K(x) = x, wobei x die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 100. Mathematik I WiSe 2004/ K(100) = 230.

(1)

Kapitel 2. Funktionen einer Variablen

2.1

Einf¨ uhrende Beispiele

Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fixkosten von 170.000 ¤. Die sind unabhängig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stück fallen variable Kosten (vor allem Material und Löhne) von 500 ¤ an. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ¤) betragen dann

K(x) = 170.000 + 500x,

wobei x die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 100

Mathematik I – WiSe 2004/2005 140

Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in H¨ohe von K(100) = 230.000,

bei 1000 St¨uck

K(1000) = 670.000.

K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K interessiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem Stück, so erhält man die StückkostenfunktionS(x). Sie ergibt sich aus der Kostenfunktion K(x) einfach durch

S(x) = K(x) x .

(2)

In obigem Beispiel ist

S(x) = 170.000 + 500x

x = 500 + 170.000 x . Bei 100 produzierten Waschmaschinen ist das also

S(100) = 2300, bei 1000 Maschinen

S(1000) = 670.

Weitere ¨okonomische Funktionen sind

Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der Preis eines Gutes, N die nachgefragte (abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dann N(p).

Ublicherweise wird¨ N(p) kleiner, wenn der Preis p steigt. So k¨onnte z.B. (p ausgedr¨uckt in ¤)

N(p) = 100.000−500p (2.1)

sein. Das heißt, bei einem Preis von 10 ¤ beträgt die Nachfrage 95.000 Stück, bei einem Preis von 13 ¤ nur 93.500 Stück.

Oft wird auch umgekehrt die Funktion p(N) betrachtet.

Angebotsfunktion: Sei p der Preis eines Gutes, A die vom Produzenten auf den Markt gebrachte Menge. Die Angebotsfunktion ist dann A(p).

Erlösfunktion: Für N abgesetzte Güter zum Stückpreis p(N) ist der Erlös in Abhängigkeit von der Menge N

E(N) =N ·p(N).

Hierbei ist ber¨ucksichtigt, dass der Preis p von der Nachfrage N abh¨angt,

(3)

typischerweise mit hoher Nachfrage steigt.

In Abh¨angigkeit vom Preis p ist die Erl¨osfunktion E(p) =N(p)·p.

Wenn wir die Nachfragefunktion (2.1) benutzen, erhalten wir E(p) = 100.000p−500p².

Eine typische Frage ist: Für welchen Preis p wird der Erlös E(p) maximal. Solche und ähnliche Fragen werden wir mit etwas mathematischer Theorie beantworten können.

2.2

Grundlegende Begriffe und Bezeichnungen

Eine Abbildung

f : R → R mit D(f)⊆ R

heißtreellwertige Funktion einer reellen Variablen (Ver¨anderlichen). Wie bereits fr¨uher definiert, ist D(f) der Definitionsbereich von f. Die Menge

W(f) ={f(x) : x ∈D(f)} heißt der Wertebereich von f.

(4)

Erinnerung: D(f) ={x ∈R : Es gibt y ∈ R mit y = f(x)} Wir nennen

x 7→ f(x) die Zuordnungsvorschrift und Gf = {(x, y)∈ D(f)×R : y = f(x)} den Graph von f.

Viele Zuordnungsvorschriften haben einen “nat¨urlichen maximalen Definitionsbereich”. Oft wird dann nur die Zuordnungsvorschrift angegeben, und es ist dann die zugeh¨orige Funktion auf dem maximalen Definitionsbereich gemeint. Wir sprechen dann oft auch einfach von dem Definitionsbereich.

Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was die Funktion f ist, schreiben wir

auch einfach D statt D(f).

Beispiel 2.1 • x 7→ x² hat den maximalen Definitionsbereich R.

• x 7→ 1

x hat den maximalen Definitionsbereich R\ {0}.

• Die schon vorher betrachtete Kostenfunktion

K(x) = 170.000 + 500x

hat als Definitionsbereich R. In dem betrachteten Beispiel sind allerdings nur nicht-negative ganze Zahlen x interessant (x: Anzahl der Waschmaschinen) und nur bis zu einer gewissen Höhe, die durch die Maximalauslastung des Unternehmens gegeben ist. Dieses Beispiel zeigt, dass nicht alle Werte für x, die mathematisch sinnvoll sind, auch im ökonomischen Sinn sinnvoll sind.

(5)

Ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung einer Funktion f und ihres Graphen ist eine Wertetabelle, in der ausgew¨ahlte Werte von x zusammen mit ihrem Funktionswert f(x) eingetragen werden.

Beispiel 2.2 Wir setzen unser Beispiel K(x) = 170.000 + 500x fort:

x 1 10 20 50 100 1000

K(x) 170.000 175.000 180.000 195.000 220.000 670.000

Beispiel 2.3 f(x) = 3x²+ 2x+ 1

x -2 -1 0 1 2 5 10

f(x) 9 2 1 6 17 86 321

Eine genauere Methode ist das Zeichnen der Graphen in ein Koordinatensystem.

Der Graph zur oben angegebenen Funktion 3x²+ 2x+ 1 ist

2 4 6 8 10 12

–2 –1 0 1

x

(6)

Wir wollen uns in den folgenden Beispielen ¨uberlegen, ob die jeweiligen Funktionen f : R → R injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Achtung: Es gibt Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv sind!

Injektivit¨at bedeutet, dass der Graph jeder Gerade mit der Gleichung y = a (c ∈ R) den Graphen Gf von f h¨ochstens einmal schneidet. Beachte, dass Gleichungen y = a Geraden parallel zur x-Achse beschreiben. Surjektiv heißt, dass jede solche Gerade den Graphen mindestens einmal trifft, und bijektiv schließlich bedeutet, dass jede solche Gerade den Graphen genau einmal trifft, und dass gleichzeitig D(f) = R gilt.

Sie müssen Surjektivität etwas anders interpretieren, wenn f : R → A mit A ⊆ R gilt. Surjektivität bedeutet dann, dass jede Gerade mit der Gleichung y = a mit a∈ A den Graphen Gf mindestens einmal trifft.

Beispiel 2.4 f(x) = 2x²+ 4x−30

–30 –20 –10 0 10 20 30 40

–6 –4 –2 2 4

x

Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv.

(7)

Beispiel 2.5 f(x) = 1 x²−5

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

y

–6 –4 –2 2 4 6

x

Auch diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv, denn f(x) ist niemals 0.

Beispiel 2.6 S(x) = 500 + 170.000

x , D(S) =R⁺

0 1000 2000 3000 4000

y

200 400 600 800 1000

x

Diese Funktion ist injektiv und nimmt alle positiven Werte > 500 an. Wenn wir S also auffassen als eine Abbildung R⁺ → {x ∈ R : x > 500}, so ist S surjektiv (sogar bijektiv!).

(8)

Beispiel 2.7 f(x) = 7

6 6.5 7 7.5 8

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

Diese Funktion heißt konstant

Allgemein heißt eine Funktion mit der Vorschrift

f(x) = c, wobei c eine Zahl unabh¨angig von x ist, konstant. Konstante Funktionen sind nicht injektiv und nicht surjektiv.

