Zahlen
6 hat Man 5.
g.
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kontrollie mal
sieben muss Man b)
0,09 0,6 0,5 0,3 entdeckt) nicht
(Fehler P
a) 4.
g.
überflüssi also
ist Würfel zweite der ; 6 1 6 1 6 5 6 1 6 1) 1 (Note P 3.
6 5 6 - 1 8 1 4 9 5 10 - 6 1 0) (X P - 1 1) (X P 2.
0,54 0,46 - 1 Treffer) 1
( P b)
0,28 Treffer) (2
P ; 0,18 Treffer) 0
P(
1.a)
3 3 6
2 3 5
4 4
4 4
3 4
Mögliche, ggf. erprobte Unterrichtsorganisation
:Die Aufgaben können zunächst eingesetzt werden, um die Pfadregel in vielfältigen Situationen zu benutzen und zu üben.
Zudem bieten die Aufgaben die Möglichkeit, schrittweise zu Bernoulli-Ketten und zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel überzugehen. Dazu müssen die Aufgaben möglichst in der vorgeschlagenen Reihenfolge von den Schülern bearbeitet werden.
In den Aufgaben 1 bis 3 werden die Schüler für die Lösung oft noch einen vollständigen Ergebnis- baum anfertigen. Jedoch wird hier eine Abstraktion zu den Ergebnissen „Treffer“ und „Niete“ angeregt, also ein Übergang zur Darstellung als Bernoulli-Experiment.
In den Aufgaben 4 bis 6 werden die Schüler dazu aufgefordert, die Darstellung der Lösung nur auf die gewünschten Pfade zu reduzieren. So ist der Baum in Aufgabe 4 ohnehin unvollständig, und in den Aufgaben 5 und 6 ist es ökonomischer, nur die gewünschten Pfade darzustellen. Auch sollte der Lehrer bei Aufgabe 6 darauf hinwirken, dass es genügt nur die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad auszurechnen (Kommutativität der Multiplikation).
In den Aufgaben 7 bis 9 liegen Bernoulli-Ketten vor. In Aufgabe 7 liegt eine kurze, vierstufige Kette vor. Da auch in Aufgabe 8 eine vierstufige Kette vorliegt und nur die Einzelwahrscheinlichkeit variiert wird, wird eine weitere Abstraktion der Lösung angeregt. Die Lösung kann als Term und braucht nicht mehr zeichnerisch als Bernoulli-Kette dargestellt zu werden. (Dabei ist die Ratewahrscheinlichkeit in Aufgabe 8b offen; die Schüler können verschiedene Wahrscheinlichkeiten annehmen z.B. in Abhängigkeit von der Anzahl der Schokoladensorten.)
Zur Aufgabe 9 hin wird nicht nur die Wahrscheinlichkeit p verändert, auch die Kettenlänge variiert.
Dies kann zur Formulierung der Bernoulli-Formel führen. An dieser Stelle ist eine Vertiefung durch einen Exkurs (Aufgabe „Multiple-Choice“) möglich. Die Aufgabe 9c regt an, den Binomial-Koeffizienten einzuführen. Daher sollte man diese Aufgabe nur dann stellen, wenn man ihn einführen möchte.
Mögliche Variationen der Aufgabe und des Aufgabenniveaus:
Sofern die Schüler bei der Darstellung ihrer Lösungen nicht von selbst zur Bernoulli-Formel übergehen, können die Parameter bei Aufgabe 9 (Multiple-Choice-Test) mehrfach variiert werden, um eine Verkürzung des Lösungsweges anzuregen. Vgl. dazu auch die eigenständige Aufgabe „Multiple – Choice“.
