D I S S E R T A T I O N
zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium
(dr. rer. nat.) im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨ at II Humboldt-Universit¨ at zu Berlin
von
Herr Dipl.-Math. Gunter Fuchs
geboren am 19.10.1972 in V¨ astanfors/Schweden
Pr¨ asident der Humboldt-Universit¨ at zu Berlin:
Prof. Dr. J¨ urgen Mlynek
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨ at II:
Prof. Dr. Elmar Kulke Gutachter:
1. Prof. Dr. Ronald Jensen 2. Prof. Dr. Martin Weese 3. Dr. habil. Ralf Schindler
eingereicht am: 22. Januar 2003
Tag der m¨ undlichen Pr¨ ufung: 19. Juni 2003
In this work we introduce λ-structures and s-structures, and develop functionsSand Λ, which mapλ-structures tos-structures and vice versa. λ-structures are closely related to the premice studied in [Jen97] by Jensen (iterable premice of this kind areλ-structures), and s-structures were defined with the premice from [MS94], [Ste] and [SSZ] in mind.
Again, iterable premice of this kind ares-structures.
For the definition of these structures, a new form of the initial segment condition condition, calleds0-ISC, was developed, which is a common weakening of the versions used by Steel and Jensen. It still suffices for the applications.
In order to show that the functions introduced establish the desired correspondence, we developed methods for translating formulae, which in part are very generally applicable.
For instance, the translation of Σ1-formulae which hold in a successor level of the Jensen- hierarchy into corresponding Σω-formulae in the predecessor level, can be applied to arbitrary J-structures.
We introduce normals-iterations, which have been designed so as to rebuild the iterations of premice in the sense of [MS94] but are applied toλ-structures. It is shown that the translation functions can be applied component-wise to normal iterations, in order to translate normal s-iterations of λ-structures into normal iterations of s-structures, and vice versa. Using these methods, we can also translate iteration strategies and the result is that the functions introduced in this work map normally s-iterable λ-structures to normally iterables-structures, and vice versa.
Also,the fundamental fine structural notions, such as projecta, and under additional hy- potheses (soundness and 1-solidity) standard-parameters, are preserved.
Keywords:
Fine Structure Theory, Inner Model Theory, Extender Models, Core Model Theory
In dieser Arbeit werdenλ-Strukturen unds-Strukturen eingef¨uhrt, und FunktionenSund Λ entwickelt, die λ-Strukturen auf s-Strukturen abbilden und umgekehrt.λ-Strukturen sind eng verwandt mit den in [Jen97] untersuchten Pr¨am¨ausen (iterierbare Pr¨am¨ause dieser Art sindλ-Strukturen), unds-Strukturen wurden in Anlehnung an die in [MS94], bzw. [Ste] oder [SSZ] betrachteten Pr¨am¨ause definiert. Wieder sind iterierbare Pr¨am¨ause dieser Art auchs-Strukturen.
F¨ur die Definition dieser Strukturen wurde eine neue, schwache Form derinitial segment condition entwickelt (dies0-ISC), die stark genug f¨ur die Anwendungen ist.
Um zu zeigen, dass die hier entwickelten Funktionen die gew¨unschte Korrespondenz rea- lisieren, wurden Methoden zur ¨Ubersetzung von Formeln entwickelt, die teilweise sehr allgemein gehalten sind. So ist die ¨Ubersetzung von Σ1-Formeln, die in einer Nachfolger- stufe der Jensen-Hierarchie gelten, in entsprechende Σω-Formeln in der Vorg¨angerstufe, anwendbar auf beliebige J-Strukturen.
Es werden normales-Iterationen eingef¨uhrt, die den normalen Iterationen von Pr¨am¨ausen im Sinne von [MS94] nachgebildet sind, aber aufλ-Strukturen angewandt werden, und es wird gezeigt, dass die entwickelten Funktionen komponentenweise auf Iterationen ange- wandt werden k¨onnen, um normales-Iterationen vonλ-Strukturen in normale Iterationen von s-Strukturen zu ¨ubersetzen, und umgekehrt. Mit diesen Methoden lassen sich auch Iterationsstrategien ¨ubersetzen, und man erh¨alt, dass die entwickelten Funktionen normal s-iterierbareλ-Strukturen auf normal iterierbares-Strukturen abbilden, und umgekehrt.
Auch bleiben die wesentlichen feinstrukturellen Gr¨oßen, wie Projekta, und unter gewissen Voraussetzungen (soundness und 1-solidity) die Standard-Parameter erhalten.
Sclagw¨orter:
Feinstrukturtheorie, Innere Modelltheorie, Extendermodelle, Kernmodelltheorie
F¨ ur Kateri,
ohne die alles anders gekommen w¨ are,
und mit der alles anders wurde.