Beispiel 2.8 f(x) = 10x −3

–20 –10 0 10

–2 –1 1 2

x

(9)

Die Abbildung f ist injektiv und surjektiv.

Eine Funktion der Form

f(x) = a·x+b

heißt linear. Dabei sind a und b feste reelle Zahlen. Die Kostenfunktion K(x) = 170.000 + 500x ist beispielsweise eine lineare Funktion.

Beispiel 2.9 Ein Kopierladen erhebt die Kosten pro Fotokopie in Abh¨angigkeit von der Gesamtzahl der get¨atigten Kopien. Hierbei gelten folgende Preise:

Anzahl der Kopien 0 bis 49 50 - 99 ab 100 Preis pro Kopie 0,05¤ 0,04¤ 0.03¤

Die Funktion k, die den Preis pro Kopie beschreibt, ist also gegeben durch

k(x) =









0,05 falls 0 ≤ x ≤ 49 0,04 falls 50 ≤ x ≤ 99 0,03 falls 100 ≤ x

Ihr Graph sieht wie folgt aus:

(10)

ο

•

• ο

0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 x

Eine solche Funktion nennt manTreppenfunktion. Treppenfunktionen sind weder injektiv noch surjektiv. Achtung: Eigentlich ist unsere Funktion k(x) natürlich nur für ganzzahlige x definiert. Wir haben bei der hier angegebenen Skizze aber x beliebig reellwertig angenommen, was für die Visualisierung durchaus angemessen ist.

Bei Funktionen mit Sprüngen wie in diesem Beispiel sollte man bei der Visualisierung deutlich machen, welche Punkte an den Sprungstellen zum Funktionsgraphen gehören. Wir malen einen fetten Punkt, wenn der Punkt dazugehört, sonst einen nicht ausgefüllten kleinen Kreis.

Die Funktion K, die die Gesamtkosten des Kunden in Abh¨angigkeit von der St¨uckzahl angibt, ist

K(x) =









0,05x falls 0 ≤ x ≤ 49 0,04x falls 50 ≤ x ≤ 99 0,03x falls 100 ≤ x Ihr Graph sieht wie folgt aus:

(11)

ο

•

• ο

0 1 2 3 4 5 6

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 x

Solche Funktionen treten h¨aufig bei Preisen mit Rabattstaffelung auf.

Injektive Abbildungen haben eine sch¨one Eigenschaft. Beachten Sie dabei, dass der Wertebereich aus allen y ∈ R besteht, f¨ur die es ein x gibt mit y = f(x). Es handelt sich also um die Menge der reellen Zahlen, die wirklich als Bild von f auftreten.

(12)

Ist die Funktion f : R → R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D → W bijektiv. Dann heißt

f⁻¹ : W → D , y 7→ x wobei x ∈ D mit f(x) = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph

G_f−1 = {(y, x)∈ W ×D | y = f(x)}

= {(y, x)∈ W ×D | (x, y) ∈ Gf} entsteht aus Gf durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden.

Beispiel 2.10 Wir betrachten wieder die St¨uckkostenfunktion S(x) = 500 + 170.000

x .

Für welche Stückzahl ergibt sich 1500 ¤? Wir lösen hierzu 500 + 170.000

x = 1500 nach x auf und erhalten

170.000

x = 1000 x = 170.

(13)

Das ist die gesuchte St¨uckzahl, denn es ist nun S(170) = 1500. L¨osen wir allgemein die Gleichung

500 + 170.000 x = y nach x auf, so erhalten wir

x = 170.000 y−500 und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also

S⁻¹(y) = 170.000 y−500.

Mit ihr lässt sich zu beliebigen Stückkosten die zugehörige Stückzahl ermitteln.

Beispiel 2.11 Die Funktion f : R⁺₀ → R⁺₀ mit f(x) = x² ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung ist f⁻¹(y) = √y.

0 1 2 3 4

y

1 2 3 4

x

(14)

Beachte: Die Funktion f(x) = x² kann auch f¨ur alle x ∈ R betrachtet werden, ist dann aber nicht injektiv, folglich gibt es dann auch keine Umkehrfunktion.

Verkn¨upfung von Funktionen

Aus gegebenen Funktionen k¨onnen durch Verkn¨upfung mittels der Grundrechenarten neue Funktionen gebildet werden.

Seien f, g : R → R Funktionen und λ ∈ R. Dann lassen sich auch die folgenden Funktionen definieren:

λf : R → R, mit (λf)(x) = λf(x),

f ±g : R → R, mit (f ±g)(x) = f(x)±g(x), f ·g : R → R, mit (f ·g)(x) = f(x)·g(x),

f

g : R → R, mit f

g(x) = f(x) g(x).

(15)

Die Definitionsbereiche sind D(λf) = D(f)

D(f ±g) = D(f)∩D(g) D(f ·g) = D(f)∩D(g)

D f

g

= {x ∈R : x ∈ D(f)∩D(g) und g(x)6= 0}.

Beispiel 2.12 Seien f(x) = 15x−3, g(x) = 2x²−3x+ 1. Dann sind (5f)(x) = 75x −15

(f +g)(x) = 2x²+ 12x−2

(f ·g)(x) = (15x−3)(2x² −3x + 1)

= 30x³−51x²+ 24x−3 f

g

(x) = 15x−3 2x²−3x+ 1

Aus dem Definitionsbereich von f

g m¨ussen 1 und 1/2 ausgeschlossen werden, weil

(16)

g(1) = 0 und g(1/2) = 0.

Intervalle

Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von Intervallen

[a, b] = {x ∈R : a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall,

(a, b) = {x ∈R : a < x < b} offenes Intervall, [a, b) = {x ∈R : a ≤ x < b}

(a, b] = {x ∈R : a < x ≤ b} halboffene Intervalle.

Intervalle der Form

[a,∞) = {x ∈R : x ≥ a} (−∞, b] = {x ∈R : x ≤ b}

(a,∞) = {x ∈R : x > a} (−∞, b) = {x ∈R : x < b}

werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlossene, die letzten beiden offene Intervalle.

Monotonie

Neben Injektivit¨at und Surjektivit¨at spielen weitere Eigenschaften von Funktionen eine wichtige Rolle. Besonders wichtig ist die Monotonie:

(17)

Seien f : R → R eine Funktion und I ⊆ R ein Intervall im Definitionsbereich von f.

Gilt f¨ur alle x1, x2 ∈ I mit x1 < x2

f(x1) ≤ f(x2) (bzw. f(x1)< f(x2)) (2.2) dann heißt f (streng) monoton wachsend in I.

Gilt f¨ur alle x1, x2 ∈ I mit x1 < x2

f(x1)≥ f(x2) (bzw. f(x1) > f(x2))

dann heißtf (streng) monoton fallendinI. Die Funktionf heißt (streng) monoton wachsend auf dem ganzen Definitionsbereich, wenn die Bedingung (2.2) für alle x₁, x₂ ∈ D(f) mit x₁ < x₂ erfüllt ist. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend

Die St¨uckkostenfunktion S(x) = 500 + ^170.000_x ist streng monoton fallend.