Vorwort 1
1 Zur verwendeten Notation und Terminologie 10
1.1 Grundlagen ¨uber Extenders . . . 12
2 Die Strukturen 16 2.1 Extender-Strukturen . . . 16
pPs-Strukturen . . . 18
2.2 Expansionsfunktionen . . . 19
pPλ-Strukturen . . . 25
2.3 Dies0-initial segment condition . . . 34
Potenzielleλ- unds-Strukturen . . . 36
2.4 Σ0-Codes . . . 37
(Pseudo-)λ- und (Pseudo-)s-Strukturen . . . 40
3 Die ¨Ubersetzungsfunktionen 42 3.1 Von pPλ- zu pPs-Strukturen... . . 42
3.2 ...und zur¨uck zu pPλ-Strukturen . . . 49
4 Nachfolgerstufen der Jensen-Hierarchie 62
iv
5 Ubersetzung von¨ Σ1-Formeln 81
5.1 Σ1-Definierbarkeit in pPs-Strukturen und deren maximalen Verl¨angerungen 81
5.2 Σ1-Definierbarkeit vonN nach Λ(N) . . . 93
5.3 Σ1-Definierbarkeit vonM nachS(M). . . 97
6 Projekta 116 6.1 Die ersten Projekta vonM undS(M) . . . 117
6.3 Dien-ten Projekta vonM undS(M). . . 120
7 Soundness und Solidity 125 7.1 Iterierte Standard-Parameter . . . 125
7.2 Die Definitionsbereiche vonSund Λ, Teil 1 . . . 131
7.3 Elimination der zus¨atzlichen Parameter . . . 135
7.4 Sehr gute Parameter inM undN . . . 143
7.5 Soundness undSolidity von ˜C0(N) nach ˜C0(M) . . . 145
Standard-Parameter von ˜C0(N) nach ˜C0(M) . . . 145
7.6 VonC0(N) nachC0(M) . . . 157
7.7 Soundness undSolidity von ˜C0(M) nach ˜C0(N) . . . 158
Standard-Parameter von ˜C0(M) nach ˜C0(N) . . . 158
7.8 VonC0(M) nachC0(N) . . . 167
8 Die Definitionsbereiche vonS undΛ, Teil 2 169 9 s-Iterationen 171 9.1 Normales-Iterationen . . . 171
Definition und fundamentale Eigenschaften . . . 171
Erhaltungseigenschaften der Iterationseinbettungen . . . 182
9.2 s-Coiterationen . . . 188
Existenz und Normalit¨at der s-Coiteration . . . 190
Koh¨arenz der s-Coiteration . . . 193
s-Coiterationen terminieren . . . 195
10 ¨Ubersetzen von Iterationen 201 10.1 Σ0-Extenderprodukte von Nachfolgerstrukturen . . . 201
10.2 Σ(n)1 -definierbare Mengen inM undN . . . 207
10.3 Extenderprodukte vonM undNb . . . 216
10.4 Normale Iterationen von pPs-Strukturen . . . 230
10.5 ¨Ubersetzung von Strategien . . . 240
Die Definitionsbereiche vonSund Λ, Teil 3 . . . 241
10.6 Andere Begriffe von Iterierbarkeit. . . 244
11 Zurs0-initial segment condition 246 11.1 DieZ-initial segment condition . . . 248
11.2 Erhaltungseigenschaften ders0-ISC . . . 252
Typ I . . . 257
Typ II . . . 258
Typ III . . . 262
11.3 Erhaltung ders0-ISC abw¨arts . . . 276
11.4 s-Strukturen und dies0-ISC . . . 278
12 Zu den squashed (Pseudo)-Σ0-Codes 281
Literaturverzeichnis 287
Index 289
Vorwort
In der Theorie innerer Modelle haben sich im Laufe der 90’er Jahre zwei verschiedene Kon- struktionsans¨atze herauskristallisiert und durchgesetzt. Sie sind unter den Schlagworten
”s-indexing“ und
”λ-indexing“ bekannt geworden und gehen einerseits auf William Mit- chell und John Steel ([MS94]), andererseits auf Sy Friedman und Ronald Jensen zur¨uck ([Jen97]).
Beide Ans¨atze verfolgen das Ziel, feinstrukturelle (also
”L-¨ahnliche“) Modelle zu konstru- ieren, die das mengentheoretische UniversumVm¨oglichst gut approximieren in dem Sinne, dass m¨oglichst viele der großen Kardinalzahlen vonVauch in den konstruierten Modellen noch große Kardinalzahlaxiome erf¨ullen. Seit der Isolation der Frage nach der Existenz der Theorie 0] als wesentliche Dichotomie lag der Fokus hierbei auf Hypothesen, die die Existenz elementarer Einbettungen (von Segmenten) des Universums betreffen; auch 0] kann als eine Codierung einer solchen Einbettung vonLin sich angesehen werden. Es hat sich als praktikabel erwiesen, diese Einbettungen durch sogenannte Extenders zu codie- ren, was auf eine Arbeit von Mitchell aus dem Jahr 1979 zur¨uckgeht ([Mit79]). Inzwischen gibt es diverse Repr¨asentationen von Extenders, und auch in Bezug auf die Wahl dieser Darstellung unterscheiden sich derλ- unds-Ansatz.
Da es also darum geht, feinstrukturelle Modelle zu konstruieren, in denen es m¨oglichst viele Extenders gibt, liegt es nahe, Strukturen der Form JEα zu betrachten, wobeiE eine Codierung einer Folge von Extenders ist. Bei s-Indizierung ist der Index αeines Exten- ders auf der Folge der kardinale Nachfolger des supports in dem Extenderprodukt der aufαzur¨uckgeschnittenen Struktur. Beiλ-Indizierung istαder kardinale Nachfolger des Bildes des kritischen Punktes unter der Extenderprodukteinbettung (wieder berechnet in dem Extenderprodukt). Der Index eines Extenders in einer s-indizierten Struktur wird also kleiner oder gleich dem Index des
”gleichen“ Extenders in einerλ-Struktur sein. Was hierdurch passieren kann, ist, dass gewisse Extenders, die in einerλ-Struktur auftauchen, in der
”entsprechenden“s-Struktur nicht vorhanden sind. Diese werden aber durch die Ex-
tenders der entsprechendens-indizierten Struktur
”codiert“ und treten durch Anwendung geeigneter Extenders auf der Extendersequenz der
”entsprechenden“s-Struktur wieder in Erscheinung.
Bisher war im Wesentlichen nur von den Extendersequenzen die Rede, und es wurde angedeutet, dass man auf eine kanonische Weise aus einerλ-Sequenz eine
”entsprechende“
s-Sequenz erhalten kann und umgekehrt. Wenn man von einer Extendersequenz nicht mehr verlangt, als dass die Extenders (im jeweiligen Sinne) richtig indiziert sind, eine Form einer sogenannten initial segment condition erf¨ullt ist, und dass eine gewisse Koh¨arenz gew¨ahrleistet ist, so ist dies nicht allzu schwer zu sehen und wohl auch nicht vollkommen neu (wenn auch bisher unver¨offentlicht, vgl. aber [Ste, Bemerkung vor Def. 2.6]).
Das Ziel dieser Arbeit geht aber etwas weiter. Es wird versucht, eine Korrespondenz der gesamten Strukturen hJEα, Fi herzustellen, die sowohl im λ-, als auch im s-Ansatz als Pr¨am¨ause bezeichnet werden. Wortw¨ortlich wird dies jedoch offensichtlich nicht zutref- fen, aber gr¨oßtenteils aus Gr¨unden des unterschiedlichen Geschmacks der Begr¨under der beiden Theorien - beispielsweise wird von Mitchell-Steel verlangt, dass echte Seg- mente von Pr¨am¨ausensolid sind, w¨ahrend dies beiJensen nicht der Fall ist (iterierbare Pr¨am¨ause sind jedoch
”auf beiden Seiten“solid, so dass dieser Unterschied f¨ur die eigent- lich interessierenden Strukturen unwichtig ist). Um der gesuchten Korrespondenz also zumindest eine Chance zu geben zu existieren, werden in dieser Arbeit neue Strukturen definiert. Soweit m¨oglich, wurden schw¨achere Bedingungen gestellt, die aber immernoch garantieren, dass die grundlegenden Lemmata wahr bleiben (wie bspw., dass Iterationen terminieren). Diese Strukturen nennen wirλ- bzw.s-Strukturen.
Das Hauptproblem, das die Betrachtung der Strukturen mit sich bringt, ist eine Eigen- schaft, die man als pre-soundness bezeichnen k¨onnte: Echte Segmente einer λ- oder s- Struktur m¨ussen sound sein. Diese Eigenschaft muss also durch die ¨Ubersetzungsfunk- tion, die mitsamt Umkehrfunktion in Kapitel3 konstruiert wird, erhalten bleiben. Und um dies zu zeigen, muss man sehr genau analysieren, wie es mit der Definierbarkeit in beiden Strukturen steht; auch, welche Parameter beispielsweise zur Definition einerΣ1- Menge ben¨otigt werden, muss genau betrachtet werden (so geht es im Abschnitt 7.3 allein um das Problem, dass in dem Fall, dass die H¨ohe der betrachteten Strukturen eine Nachfolgerordinalzahl ist, ein zus¨atzlicher Parameter in der ¨Ubersetzung einer Σ1-Formel
auftaucht). Eine solche Analyse wird in Kapitel5, vorbereitet durch Kapitel4f¨ur den Fall, dass die H¨ohen der betrachteten Strukturen Nachfolgerordinalzahlen sind, durchgef¨uhrt.
Die Methoden aus Kapitel4sind sehr allgemein einsetzbar und auch unabh¨angig von die- ser Arbeit von Interesse. Und in dieser Arbeit werden sie an mehreren Stellen gebraucht, so bspw. in 10.1, wo es um Σ0-Extenderprodukte von Strukturen geht, deren H¨ohe eine Nachfolgerordinalzahl ist.
Das oben geschilderte Vorhaben, in Bezug auf die Bedingungen, die an die Strukturen gestellt werden, die zueinander in Beziehung gesetzt werden sollen, nicht restriktiver zu sein, als dies durch die Definitionen der Originalstrukturen gefordert wird, kann in drei Punkten nicht ganz verwirklicht werden.1
1. Vonλ-Strukturen wird verlangt, dass echte Segmente, die nicht von Typ III sind, nicht nursound sind, sondern auch1-solid (d.h.,solid oberhalb des ersten Projek- tums) – ohne diese Zusatzannahme ist nicht gesichert, dass der Standard-Parameter der einander entsprechenden Strukturen gleich bleibt.2Das Entsprechende wird von s-Strukturen verlangt, und in diesem Kontext ist esweniger, als sonst verlangt wird, n¨amlichsoundness und vollesolidity.
2. Alle aktiven Segmente von s-Strukturen m¨ussen verl¨angerbar sein. Verl¨angerbar- keit heisst hier, dass der Top-Extender einer Struktur auf die auf den kardina- len Nachfolger des kritischen Punktes (berechnet in der Struktur) des Extenders zur¨uckgeschnittene Struktur anwendbar sein muss (dies bedeutet, dass das Exten- derprodukt fundiert sein muss). BeiMitchell-Steel wird lediglich verlangt, dass die H¨ohe der Struktur +1 enthalten ist im fundierten Kern des Extenderprodukts der vollen Struktur. Ist die st¨arkere Bedingung verletzt, kann offenbar keine entspre- chendeλ-Struktur gefunden werden, denn wir brauchen lange, koh¨arente, fundierte Strukturen. Es liegt also in der Natur der Fragestellung, dass diese Bedingung ge- stellt werden muss.3 Da (auch im schw¨achsten Sinne) iterierbare Pr¨am¨ause `a la
1Die Formulierungen sind im folgenden nicht ganz pr¨azise, da man, um exakt zu sein, die Σ0-Codes der Strukturen definieren m¨usste. Die genauen Definitionen der Strukturen sind in Kapitel2zu finden.
2Die ¨Ubereinstimmung der Standard-Parameter ist wesentlich f¨ur den Beweis, dasssoundnesserhalten bleibt.
3Die Eigenschaft der heredit¨aren Verl¨angerbarkeit hat auch einen Vorteil: Sie erm¨oglicht eine ver- einfachte Darstellung der Iteration von s-Strukturen: Bei der Bildung der Extenderprodukte kann bei
Mitchell-Steeldiese Eigenschaft aber offenbar haben, ist diese Bedingung nicht zu restriktiv, denn im Endeffekt kommt es vor allen Dingen auf die iterierbaren Strukturen an.
3. Dieλ-Strukturen sind mit einem zus¨atzlichen Pr¨adikat ausgestattet, das es im We- sentlichen erm¨oglicht, die entsprechendes-Struktur (eventuell mit Hilfe eines Para- meters) in derλ-Struktur zu definieren. Eine solche Eigenschaft ist wesentlich f¨ur die Ubersetzung der Σ¨ 1-Formeln in Kapitel5, die aus obengenannten Gr¨unden n¨otig ist.
Um mit solchen
”expandierten“ Strukturen umgehen zu k¨onnen, wird die Abbildung betrachtet, die einer schwachen Jensenschen Pr¨a-Pr¨amausM (schwache j-ppm; vgl.
2.2.1) das ben¨otigte Pr¨adikatDM zuordnet. Es stellt heraus, dass diese Abbildung eine Expansionsfunktion ist, und in Abschnitt 2.2 wird gezeigt, dass Expansions- funktionen mit ∗-Extenderprodukten kommutieren. Das heisst, wenn hN, Di das
∗-Extenderprodukt vonhM, DMinach irgendeinem Extender ist, dann istD=DN. Dies ist die wesentliche Eigenschaft, die ben¨otigt wird, um innere Modelltheorie f¨ur solche expandierte Strukturen zu betreiben.