Anschaulich bedeutet das: Je mehr St¨ucke produziert werden, so geringer sind die St¨uckkosten, um so effizienter ist also die Produktion.

Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und Injektivit¨at fest:

Ist f streng monoton wachsend (oder streng monoton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine Umkehrfunktion.

Beispiel 2.13 Die Funktion f(x) = 2x² + 4x − 30 ist auf [0,∞) streng monoton wachsend, auf (−∞,−2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstumsverhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir sp¨ater mit mathematischen Methoden ermitteln k¨onnen.

(18)

K¨onnen Funktionen nicht beliebig groß oder klein werden, spricht man von beschr¨ankten Funktionen:

Sei f : R → R eine Funktion und sei D der Definitionsbereich. Gibt es ein c∈ R mit

f(x)≥ c (bzw. f(x) ≤ c) f¨ur alle x ∈ D, dann heißt f nach unten (bzw. oben) beschr¨ankt.

Ist f nach unten und nach oben beschränkt, dann heißt f beschränkt. Anders formuliert: Der Wertebereich W(f) ist beschränkt, also W(f) ⊆ [a, b] für geeignete a, b ∈ R.

Beispiel 2.14 Die Funktion f(x) =x²−4 mit dem Graphen

–4 –2 2 4

–3 –2 –1 1 2 3

x

ist nach unten beschränkt, weil f(x) ≥ 4 für alle x ∈ R. Die Funktion ist aber nicht nach oben beschränkt.

(19)

Beispiel 2.15 Die Funktion f(x) = x³ ist weder nach oben noch nach unten beschr¨ankt.

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

–2 –1 1 2

x

Wir betrachten wieder die Kostenfunktion

K(x) = 170.000 + 500x

auf dem Intervall [0,2000]. Dort ist K beschr¨ankt, weil K(x) ≥ K(0) = 170.000 K(x) ≤ K(2000) = 1.170.000

für alle x ∈ [0,2000]. Das Intervall [0,2000] könnte aus ökonomischer Sicht relevant sein, wenn etwa die Maximalauslastung bei 2000 produzierten Waschmaschinen liegt.

Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen:

(20)

Sei f : R → R eine Funktion mit D(f) = R, die Funktion ist also auf ganz R definiert. Gilt f(−x) = f(x) f¨ur alle x ∈ R, dann heißt f gerade. Wenn f(−x) = −f(x) f¨ur alle x ∈ R gilt, dann heißt f ungerade.

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, der einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch bez¨uglich des Ursprungs des Koordinatensystems.

Beispiel 2.16 Die Funktion f(x) =x⁴ ist gerade,

0 2 4 6 8 10 12 14 16

y

–3 –2 –1 1 2 3

x

(21)

die Funktion f(x) = x⁵ ist ungerade:

–15 –10 –5 5 10 15

y

–2 2

x

Nullstellen

Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variable einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist:

Sei f : R → R eine Funktion. Ist x₀ ∈ D(f) eine reelle Zahl mit f(x0) = 0, dann heißt x0 eine Nullstelle von f.

Der folgende Graph skizziert eine Funktion mit drei Nullstellen (3, 1 und −3):

(22)

–40 –20 20 40 60

–3 –2 –1 1 2 3 4

x

2.3

Elementare Funktionen

In den folgenden Beispielen werden die Funktionen stets durch f : D → R angegeben, wobei D der Definitionsbereich von f ist.

Potenzieren und Wurzelziehen

(i) Sei n ∈ N. Die zugeh¨orige n-te Potenzfunktion ist

f : R → R mit f(x) = xⁿ f¨ur alle x ∈ R. Als Wertebereich ergibt sich

W(f) =





R, falls n ungerade, R⁺₀, falls n gerade .

(23)

(ii) Sei m ∈ Z. F¨ur m = 0 ist x⁰ = 1 f¨ur alle x ∈ R\ {0}. Der Ausdruck 0⁰ ist nicht definiert.

Ist m < 0, dann ist −m ∈ N, und die zugeh¨orige m-te Potenzfunktion ist f : R\ {0} → R mit f(x) = x^m = 1

x⁻^m.

(iii) n-te Wurzeln:

Sei n ∈ N. Definiere auf dem Definitionsbereich

D =





R⁺₀ falls n gerade R falls n ungerade

das Wurzelziehen (Radizieren) der n-ten Wurzeln durch f : D → R , f(x) = √ⁿ

x = xⁿ¹ wobei y = √ⁿ

x für gerades n die nichtnegative reelle Zahl und für ungerades n die (eindeutig bestimmte) reelle Zahl mit yⁿ = x bezeichnet; diese Zahl y ist negativ wenn x negativ ist. Sie müssen also aufpassen, wenn Sie n-te Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen: Für ungerade n geht das, für gerade n nicht (zumindest nicht über R).

(iv) Rationale Potenzen:

Sei a ∈ Q, a6= 0, also a= ^p_q mit p, q ∈ Z, p 6= 0, q > 0. Dann definieren wir auf dem Definitionsbereich D = R⁺ die zugeh¨orige Potenzfunktion durch

f : R⁺₀ → R, f(x) = x^p^q = √^q x^p

(24)

Im Fall rationaler Exponenten setzen wir bei der Berechnung vonx^a stets x ≥ 0 voraus. Sonst g¨abe es ein Problem: (−1)^3/5 = p⁵

(−1)³ = p⁵

(−1) = −1, aber (−1)^6/10 = ¹⁰p

(−1)⁶ = ¹⁰p

(1) = 1, obwohl doch (−1)^3/5 = (−1)^6/10 sein sollte. Deshalb sind Potenzen x^a im allgemeinen nur f¨ur x ≥ 0 definiert.

Wir verweisen auf das Kapitel 1.1 f¨ur diverse Funktionsgraphen von Potenzfunktionen.

Potenzfunktionen x^a mit a ∈ Q⁺ sind streng monoton steigend, f¨ur a ∈ Q⁻ streng monoton fallend.

Exponentialfunktion und Logarithmus

(i) Die Exponentialfunktion ist gegeben durch

exp : R→ R, exp(x) = e^x

Als Wertebereich ergibt sich W(exp) = R⁺. Hierbei ist e die Eulersche Zahl, also e ≈ 2,71828. . .. Die Bedeutung von e wird im Kapitel ¨uber Folgen und Reihen deutlich werden.

Die Funktion exp : R → R⁺ ist streng monoton wachsend und daher bijektiv;

ihre Umkehrfunktion ist die nat¨urliche Logarithmusfunktion ln : R⁺ → R, x 7→lnx.

(25)

Wir verweisen wieder auf Kapitel 1.1 f¨ur Beispiele gezeichneter Funktionsgraphen.

(ii) Exponentialfunktion zur Basis a:

Sei a ∈ R, a > 0. Auf D = R ist die Exponentialfunktion zur Basis a erkl¨art durch

f : R → R , f(x) = a^x, wobei a^x = e^ln^a^x = e^x^·^ln^a. Als Wertebereich ergibt sich W(f) =R⁺.

(iii) Logarithmus zur Basis a ∈R⁺, a 6= 1

Die Exponentialfunktionen zur Basis a > 0, a 6= 1 sind bijektive Abbildungen R → R⁺. Ihre Umkehrfunktionen sind die Logarithmusfunktionenlog_a : R⁺ → R. F¨ur x ∈ R⁺ ist die Zahl y = log_a(x) diejenige reelle Zahl mit a^y = x. Wir

definieren dann den Logarithmus zur Basis a durch f : R⁺ → R, f(x) = log_a(x) Der Wertebereich ist W(f) =R.

Die Exponentialfunktionen x 7→ a^x sind streng monoton steigend falls a > 1 und streng monoton fallend falls a ∈ (0,1). Die Logarithmusfunktionen log_a(x) sind f¨ur alle a > 1 streng monoton steigend und f¨ur 0 < a < 1 streng monoton fallend.

(26)

Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen)

Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x ∈ [0,2π]. Alternativ werden die Argumente der Winkelfunktionen in Winkelgraden angegeben. Hier entspricht der Winkelgrad α = 360ô der Bogenlänge x = 2π, und Anteile am Vollkreiswinkel 360ô werden entsprechend in Anteile des Kreisumfangs umgerechnet:

α = 360^o

t entspricht x = 2π t d.h. die Bogenl¨ange zum Winkel α ist x = π

180α.

(i) Sinus

Als Winkelfunktion ist die Sinus-Funktion in folgender Weise definiert. F¨ur

einen Winkel α ∈ [0,^π₂] ist sinα = Gegenkathete

Hypothenuse, wobei hier die (Länge der) Gegenkathete bzw. Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α ∈ [^π₂, π] ist sinα = sin(π − α). Für α ∈ [π,2π] ist sinα = −sin(α−π).

Ist x ∈ R, dann schreiben wir x = 2mπ + α mit m ∈ Z, α ∈ [0,2π), und setzen sinx = sinα. Dadurch ist die Sinus-Funktion auf ganz R erkl¨art. Sie ist periodisch mit Periode 2π. Ihr Wertebereich ist

W(sin) = {y ∈R : −1 ≤ y ≤ 1} = [−1,1].

(27)

Hypothenuse Gegenkathete

Ankathete

α π/2−α

Diese Skizze zeigt noch einmal die Gr¨oßen, die bei der Definition der trigonometrischen Funktionen eine Rolle spielen.

(ii) Cosinus:

Als Winkelfunktion ist die Cosinus-Funktion in folgender Weise definiert.

Für einen Winkel α ∈ [0,^π₂] ist cosα = HypothenuseÂnkathete , wobei hier die (Länge

der) Ankathete bzw. Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. F¨ur α ∈ [^π₂, π] ist cosα = −cos(π − α).

F¨ur α ∈[π,2π] ist cosα = −cos(α−π).

Ist x ∈ R, dann schreiben wir x = 2mπ + α mit m ∈ Z, α ∈ [0,2π), und setzen cosx = cosα.

Auch die Cosinus-Funktion ist periodisch mit Periode 2π. Ihr Wertebereich ist ebenfalls W(cos) = [−1,1].

–1 –0.5 0 0.5 1

–6 –4 –2 2 4 6

x

Graphen von sinx (rot) und cosx (blau)

(28)

Diese Abbildung illustriert sin(x+ π

2) = cosx und sin(x) = cos(x− π 2)

was man auch an der Skizze auf Seite 192 erkennt. Das bedeutet, dass der Graph der Sinus-Funktion aus dem Graph der Cosinus-Funktion durch Verschiebung um π/2 nach rechts entsteht.

(iii) Tangens:

Als Winkelfunktion ist die Tangens-Funktion f¨ur einen Winkel α ∈ [0, ^π₂), α 6= ^π₂, definiert alstanα = Gegenkathete

Ankathete wobei hier die (L¨ange der) Gegenkathete bzw. Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Es ist also

tanα = sinα cosα

Wie vorher wird tan fortgesetzt, diesmal allerdings nur auf den Definitionsbereich D = {x ∈ R : x 6= ^π₂ +m·π, m ∈Z}, und es ist

tan : D → R , tanx = sinx cosx . Als Wertebereich ergibt sich W(tan) = R.

(iv) Cotangens:

Diese Funktion ist auf D = {x ∈ R | x 6= m · π, m ∈ Z} definiert durch cotx = ^cos_sin_x^x.

Als Wertebereich ergibt sich W(cot) = R. Im folgenden Bild sind die Graphen f¨ur den Tangens rot und den Cotangens blau eingezeichnet.

(29)

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

Graphen von tanx (rot) und cotx (blau)

Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen 1. Einige spezielle Werte sind

0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin 0 ¹₂ ^√₂² ^√₂³ 1 cos 1 ^√₂³ ^√₂² ¹₂ 0

tan 0 ^√₃³ 1 √

3 − − − cot − − − √

3 1 ^√₃³ 0

(30)

2. Periodizit¨at:

sin(x + 2π) = sinx , cos(x + 2π) = cosx

3. Symmetrie:

sin(−x) =−sinx , cos(−x) = cosx

(sin ist eine ungerade und cos eine gerade Funktion.)

4. Satz des Pythagoras: sin²x+ cos²x = 1.

5. Additionstheoreme:

sin(x +y) = sinx ·cosy+ cosx·siny cos(x +y) = cosx·cosy −sinx·siny

6. Die trigonometrische Funktion tan ist streng monoton steigend und und die Funktion cot sind streng monoton fallend.

7. Verschiebungen um π/2:

sin(x+ ^π₂) = cos(x) cos(x− ^π₂) = sin(x)

(31)

Treppenfunktionen

Das sind Funktionen, die intervallweise konstant sind; bis auf die konstante Funktion haben solche Funktionen Sprungstellen.

Beispiel 2.17 • Ganzzahliger Anteil: Sei

f : R → R, f(x) = trunc(x)

wobei f¨urx ∈R durch trunc(x)der ganzzahlige Anteil von x (Vorkommastelle) bezeichnet sei. Als Wertebereich ergibt sich W(f) = Z.

•

• ο

ο

•

ο

•

ο

•

ο

–3 –2 –1 0 1 2 3

–3 –2 –1 1 2 3

x

(32)

• Vorzeichenfunktion:

Es sei

sgn: R → R , x 7→





1 falls x > 0 0 falls x = 0

−1 falls x < 0

• ο

–1ο –0.5 0.5 1

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

2.4

Polynome

Eine Funktion P : R → R gegeben durch

P(x) = anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a1x+a0

=

Xn k=0

akx^k,

wobei n ∈ N₀, ak ∈ R und an 6= 0, heißt Polynom(funktion) vom Grad grad(P(x)) = n.