Der Wechsel von M zu hM, DMi bedeutet im Allgemeinen eine Ver¨anderung der gesamten Feinstruktur vonM. Das heisst, in der expandierten Struktur k¨onnen die Projekta anders sein, und somit nat¨urlich auch die Standard-Parameter, etc.
Man beachte, dass diese Ver¨anderung der Definition sich, wie Punkt 1, nur auf die λ-Seite bezieht.
In Bezug aufs-Strukturen ist also das Vorhaben, in der Definition liberaler als das Original zu sein, bis auf die unvermeidliche Einschr¨ankung auf heredit¨ar verl¨angerbare Strukturen (Punkt 2), gegl¨uckt.
Eine Sonderstellung kommt bei der Definition der Strukturen der verwendeten Version einerinitial segment condition (ISC) zu. In beiden Ans¨atzen waren die urspr¨unglich ver- wendeten Varianten fehlerhaft; vgl. [SSZ] f¨ur die Probleme beims-Ansatz, und [Jen99,§I]
f¨ur eine korrigierte Fassung bei λ-Indizierung. Es gibt inzwischen eine ganze Reihe von
Strukturen von Typ III auf den ¨Ubergang zumsquash dieser Strukturen verzichtet werden. Man geht einfach immer zur maximalen Verl¨angerung ¨uber. Dass diese beiden Prozesse dasselbe Ergebnis liefern, wird in Kapitel12gezeigt.
verschiedenen Fassungen der ISC, und f¨ur diese Arbeit wurde eine weitere entwickelt. Um den Grund hierf¨ur zu erl¨autern, muss noch etwas ausgeholt werden...
Eine wichtige Eigenschaft der Strukturen, die beim s- undλ-Ansatz betrachtet werden, ist die Iterierbarkeit. Iterierbar zu sein heisst hier, eine Gewinnstrategie f¨ur einiteration game zu besitzen (f¨ur verschiedene Varianten der Iterierbarkeit gibt es jeweils passende Spiele), und dies bedeutet die Existenz einer Funktion, die, angewandt auf Iterationen von Limesl¨ange, einen kofinalen, fundierten Zweig des Iterationsbaumes liefert, sofern die Iteration gem¨aß der Funktion konstruiert wurde. Eine Iteration ist hierbei im Wesent- lichen eine Folge von Pr¨am¨ausen (der Art, die man gerade betrachtet), wobei die auf eine Pr¨amausM folgende Struktur entsteht, indem aus der Extendersequenz vonM ein Extender ausgew¨ahlt wird, und auf ein durch den Extender und die bisher vorliegende Iteration bestimmtes Vorg¨angermodell (das eventuell zur¨uckgeschnitten wird) angewandt wird. Das Extenderprodukt ist dann das n¨achste Modell. Wenn man das Nachfolgermodell hier als
”gr¨oßer“ als das Modell bezeichnet, auf das der Extender angewandt wurde, so ist Transitivierung dieser Relation eine Baumordnung. An Limesstellen wird ein kofinaler Zweig durch den bisher vorliegenden Iterationsbaum gew¨ahlt, so dass der gerichtete Li- mes der auf diesem Zweig liegenden Modelle (mit den auf kanonische Weise assoziierten Einbettungen) fundiert ist (wenn m¨oglich). Das Limesmodell ist dann das n¨achste Modell in der Iteration.
Der Grund, warum Iterierbarkeit so wichtig ist, ist die Vergleichbarkeit zweier iterierbarer Strukturen: Sind M und N (co-)iterierbar, so existiert ein auf eine kanonische Weise definiertes Paar von Iterationen vonM bzw.N, so dass die letzten Modelle der Iterationen vergleichbar sind, d.h., dass eines ein Segment des anderen ist. Und der Grund, warum die ISC so wichtig ist, ist, dass sie erst die Vergleichbarkeit garantiert.
Durch die unterschiedliche Art der Indizierung der Extenders beims- bzw.λ-Ansatz f¨allt die Wahl des Modells in einer Iteration, auf das ein Extender angewandt werden soll, anders aus, denn hierf¨ur spielt es eine Rolle, wo der kritische Punkt des Extenders in der Folge der
”Iterationsindizes“ der bisher verwendeten Extenders liegt. Der Iterationsindex ist im s-Ansatz der support, beim λ-Ansatz das Bild des kritischen Punktes des ange- wandten Extenders. Dadurch sind also die entstehenden Iterationsb¨aume anders, mithin die Strategien und die iterierbaren Strukturen. Auch die ISCs, die in den beiden Theo-
rien verwendet werden, sind nicht vergleichbar, da sie sozusagen auf andere Arten von Iterationen ausgerichtet sind.
Die Vorgehensweise, die hier gew¨ahlt wurde, ist wie folgt: Anstatt die λ-Strukturen so zu iterieren, wie ¨ublich, imitieren wir quasi die Art, wie s-Strukturen iteriert werden, d.h., wir w¨ahlen das Vorg¨angermodell in der Iteration nach demselben Kriterium, nach dem es beims-Ansatz bestimmt wird. Die ISC, die wir f¨ur λ-Strukturen verwenden, ist an diesen Begriff von Iteration, den wir nach [Jen01, §2, S. 35] als s-Iteration (von λ- Strukturen) bezeichnen, angepasst. Das gesamte Kapitel9 widmet sich der Erarbeitung der grundlegenden S¨atze ¨uber s-Iterationen. Insbesondere der Begriff der s-Coiteration ist hier von Interesse, denn hier musste die urspr¨ungliche Version ([Jen98, S. 18]) leicht revidiert werden, um f¨ur Strukturen anwendbar zu sein, die (in der Terminologie aus [Jen98, §2, S. 3]) nichtmodest sind.4
Nun h¨atten wir als ISC die Variante aus [Jen01,§1] verwenden k¨onnen (s-ISC), doch die in den s-Kontext ¨ubersetzte Version dieser Fassung ist i.a. nicht schw¨acher als die (kor- rigierte) Form der ISC von Mitchell-Steel (wir nennen sie Z-ISC)! Unsere Version, wir nennen sie s0-ISC, leistet jedoch all dies (die Vergleichbarkeit von λ-Strukturen zu sichern und schwach genug zu sein), wie in Kapitel 11 gezeigt wird. Auch ist ihre For- mulierung sehr ¨ahnlich wie die der ganz allgemeinen t-ISC aus [Jen01, §2], nur ist sie etwas schw¨acher, aber eben immernoch ausreichend stark. Es w¨are im ¨ubrigen durchaus denkbar, eine etwas schw¨achere Version der t-ISC aus ihr erhalten zu k¨onnen.
Soweit wurde also begr¨undet, wies- undλ-Strukturen definiert wurden. In dieser Arbeit werden jedoch auch Klassen von schw¨acheren Strukturen betrachtet (auf beiden Seiten), die in eineindeutiger Korrespondenz zueinander stehen. Salopp formuliert, bedeutet ein vorangestelltes
”p“ (das steht f¨ur
”potenziell“), dass anstelle von
”pre-soundness“ und
”pre-solidity“ lediglich verlangt wird, dass jedes echte Segment einen sehr guten Para- meter hat (dies garantiert, dass die Strukturen zumindest akzeptierbar sind), und ein vorangestelltes
”P“ (steht f¨ur
”Pseudo-“) bedeutet, dass keine ISC verlangt wird.
4Modestybesagt, dass die in einer Extendersequenz vorkommenden Extenders die Eigenschaft haben, dass ihrsupportkleiner ist, als ihrλ-Index, also das Bild des kritischen Punktes unter der entsprechenden Extenderprodukteinbettung. In [MS94] und [Ste] werden nur Strukturen betrachtet, die in diesem Sinne modest sind. Dies ist ein weiterer Punkt, in dem die Anforderungen
”auf ders-Seite“ gelockert werden konnten, denn hier wird keinemodestyverlangt.
In Abschnitt7.2wird gezeigt, dass die ¨Ubersetzungsfunktionen eine Korrespondenz zwi- schen pPλ- und pPs-Strukturen, sowie zwischen pλ- und ps-Strukturen liefern. Die we- sentlichen Grundlagen hierf¨ur werden bereits in Kapitel 6 bereitgestellt. Um das Ent- sprechende f¨ur Pλ- und Ps-, sowie schließlichλ- und s-Strukturen zu erhalten, ist etwas mehr Arbeit n¨otig, was mit in der ¨Ubersetzung von Σ1-Formeln zus¨atzlich auftretenden Parametern zu tun hat. Das Hauptproblem ist zu zeigen, dass die Standard-Parameter ein- ander entsprechender Strukturen (eigentlich ihrer (Pseudo-)Σ0-Codes) gleich sind. Dieses Problem wird in dem Rest von Kapitel 7gel¨ost, und das gew¨unschte Resultat in Kapitel 8 bewiesen.
Als die verwendete ISC diskutiert wurde, wurde bereits der Begriff ders-Iteration vorweg- genommen. Eine weitergehende Frage, die damit in Verbindung steht, ist, ob die ¨Uberset- zungsfunktionen auch eine Korrespondenz zwischen normal iterierbarens-Strukturen und normals-iterierbarenλ-Strukturen liefert. Um dies beantworten zu k¨onnen, muss zun¨achst das Zusammenspiel der ¨Ubersetzungsfunktionen mit∗-Extenderprodukten analysiert wer- den. Dies wird in 10.1– 10.3 geleistet. Anschließend werden normales-Iterationen von λ-Strukturen in normale Iterationen von s-Strukturen ¨ubersetzt und umgekehrt, und schließlich werden normale Iterationsstrategien ¨ubersetzt, so dass die affirmative Antwort auf obige Frage in 10.5gegeben werden kann. Eine Anmerkung zum Begriff der normal iterierbarens-Struktur sollte noch gemacht werden: Eines-Struktur ist normal iterierbar, wenn eine Iterationsstrategie existiert, so dass jede normale Iteration der Struktur, die gem¨aß der Strategie gebildet wurde, gem¨aß der Strategie fortgesetzt werden kann. Das heisst insbesondere, dass die in der fortgesetzten Iteration vorkommenden Strukturen al- lesamt verl¨angerbar sein m¨ussen. Es ist also nicht so offensichtlich, wie es vielleicht auf den ersten Blick scheinen mag, dass normal iterierbareMitchell-Steel-Pr¨am¨ause auch normal iterierbares-Strukturen sind, aber dies ist dennoch der Fall, wie am Ende von Ka- pitel10gezeigt wird. Dort werden auch andere Varianten der Iterierbarkeit angesprochen, wie z.B. die gute Iterierbarkeit. F¨ur die g¨angigen und wesentlichen Iterierbarkeitsbegriffe leisten die ¨Ubersetzungsfunktionen das Gew¨unschte.
Es sollte vielleicht darauf hingewiesen werden, dass wir in dieser Arbeit die Σ∗-feinstruk- turellen Begriffe anwenden, wie sie f¨ur beliebige akzeptierbare J-Strukturen definiert wer- den k¨onnen. In [MS94] werden gleichnamige Begriffe eingef¨uhrt, deren Definition aber speziell auf die dort behandelten Strukturen zugeschnitten sind und im allgemeinen nicht
¨ubereinstimmen mit den im Σ∗-Kontext definierten Begriffen.5
Es ist sicherlich ein Vorzug desλ-Ansatzes gewesen, die Σ∗-Feinstrukturtheorie verwenden zu k¨onnen (andernfalls w¨are es beispielsweise mit erheblich gr¨oßerem Aufwand verbunden gewesen, expandierte Strukturen zu untersuchen). Insofern ist die hier gew¨ahlte Vorge- hensweise relativ naheliegend und vereinfacht die Theorie auch beis-Indizierung.
Im Zusammenhang mit Iterationen sollte auch noch betont werden, dass in dieser Ar- beit die quasi zur Σ∗-Feinstruktur passende Form der Extenderprodukte gew¨ahlt wurde, n¨amlich die der ∗-Extenderprodukte ([Jen97],[Zem02],[Zem97]). In [MS94] werden soge- nannte k-Extenderprodukte verwendet, die man auch im Σ∗-Kontext imitieren k¨onnte, aber ohne besonderen Gewinn. Da dieMitchell-Steel-Pr¨am¨ause, wie sie in [Ste] (im Unterschied zu [MS94]) definiert werden, als f¨ugsame Strukturen der Σ∗-Feinstruktur- theorie zug¨anglich sind, spricht alles daf¨ur, ∗-Extenderprodukte zu verwenden, da diese eine einfachere und einheitlichere Beschreibung des Prozesses einer Iteration erlauben.