F¨ur das Nullpolynom 0 setzen wir grad(0) = −∞. Die Zahlen a₀, a₁, . . . , a_n heißen die Koeffizienten des Polynoms. Ist an = 1, dann heißt P normiert.

(33)

–20 20 40 60

–3 –2 –1 1 2 3

x

Graph von 2x⁴−10x² + 3x −10

Division mit Rest

Seien S(x), T(x) zwei Polynome, T(x) 6= 0.

Dann gibt es eindeutig bestimmte PolynomeQ(x)undR(x) mit der Eigenschaft

S(x) = T(x)Q(x) +R(x) und grad(R(x)) < grad(T(x)) Die Polynome Q(x), R(x) werden genauso wie beim

“schriftlichen Dividieren” berechnet. R(x) heißt Rest von S(x) bei Division durch T(x).

Beispiel 2.18 • Sei S(x) = 6x³ + 17x²−4x+ 5, T(x) = 3x+ 1. Dann ist 6x³+ 17x² −4x+ 5 = (2x²+ 5x−3)·(3x+ 1) + 8,

(34)

also Q(x) = 2x²+ 5x−3 und R(x) = 8.

• Sei S(x) = x²+x −12, T(x) = x+ 4. Wir erhalten x² +x −12 = (x −3)(x+ 4) + 0, also Q(x) =x −3 und R(x) = 0.

Der Buchstabe Q soll andeuten, dass es sich bei Q(x) um den Quotienten und bei R(x) um den Rest handelt.

Allgemein gilt f¨ur x0 ∈ R und T(x) = x −x0: Die Division mit Rest liefert die Darstellung

S(x) = (x−x₀)Q(x) +P(x₀)

Es ist also S(x0) = 0 genau dann, wenn S(x)von der Form S(x) = (x−x0)Q(x) ist, d.h. wenn x −x0 das Polynom S(x) teilt.

Satz 2.1 (Nullstellen und Linearfaktoren)

Sei P : R → R ein Polynom vom Grad n ∈ N. Dann ist x₀ ∈ R eine Nullstelle von P genau dann, wenn es ein Polynom Pe : R → R vom Grad n −1 gibt, so dass

P(x) = (x−x0)·Pe(x).

Das Polynom x−x0 heißt dann ein Linearfaktor des Polynoms P(x).

(35)

(Vielfachheit von Nullstellen)

Sei x0 ∈ R Nullstelle eines Polynoms P(x) 6= 0, und sei k ∈ N die gr¨oßte Zahl, so dass (x − x0)^k das Polynom P(x) teilt. Dann heißt die Zahl k die Vielfachheit der Nullstelle x0.

Beispiel 2.19 • Das Polynom

P(x) = (x−3)⁴(x+ 2)³(x²+x+ 1)

hat 3 als Nullstelle der Vielfachheit 4 und −2 als Nullstelle der Vielfachheit 3.

Weitere Nullstellen hat das Polynom nicht, weil x² + x + 1 keine Nullstellen hat.

• F¨ur quadratische Polynome der Form x² +px+ q ist die L¨osungsformel zur

Bestimmung der Nullstellen bekannt als

−p±p

p²−4q

2 falls p² > 4q

−^p₂ (doppelte Nullstelle) falls p² = 4q keine falls p² < 4q

(siehe auch die p−q-Formel in Abschnitt 1). Für Polynome vom Grad 3 und 4 gibt es ebenfalls allgemeine Lösungsformeln zur Bestimmung der Nullstellen, die von einer ähnlichen Form wie die Lösungsformel für quadratische Polynome sind.

F¨ur allgemeine Polynome vom Grad ≥ 5 gibt es solche Formeln (aus prinzipiellen Gr¨unden) nicht (das wurde 1823 von dem norwegischen Mathematiker Niels Abel bewiesen).

(36)

• Finde alle Nullstellen von

P(x) = x⁵+ 2x⁴−4x²−5x+ 6.

Durch Probieren findet man die Nullstelle x0 = 1. Division mit Rest liefert P(x) = (x−1)(x⁴+ 3x³+ 3x²−x−6).

Nun sieht man dass x₀ = 1 auch Nullstelle des zweiten Faktors ist und Division mit Rest ergibt

P(x) = (x−1)²(x³+ 4x²+ 7x + 6).

Durch Probieren findet man jetzt noch die Nullstelle x1 = −2 und nach Division mit Rest hat man

P(x) = (x−1)²(x + 2)(x²+ 2x+ 3).

Der letzte Faktor hat keine Nullstellen und somit l¨asst sich P(x) nicht weiter faktorisieren. Aber nur selten lassen sich die Nullstellen so einfach durch Probieren finden. Man benutzt dann oft N¨aherungsverfahren.

Wir fassen einige Eigenschaften ¨uber die Nullstellen von Polynomen zusammen.

(37)

• Ein Polynom vom Grad n hat h¨ochstens n Nullstellen (mit Vielfachheiten gez¨ahlt). Es gibt nicht-konstante Polynome ohne Nullstellen.

• Jedes Polynom l¨aßt sich schreiben in der Form P(x) = (x −x1)^k¹ ·. . .·(x−xm)^k^mR(x) wobei xi, i = 1, . . . , m, die Nullstellen von P(x) der Vielfachheit ki sind, und R(x) keine Nullstelle hat.

• Ein reelles Polynom ungeraden Grades besitzt stets mindestens eine reelle Nullstelle.

Mithilfe tiefliegender Ergebnisse der Algebra erh¨alt man sogar folgende Faktorisierung eines Polynoms. Dieser Satz ist die reelle Form des sogenannten Fundamentalsatz der Algebra.

Satz 2.2 Sei P : R → R ein normiertes Polynom vom Grad n.

Dann l¨asst sich P(x) eindeutig als Produkt von linearen und quadratischen Faktoren in der folgenden Form schreiben:

P(x) = (x −x1)^k¹· · ·(x−xr)^k^r·

·(x²+p1x+q1)^l¹· · ·(x²+psx+qs)^l^s

mit x₁, . . . , x_r, p₁, q₁, . . . , p_s, q_s ∈ R, k₁, . . . k_r, l₁, . . . l_s ∈ N, p²_j < 4qj f¨ur j = 1, . . . , s (d.h., x² + pjx + qj hat keine Nullstelle).

(38)

Oft sind die Koeffizienten der zu betrachtenden Polynome ganzzahlig. Ist außerdem das Polynom normiert, so gibt es ein einfaches Mittel, um die rationalen Nullstellen zu finden.

Satz 2.3 (Nullstellentest)

Sei P(x) = xⁿ + an−1xⁿ⁻¹ + . . . + a1x + a0 ein normiertes Polynom mit Koeffizientena0, . . . , an−1 ∈ Z. Ist x₀ ∈ Q eine Nullstelle von P(x), dann ist x₀ ganzzahlig und ein Teiler von a0.

Beispiel 2.20 • Sei

P(x) = x⁴−x³−4x²−x−10.