Die Arbeit richtet sich an Mengentheoretiker, die auf dem Gebiet der inneren Modell- theorie arbeiten und die Σ∗-Feinstrukturtheorie kennen, wie sie in [Jen97] oder [Zem02]
dargestellt wird. Als Grundvoraussetzung ist die Kenntnis des Grundlagenartikels [Jen72]
zu nennen. Es ist vorteilhaft, sowohl den s-, als auch den λ-Ansatz zu kennen, jedoch d¨urften es Leser, die nur mit demλ-Ansatz gearbeitet haben, leichter haben, als solche, die von der anderen Richtung kommen.
Noch ein Wort zur formalen Gestaltung der Arbeit: Notationelle Konventionen werden in
5In [MS94] sind die untersuchten Strukturen nicht f¨ugsam, also der klassischen Feinstrukturtheorie nicht zug¨anglich. Anstatt Σ1-Definierbarkeit in diesen Strukturen zu untersuchen, f¨uhren die Autoren eine neue Klasse von Formeln ein, die sie alsrΣ1-Formeln bezeichnen (restringierte Σ1-Formeln), und untersuchenrΣ1-Definierbarkeit. Es wird aber in einer Bemerkung auf S. 13 eine alternative Codierung des Top-Extenders angegeben, bei deren Anwendung man f¨ugsame Strukturen erh¨alt, in denen genau das Σ1- definierbar ist, was in den anderenrΣ1-definierbar ist; in [Ste] wird die f¨ugsame Codierung als Definition genommen. Man erh¨alt, dass das erste Projektum tats¨achlich das
”klassische“ Projektum ist. Im Appendix zu§2 (S.24ff) aus derselben Arbeit wird gezeigt, dass dasn+ 1–te Projektum im Sinne vonMitchell- Steelmit demn+ 1–ten klassischen Projektum ¨ubereinstimmt, sofern die Strukturn-sound ist. Wenn beiMitchell-Steelfeinstrukturelle Extenderprodukte gebildet werden, dann wird von den Strukturen zumindest soviel soundness verlangt, dass alle f¨ur die Konstruktion des Produktes relevanten Projekta die klassischen sind. Die Unterschiede werden also in den Anwendungen aus [MS94] nicht sichtbar. So kann man den hier beschrittenen Weg als eine Verallgemeinerung ansehen.
Kapitel1 besprochen, insbesondere die Behandlung von Extenders.
Die meisten Fachbegriffe werden nicht aus dem Englischen ¨ubersetzt, weil es oft keine ad¨aquaten ¨Ubersetzungen gibt, bzw. weil es mehrere M¨oglichkeiten der ¨Ubersetzung g¨abe, so dass eine ¨Ubersetzung unter Kennern der Theorie nur unn¨otige Konfusion ausgel¨ost h¨atte. Die englischsprachigen Begriffe werden zur Unterscheidungkursiv geschrieben. In manchen F¨allen, in denen eine ¨Ubersetzung leicht zu bewerkstelligen ist, werden beide Sprachen verwendet, wie bei bspw. acceptability und Akzeptierbarkeit. Beweisenden und die Enden von Definitionen werden mit2gekennzeichnet, und das Ende des Beweises von Behauptung (x) mit2(x).
Schließlich komme ich zu dem angenehmsten Teil eines Vorwortes, den Danksagungen.
F¨ur das Interesse an dem Projekt m¨ochte ich mich bei Prof. Dr. Peter Koepke (Bonn) und Dr. Benedikt L¨owe (Bonn) bedanken, die mich mehrmals zu Vortr¨agen zum The- ma einluden, und Dipl.-Math. Thoralf R¨asch (Potsdam) gilt mein Dank f¨ur geduldiges Zuh¨oren.
Ich werde Dr. Achim Ditzen ewig dankbar daf¨ur bleiben, in mir die Begeisterung f¨ur das Gebiet der Mengentheorie geweckt zu haben, und es erf¨ullt mich mit Trauer, dass er so fr¨uh von uns gehen musste.
Wie soll ich mich bei Prof. Dr. Ronald Jensen bedanken? Er hat das Thema dieser Arbeit gestellt, sie sehr engagiert betreut, und immer wieder Zweifel an der Machbarkeit dieses Projekts beseitigt, die mir von Zeit zu Zeit kamen. Jedesmal wurde ich von ihm wieder uberzeugt, dass es irgendwie funktionieren muss, weil es einfach wahr sein muss. Seine¨ Hartn¨ackigkeit und sein Blick f¨ur das Wesentliche sind wohl die Eigenschaften, die einen großen Mathematiker ausmachen.
Zur verwendeten Notation und Terminologie
In diesem Kapitel wird versucht, die verwendeten Schreibweisen zusammenzutragen, die eventuell nicht jedem Leser bekannt sind. Gr¨oßtenteils halten wir uns aber an die g¨angigen Konventionen.
Kleine griechische Buchstaben bezeichnen Ordinalzahlen, M und N sind f¨ur Modelle reserviert, ϕ und ψ f¨ur logische Formeln, V bezeichnet das mengentheoretische Univer- sum und κ ist immer eine Kardinalzahl, zumindest in einem aus dem Zusammenhang erkennbaren Modell. Funktionen werden mit ihrem Graphen identifiziert, wobei hier die zweite Komponente eines Paares aus dem Graphen der Funktionf ein Element des De- finitionsbereichs, und die erste Komponente der zugeh¨orige Funktionswert aus dem Bild von f ist. Wenn xeine Menge ist, so ist ˙xmeist ein Pr¨adikatensymbol, das durch xin- terpretiert wird (in einem aus dem Zusammenhang erkennbaren Modell, in dem xeine Klasse sein kann). Wir verwenden oft die Listenschreibweise ~x =x0, . . . , xn−1. Dies ist nur als Abk¨urzung zu verstehen und definiert kein mathematisches Objekt. Bspw. ist also h~xi=hx0, . . . , xn−1idas geordneten-Tupel. Oft schreiben wir auch abk¨urzend a∩~xf¨ur die Listea∩x0, . . . , a∩xn−1, etc. Wir setzen: lh(~x) =n. Einige weitere Notationen werden in tabellarischer Form angegeben:
10
Notation Bedeutung
On Die Klasse der Ordinalzahlen.
Card Die Klasse der Kardinalzahlen.
|M| Das Universum des ModellsM. Oft werden wir jedoch einfachM schreiben, obwohl|M|gemeint ist.
Aus dem Zusammenhang sollte aber klar werden, was gemeint ist.
M|u WennM =h|M|, ~Aiist, so istM|u=h|M| ∩u, ~A∩ui;
Wir verwenden nur einstellige Pr¨adikate, da die Modelle, mit denen wir zu tun haben, unter geordneten Paaren abgeschlossen sind.
x×y Das Cartesische Produkt ausxundy.
hx0, . . . , xn−1i Das geordneten−Tupel der Mengen x0, . . . , xn−1. (hx0, . . . , xn−1i)nj (j < n) xj; (z)nj ist undefiniert, wennz keinn-Tupel ist.
a_b Die Verkettung der Folgenaundb.
yx Die Menge der Funktionen vonynach x.
f x Die Einschr¨ankung der Funktionf aufx.
f“x Das Bild vonxunterf.
P(x) Die Potenzmenge vonx.
[x]α Die Menge derα−elementigen Teilmengen vonx.
[x]<α S
ν<α[x]ν.
cf(α) Die Kofinalit¨at vonα.
otp(x) Der Ordnungstyp vonxf¨urx⊆On.
sup(x) Das Supremum vonxf¨urx⊆On, alsoSx.
lub(x) Die kleinste obere Schranke vonxf¨urx⊆On, also sup({ν+ 1|ν ∈x}).Folglich sup(∅) = lub(∅) = 0.
Cn(x) x∪(S
x)∪. . .∪(Sn
x).
≺α0, . . . , αn−1 Der Wert der G¨odelschen Paarfunktion an der Stellehα0, . . . , αn−1i.
ϕM Das Ergebnis der Relativierung vonϕnachM.
M |=ϕ M ist ein Modell vonϕ.
Funk(x) Eine Σ0-Formel, die ausdr¨uckt, dassxeine Funktion ist.
Schließlich sollte vielleicht noch definiert werden:
Eine J-Struktur ist ein f¨ugsames Modell von der Gestalt M = hJAα~, ~Bi (d.h., B~ ⊆
|M|). Man beachte: JAα~ =h|JAα~|, ~A∩ |JAα~|i. Also ist M =h|JAα~|, ~A∩ |JAα~|, ~Bi. Wir setzen:
ht(M) =α.
1.1 Grundlagen ¨ uber Extenders
In diesem Kapitel geht es darum, Notationen und Begrifflichkeiten rund um das Thema Extenders zu fixieren. Es wird aber davon ausgegangen, dass bekannt ist, was Extenders sind. Als Literaturhinweise seien genannt: [Zem02, S. 47-56] (hier liegt der Fokus auf Ex- tenders in der funktionalen Darstellung), [Kan94, 352-358] (hier geht es um Extenders in derhypermeasure-Repr¨asentation), [MS94,§1] (Extenders in derhypermeasure-Repr¨asen- tation f¨ur einen feinstrukturellen Kontext), [Mit79] (der Ursprungsartikel), [Dod81].
Extenders
In der n¨achsten Definition werden die f¨ur dieJensensche innere Modelltheorie wesentli- chen Kenngr¨oßen eines Extenders zusammengefasst.
1.1.1 Definition. SeiF ein Extender in der funktionalen Darstellung aufM beihκ, γi.
Dann sei:
(a) crit(F) =κ.
(b) lh(F) =γ.
(c) λ(F) =π(κ), wobeiπ:M −→F N die Σ0-Extenderprodukteinbettung ist.1 (d) τ(F) = (κ+)M.
2
1F¨ur die in schwachen j-ppm auftretenden Extenders ist dies ¨aquivalent zu der Definitionλ(F) =F(κ), da diesewholesind (im Sinne von [Jen97, Kapitel 1, S.14]).
Wir brauchen Notationen f¨ur den Wechsel von einem Extender in der hypermeasure- Repr¨asentation zu dem entsprechenden Extender in der funktionalen Darstellung, und umgekehrt.
1.1.2 Definition. SeiF ein Extender in der funktionalen Darstellung beihκ, γi, wobei γ p.r. abgeschlossen sei.
Dann definieren wir den vonFabgeleiteten Extender in derhypermeasure-Repr¨asentation als:
Fhdef= {ha, xi | ∃n < ω a∈[γ]n ∧ x⊆[κ]n ∧ a∈F(x)}.
Hierzu folgende Bemerkung: Wir fassenF als eine Funktion auf, deren Definitionsbereich in P(κ) enthalten ist. Da wirγ als p.r. abgeschlossen vorausgesetzt haben, l¨asst sich F auf naheliegende Weise auf S
n<ωP(κn) ausdehnen, so dass obige Definition sinnvoll ist – vgl. [Zem02, S. 48].
E ist ein Extender in der hypermeasure-Repr¨asentation, wenn ein Extender F in der funktionalen Darstellung existiert, so dass E = Fh ist. F¨ur einen solchen Extender E setzen wir:
crit(E) = crit(F), lh(E) = lh(F), λ(E) =λ(F), τ(E) =τ(F), (E)a
def= {x⊆[crit(E)]n|a∈F(x)} f¨ur a∈[lh(E)]n.
Schließlich definieren wir den vonEabgeleiteten Extender in der funktionalen Darstellung, Ef, durch:
Ef(x) ={α <lh(E)|x∈(E)α}.
Hierbei sei x∈dom(E)def= S
α<lh(E)((E)α∪ {crit(E)\y |y∈(E)α}). Wir identifizieren
dabei [κ]1mit κ. 2
1.1.3 Definition. Seien F ein Extender in der funktionalen Darstellung und α eine Ordinalzahl. Dann ist F|α, die Zur¨uckschneidung vonF auf α, die Funktion mit Defini- tionsbereich dom(F), die definiert ist durch
(F|α)(x) =F(x)∩α.