Dann kommen als rationale Nullstellen nur die (ganzzahligen) Teiler von 10

in Frage, d.h.: ±1,±2,±5,±10. Einsetzen zeigt, dass von diesen 8 Werten nur −2 eine Nullstelle von P(x) ist. Der Graph von P(x) zeigt aber, dass es mindestens 2 verschiedene Nullstellen gibt. Es muss also noch mindestens eine weitere irrationale Nullstelle geben.

(39)

–20 20 40 60

–3 –2 –1 1 2 3

x

• Das Polynom x²−2 hat ¨uberhaupt keine rationalen Nullstellen.

Interpolation durch Polynome

In vielen Situationen sind f¨ur n Stellen x1, . . . , xn ∈ R zugeh¨orige Werte y1, . . . yn ∈R gegeben (oder gemessen worden), und es wird nach einer “glatten”

Funktion gesucht, die diese Werte an den vorgegebenen Stellen annimmt, d.h.

zwischen diesen Werten interpoliert. Mit Polynomen vom Grad < n l¨asst sich dies wie folgt erreichen:

(40)

Satz 2.4 Seien x1, . . . , xn ∈ R verschiedene Zahlen und y1, . . . yn ∈ R beliebig. Dann gibt es genau ein Polynom P(x) vom Grad < n mit P(xi) =yi f¨ur i = 1, . . . , n. Dieses Polynom hat die Form

P(x) = Xn

i=1

yi

(x−x₁)· · ·(x−x_i₋₁)·(x−x_i+1)· · ·(x−x_n) (xi −x1)· · ·(xi−xi−1)·(xi −xi+1)· · ·(xi −xn)

Das macht man sich wie folgt klar: Setzen Sie in den Summand y_i (x−x1)· · ·(x−xi−1)·(x−xi+1)· · ·(x−xn)

(xi −x1)· · ·(xi−xi−1)·(xi −xi+1)· · ·(xi −xn)

f¨ur x den Wert x_j mit j 6= i ein, so erhalten Sie als Ergebnis 0. Setzen Sie aber xi f¨ur x ein, so erhalten Sie yi.

Beispiel 2.21 Gesucht ist ein Polynom P(x) mit

P(2) = 4, P(3) = −5, P(6) = −5, P(−2) = 0.

Das ist mit einem Polynom vom Grad höchstens 4 machbar (siehe auch die Skizze auf der übernächsten Seite).

(41)

P(x) =4(x−3)(x−6)(x + 2) (2−3)(2−6)(2 + 2)

−5(x −2)(x−6)(x+ 2) (3 −2)(3−6)(3 + 2)

−5(x −2)(x−3)(x+ 2) (6 −2)(6−3)(6 + 2) + 0 (x−2)(x−3)(x −6)

(−2−2)(−2−3)(−2−6)

= 1

32(17x³−115x²−36x+ 524)

–20 –10 0 10

–2 2 4 6

x

(42)

Ein Ziel bei der Approximation ist es, aus einigen wenigen beobachteten Werten (z.B. Umsatz und Gewinn) darauf zu schließen, wie denn wohl die nicht beobachteten Werte aussehen. So etwas muss man aber mit Vorsicht genießen!

Stellen Sie sich vor, Sie sind Kunde in dem Kopieshop von Beispiel 2.9. Stellen Sie sich ferner vor, Sie kennen die Preispolitik des Shops nicht so genau, sondern wollen aufgrund Ihrer Erfahrungen darauf schließen, wie denn wohl der St¨uckpreis aussehen wird. Wir kennen die St¨uckpreisfunktion schon:

ο

•

• ο

0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 x

Wenn sie f¨unfmal kopiert haben, und zwar 14, 67, 110, 200 sowie 1230 St¨uck, so haben Sie folgende Werte beobachtet:

(43)

Anzahl der Kopien x 14 67 110 200 1230 Preis pro Kopie y (in ¤) 0,05 0,04 0.03 0.03 0.03

Wir k¨onnen nun versuchen, durch diese 5 Werte ein Polynom vom Grad < 5 zu legen. Die folgende Abbildung zeigt die wahre St¨uckkostenfunktion, sowie die Polynomapproximation:

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

y

(44)

Die St¨uckkostenfunktion ist hier kaum noch zu erkennen. Die Polynom- approximation hat hier also nichts mit der wirklichen Funktion zu tun! Man muss also bei solchen Approximationen sehr vorsichtig sein.

2.5

Rationale Funktionen

Eine Funktion f : R → R der Form x 7→ ^P_Q(x)^(x) mit Polynomen P(x), Q(x) heißt rationale Funktion.

Der maximale Definitionsbereich von f = ^P_Q(x)^(x) ist D(f) = {x ∈ R | Q(x) 6= 0}. Sei x0 ∈R mit Q(x0) = 0. Ferner sei

P(x) = (x −x0)^kP^∗(x), Q(x) = (x−x0)^lQ^∗(x), wobei

P^∗(x0)6= 0, Q^∗(x0) 6= 0,

also P(x)

Q(x) = (x−x0)^k⁻^lP^∗(x) Q^∗(x).

(45)

Ist k < l, dann ist x0 eine Polstelle von ^P_Q(x)^(x). In der Nähe einer Polstelle werden die Funktionswerte sehr groß (oder sehr klein), weil bei Annäherung an x0 der Wert von (x − x₀)^k⁻^l “gegen ±∞” geht, wohingegen der Ausdruck ^P_Q^∗_∗^(x)_(x) für x-Werte in der Nähe von x0 nicht in die Nähe von 0 kommt!

Ist k ≥ l, dann ist x0 eine sogenannte hebbare Lücke. Zunächst einmal gehört x0 nicht zum Definitionsbereich, weil ja Q(x0) = 0 ist. Wir definieren einfach

P Q

(x0) =









0 wenn k > l P^∗(x0)

Q^∗(x₀) wenn k = l Das ist m¨oglich weil Q^∗(x0) 6= 0 und k ≥ l ist.

Beispiel 2.22 • F¨ur die Funktion

f(x) = P(x)

Q(x) = (x −1)²(x+ 2) (x −1)(x+ 3)²

ist k > l und P(x)

Q(x) hat eine hebbare Definitionsl¨ucke an der Stelle x₀ = 1.

Der Funktionswert ist 0 f¨ur x0 = 1.

(46)

–2 –1 1 2 3 4

y

–2 –1 1 2 3

x

Beachten Sie aber, dass die Funktion f(x) formal f¨ur x = 1 nicht definiert ist.

• F¨ur

P(x)

Q(x) = (x −1)²(x+ 2) (x−1)²(x + 3)² ist k = l und wieder hat P(x)

Q(x) eine hebbare Definitionsl¨ucke an der Stelle x₀ = 1. Der Funktionswert ist dort ₁₆³. Das folgende Bild zeigt den Graph der Funktion f nur in der N¨ahe von x0 = 0.

(47)

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4

y

–2 –1 1 2 3

x

Wenn Sie einen gr¨oßeren Abschnitt auf der x-Achse betrachten, so “sehen”

Sie eine Polstelle bei x = −3.

–10 –8 –6 –4 –2 0

y

–6 –4 –2 2

x

• Ist nun

P(x)

Q(x) = (x −1)²(x+ 2) (x−1)³(x + 3)²,

(48)

so ist k < l und die Funktion hat eine Polstelle in x0 = 1.

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

y

–1 1 2 3

x

Beispiel 2.23 Ein typisches Beispiel f¨ur eine rationale Funktion ist die St¨uckkostenfunktion aus dem ersten Kapitel dieses Abschnitts (siehe Seite 141):

Allgemein ist die Kostenfunktion gegeben durch K(x) =kf +kvx

mit den festen (monatlichen) Kosten kf des Unternehmens und den variablen Kostenkv, die pro produziertem St¨uck anfallen. Dann ist die St¨uckkostenfunktion

S(x) = kf +kvx

x = kv + kf

x eine rationale Funktion mit einer Polstelle f¨ur x = 0.

Partialbruchzerlegung

Rationale Funktionen lassen sich als Summe einfacherer rationaler Funktionen schreiben, sofern man die Nullstellen des Nennerpolynoms kennt. Das soll Inhalt dieses Abschnitts sein.

(49)

Beispiel 2.24

(i) Sei

P(x)

Q(x) = 36x² + 48x −12 x³+x²−4x−4. Zun¨achst wird Q(x) zerlegt:

Q(x) = (x + 1)(x + 2)(x−2) Dann ist der Ansatz f¨ur die Partialbruchzerlegung

P(x)

Q(x) = a1

x + 1 + a2

x+ 2 + a3

x −2

Es lassen sich nuna₁, a₂, a₃ in der Tat so bestimmen, dass die Gleichung erf¨ullt wird. Multiplikation mit Q(x) und dann Ausmultiplizieren liefert n¨amlich

P(x) = 36x²+ 48x−12

= a1(x+ 2)(x −2) +a2(x + 1)(x−2) +a₃(x+ 1)(x+ 2)

= (a₁+a₂ +a₃)x²+ (−a₂+ 3a₃)x

−4a1−2a2+ 2a3

und Koeffizientenvergleich f¨uhrt auf die linearen Gleichungen

(50)

36 = a₁+a₂+a₃ 48 = −a₂+ 3a₃

−12 = −4a₁−2a₂+ 2a₃

Auflösen ergibt: a1 = 8, a2 = 9, a3 = 19 (wie man effizient auch größere lineare Gleichungssysteme lösen kann, wird später in der Vorlesung behandelt).

Also ist

36x²+ 48x −12 x³+x² −4x −4

= 8

x+ 1 + 9

x+ 2 + 19 x−2

(ii) Sei

P(x)

Q(x) = x⁵+ 4x⁴+ 5x³+ 5x²+ 2x−5 x⁴+ 5x³ + 9x²+ 8x+ 4 .

Da hier der Zähler einen größeren Grad hat als der Nenner, wird zunächst P(x) mit Rest durch Q(x) geteilt; das liefert

P(x)

Q(x) = x−1 + x³+ 6x²+ 6x−1 x⁴ + 5x³+ 9x² + 8x + 4.

Nun setzt man R(x) = x³ + 6x² + 6x − 1, und bestimmt die Partialbruchzerlegung von ^R(x)_Q(x). Wieder zerlegen wir Q(x):

Q(x) = (x+ 2)²(x²+x+ 1)

(51)

Der Ansatz f¨ur die Partialbruchzerlegung ist jetzt R(x)

Q(x) = a1

x+ 2 + a2

(x+ 2)² + bx+c x²+x+ 1

Multiplikation mit Q(x), Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert a1 = −1, a2 = 1, b = 2, c= 0.

Also ist

x⁵+ 4x⁴ + 5x³+ 5x² + 2x −5 x⁴+ 5x³+ 9x²+ 8x+ 4

= x −1− 1

x+ 2 + 1

(x+ 2)² + 2x x² +x + 1 Das Vefahren funktioniert immer, denn es gilt:

Satz 2.5 (Partialbruchzerlegung)

Sei ^P_Q(x)^(x) eine rationale Funktion, wobei der Grad von P(x) kleiner ist als der von Q(x). Ferner sei Q(x) wie in Satz 2.2 in r Linearfaktoren undsquadratische Terme zerlegt. Dann gibt es (eindeutig bestimmte) reelle Zahlen aij, bij, cij mit

P(x) Q(x) =

Xr i=1

k_i

X

j=1

aij

(x−x_i)^j + Xs

i=1 l_i

X

j=1

bijx +cij

(x²+p_ix+q_i)^j

Die Gesamtzahl aller Koeffizienten aij, bij, cij ist der Grad von Q(x).

Diese Zerlegung heißt Partialbruchzerlegungder rationalen Funktion

P(x)

Q(x) und die auf der rechten Seite auftretenden Br¨uche heißen Partialbr¨uche.

(52)

Die Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung werden – nach Multiplikation mit Q(x) auf beiden Seiten – durch Koeffizientenvergleich bestimmt (wie in Beispiel 2.24)

2.6

Stetigkeit und Grenzwerte

Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und auch nicht immer eine brauchbare Beschreibung, wie wir später in Beispiel 2.29 sehen werden.

Zun¨achst einige einfachere Beispiele.

Beispiel 2.25 Der Graph der Funktion f : [0,5] −→ [0,5], f(x) =

x, falls x ∈ [0,2], 3, falls x ∈ (2,5]

ist gegeben durch

(53)

•

ο

0 0.5 1 1.5

2 2.5 3

1 2 3 4 5

x

wobei der • andeutet, dass f(2) = 2 ist. Offensichtlich hat die Funktion f an der Stelle 2 eine Sprungstelle.

Die n¨achsten Beispiele sollten Ihnen aus dem Abschnitt ¨uber rationale Funktionen vertraut sein.

Beispiel 2.26 Wir betrachten die Funktion f : R−→ R, f(x) = x

x −3 = x −3 + 3

x −3 = 1 + 3 x−3. Da f(x) f¨ur x = 3 nicht definiert ist, ist der maximale Definitionsbereich

D(f) =R\{3}. Der Graph von f hat die folgende Gestalt

(54)

–15 –10 –5 0 5 10 15

2 3 4 5

x

Bei Ann¨aherung der Argumente x von links gegen 3 werden die Funktionswerte beliebig klein, bei Ann¨aherung von rechts beliebig groß.

Beispiel 2.27 Die Funktion

f : R−→ R, f(x) = (x−1)²(x + 2) (x−1)²

hat den Definitionsbereich D(f) = R\{1} und den Graphen

(55)

ο

–1 1 2 3 4 5

–3 –2 –1 1 2 3

x

Die Funktion ist zwar an der Stelle x0 = 1 nicht definiert, aber offensichtlich kann durch Hinzunahme des Punktes (1,3) der Graph “geschlossen” werden. Es gibt also eine sch¨one “Ersatzfunktion” g(x) = x + 2, die nach Hinzunahme des

Punktes (1,3) entsteht.

Wir wollen nun den Begriff der Stetigkeit formal exakt definieren. Wir beginnen dabei mit der Situation, dass wir Stetigkeit an einem Punkt des Definitionsbereiches untersuchen.

(56)

Sei f : R → R eine Funktion mit Definitionsbereich D. f heißt stetig an der Stelle x0 ∈ D, wenn sich zu jedem beliebig kleinen ε ∈ R⁺ ein δ ∈ R⁺ finden lässt, so dass für alle x-Werte in D, die weniger als δ von x₀ entfernt sind, die zugehörigen Funktionswerte f(x) weniger als ε von f(x0) entfernt liegen. Präzise heißt dies,

wenn aus |x−x0| < δ und x ∈ D stets |f(x)−f(x0)| < ε folgt.

f heißt stetig auf der Teilmenge A ⊆ D, wenn f an jeder Stelle x0 ∈ A stetig ist. f heißt stetig, wenn f stetig auf dem ganzen Definitionsbereich D ist.

Stetigkeit an einer Stelle x₀ stellt man sich anschaulich folgendermaßen vor:

Legt man symmetrisch um f(x0) einen waagerechten Streifen beliebig kleiner

Breite 2ε, so muss es einen senkrechten Streifen symmetrisch um x₀ geben, so dass der Teil des Graphen, der im senkrechten Streifen liegt, automatisch auch in dem waagerechten Streifen liegt. Hierbei kann die Breite des senkrechten Streifen so klein wie n¨otig gew¨ahlt werden, in obiger Definition ist sie 2δ. Der waagerechte Streifen ist die Menge

{(x, y)| x ∈ R, f(x₀)−ε < y < f(x₀) +ε}, der senkrechte ist die Menge

{(x, y) | y ∈ R, x0−δ < x < x0+δ}.

Das folgende Beispiel zeigt, wie man den δ-Streifen korrekt w¨ahlen kann, um hier beispielsweise Stetigkeit an der Stelle x0 = −2 zu zeigen:

(57)

- Streifen δ

- Streifen ε

•

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

–2.8 –2.6 –2.4 –2.2 –2 –1.8 –1.6 –1.4 –1.2 –1

Mathematik I – WiSe 2004/2005 x 252

Die n¨achste Skizze zeigt, wie es nicht geht. Hier ist δ zu groß gew¨ahlt worden.

δ

- Streifen ε

•

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

–2.8 –2.6 –2.4 –2.2 –2 –1.8 –1.6 –1.4 –1.2 –1 x

(58)

Beispiel 2.28 Die Funktion aus Beispiel 2.25 ist nicht stetig an x0 = 2. Für einen waagerechten Streifen der Breite 1 (alsoε = 1/2) symmetrisch umf(2) = 2 gibt es keinen passenden senkrechten Streifen. Die Funktion ist aber auf den Intervallen [0,2] und (2,5] stetig. In der folgenden Skizze ist der -Streifen wieder blau gekennzeichnet. Wir haben beispielhaft einen grünen δ-Streifen eingezeichnet. Auch wenn Sie δ kleiner wählen gelingt es Ihnen nicht, die Funktionswerte des δ-Streifens ganz in den -Streifen zu zwingen.

•

ο

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1 2 3 4 5

x

(59)

Beispiel 2.29 Die Anschauung, dass eine Funktion stetig ist, wenn man ihren Graphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen, ist mit Vorsicht zu genießen.

Man kann mit obiger Definition beweisen, dass die Funktion

f : R −→ R, f(x) =

( xsin

1 x

, x 6= 0,

0, x = 0.

auf ganz R stetig ist, also auch an der Stelle x0 = 0 (sin bezeichnet die Sinus-Funktion). Ihr Graph hat folgendes Aussehen im Intervall [0.5,0.5]:

–0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3 0.4

–0.4 –0.2 0.2 0.4

x

“Zoomen” wir uns n¨aher an die Werte f¨ur x = 0 heran, versucht MAPLE (ein Computeralgebra-System) den Graph im Intervall [0.00001..0.00001] so zu zeichnen:

(60)

–8e–06 –6e–06 –4e–06 –2e–06 0 2e–06 4e–06 6e–06 8e–06 1e–05

–1e–05 –6e–06 2e–06 6e–06 1e–05

x

Gemäß der Definition sind die beiden Funktionen in Beispiel 2.26 und 2.27 beide stetig, denn die einzigen Problemfälle der Graphen gehören nicht zum Definitionsbereich der jeweiligen Funktion. Um auch diese Phänomene zu behandeln, muss man geringfügig anders vorgehen.

(61)

Seienf : R → Reine Funktion mit Definitionsbereich D. Ferner sei x0 ∈ R eine Stelle, f¨ur die es ein Intervall (ˆx, x0) in D gibt. Außerdem sei a ∈ R eine Zahl. Dann heißt

a linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x₀, falls es f¨ur alle ε ∈ R⁺ ein δ ∈ R⁺ gibt, so dass aus x ∈ D ∩(x0 −δ, x0) stets |f(x)−a| < ε folgt. Wir schreiben dann

xlim%x₀f(x) = a.

Analog definiert man rechtsseitigen Grenzwert, indem man (ˆx, x₀) und (x₀ − δ, x₀) durch (x₀,x)ˆ und (x0, x0+δ)ersetzt. In dem Fall, dass arechtsseitiger Grenzwert an der Stelle x0 ist, schreibt man

xlim&x₀f(x) = a.

Besonders wichtig ist der Fall, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert existieren und gleich sind:

(62)

a heißt Grenzwert an der Stelle x0, wenn a links- und rechtsseitiger Grenzwert an x0 ist, Schreibweise:

xlim→x₀f(x) = a.

Die Forderung eines Intervalls (ˆx, x0) ⊆ D bedeutet , dass es links von x0 auch wirklich einen Graphen von f gibt.

Es kann vorkommen, dass eine Funktion gar keinen rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x₀ hat, aber einen linksseitigen oder umgekehrt. Sie kann auch weder einen rechtsseitigen noch einen linksseitigen Grenzwert an x0 haben.

Die anschauliche Beschreibung mit dem waagerechten und senkrechten Streifen ist auch hier wieder anwendbar: man muss lediglich vom senkrechten Streifen nur

die linke bzw. rechte H¨alfte (ohne Mittelstreifen) betrachten.

Beispiel 2.30 • Die Funktion in Beispiel 2.25 hat an der Stelle x0 = 2 den linksseitigen Grenzwert 2 und den rechtsseitigen Grenzwert3, also: lim

x%2f(x) = 2 und lim

x&2f(x) = 3. Der linksseitige Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert f(2) ¨uberein.

• Die Funktion in Beispiel 2.26 hat an der Stelle x0 = 3 weder einen linksseitigen noch einen rechtsseitigen Grenzwert.

• Die Funktion in Beispiel 2.27 hat an der Stelle x0 = 1 den Grenzwert 3, also

xlim→1f(x) = 3.

Stetigkeit l¨asst sich mithilfe von Grenzwerten ausdr¨ucken.