WennF in derhypermeasure-Repr¨asentation gegeben ist, dann setzen wir:
F αdef= {ha, xi | ha, xi ∈F ∧ a⊆α}.
2
1.1.4 Definition. SeiF ein Extender auf M beihκ, γi. Seiπ:M −→F N die Exten- derprodukteinbettung. Eine Ordinalzahlδ∈N ist einErzeugender (oder Generator) von F genau dann, wenn keine Funktion f ∈ M mit f :κn −→κ und keine Ordinalzahlen α1, . . . , αn< δ existieren, so dass gilt:π(f)(~α) =δ.
Die Menge der Erzeugenden vonF bezeichnen wir mit genF, und definieren denSupport vonF als
s(F)def= lub(τ(F)∪genF);
diese Gr¨oße wird auch als die nat¨urliche L¨ange von F bezeichnet. Wir setzen weiterhin:
s+(F)def= (s(F)+)N; in der Terminologie vonMitchell-Steelist alsos+(F) die L¨ange
der trivialen Vervollst¨andigung vonF. 2
Extenderprodukte
Die folgende Definition dient wieder im Wesentlichen der Einf¨uhrung von Schreibweisen.
1.1.5 Definition. Sei F ein Extender bei hκ, λi auf M. Dann ist das Σ0-Extender- produkt vonM nach F definiert, wie folgt. Setze:
Γ(M, κ) def= |M| ∩([
n∈ω
κn|M|),
D(M, κ, λ) def= {h~α, fi |f ∈Γ(M, κ) ∧ ∃n < ω dom(f) =κn ∧ ~α∈λn}.
WennF in der funktionalen Darstellung gegeben ist, so wird eine ¨Aquivalenzrelation'0 aufD(M, κ, λ) definiert durch:
h~α, fi '0h~β, gi ⇐⇒ ≺α, ~~ β ∈F({ ≺~γ, ~δ< κ|f(~γ) =g(~δ)});
es ist klar, wie die Entsprechung f¨ur in derhypermeasure-Darstellung gegebene Extenders zu definieren ist. Bezeichne die ¨Aquivalenzklasse vonh~α, fimit [~α, f]. Dann ist
ID(M, F)def= {[~α, f]| h~α, fi ∈D(M, κ, λ)}.
Weiterhin definieren wir bin¨are RelationenI undE auf ID(M, F), indem wir setzen:
[~α, f]I[β, g]~ ⇐⇒ h~α, fi '0hβ, gi,~
[~α, f]E[β, g]~ ⇐⇒ ≺~α, ~β ∈F({ ≺~γ, ~δ< κ|f(~γ)∈g(~δ)}).
Dann ist Ult(M, F) isomorph zu hID(M, F), I, Ei, und der fundierte Kern ist transitiv.
Dadurch ist Ult(M, F) eindeutig festgelegt, wennhID(M, F), I, Eifundiert ist. Wir ver- wenden die Notation π : M −→F N, um auszudr¨ucken: N = Ult(M, F) und π ist die
kanonische Einbettung. 2
Die Konstruktion des ∗-Extenderprodukts verl¨auft ganz parallel. F¨ur Details sei auf [Zem02, Kapitel 3] und [Jen97,§2] verwiesen.
1.1.6 Definition. Sei F ein Extender bei hκ, λiauf der J-Struktur M. Dann ist das Σ∗-Extenderprodukt von M nach F (oft auch als das feinstrukturelle Extenderprodukt bezeichnet) definiert, wie folgt.
Definiere Γ∗(M, κ) als die Menge der Funktionen f von κm nach |M| (f¨ur ein m < ω), so dass entweder f ∈ |M| ist, oderf eine gute Σ(n)1 (M)-Funktion ist f¨ur einn < ω mit ωρn+1M > κ.
Nun werdenD∗(M, κ, λ),'∗bzw.ID∗(M, F) definiert, wieD(M, κ, λ),'bzw.ID(M, F), wobei stets Γ(M, κ) durch Γ∗(M, κ) zu ersetzen ist. F¨ur das Σ∗-Extenderprodukt schreiben wir dann Ult∗(M, F). Die Notationπ:M −→∗F N besagt dann:N = Ult∗(M, F), undπ
ist die kanonische Einbettung. 2
Die Strukturen
2.1 Extender-Strukturen
2.1.1 Definition. Ein Modell M = hJAα, ~B, Fi ist eine Extender-Struktur gdw. hJAα, ~Bi akzeptierbar und f¨ugsam ist, und entweder F ein Pr¨a-Extender 1 in der funktionalen oder hypermeasure-Darstellung auf M ist2, so dass (crit(F)+)M existiert, oder wennF =∅ist. WennFein Pr¨a-Extender ist, wirdM alsaktivbezeichnet, ansonsten istM passiv.Fwird im aktiven Falle als derTop-ExtendervonM (kurz:EtopM ) bezeichnet.
Sei nunM =hJAα, ~B, Fieine aktive Extender-Struktur. Setze:
κ= crit(F), τ = (κ+)M. F¨urξ∈[τ, s(F)] definieren wirπξ =πξM und [M]ξ, wie folgt:
(–) πξ:hJAτ,
−→
B∩ |JAτ|i −→F|ξ M0, (–) [M]ξ
def= hM0, πξ P(κ)i,
sofern diese Struktur fundiert ist. Wenn nicht, ist [M]ξ undefiniert.
1Ein Pr¨a-ExtenderF erf¨ullt alle an einen Extender gestellten Anforderungen, mit der Einschr¨ankung, dass das Extenderprodukt vonMnachFnicht fundiert sein muss; es muss aber immerhin lh(F) enthalten sein im fundierten Kern des Extenderprodukts. Vgl. [MS94,§1].
2vgl. aber auch Definition 2.1.3
16
F¨urξ, ζ ∈[τ, s(F)] mitξ < ζ, so dass [M]ξ und [M]ζ definiert sind, existiert eine kanoni- sche Einbettung
σξ,ζ =σMξ,ζ: [M]ξ −→[M]ζ, die definiert ist durch:
σξ,ζ(πξ(f)(~α)) =πζ(f)(~α), f¨urh~α, fi ∈D(JEτM, κ, ξ)
Nun definieren wir diemaximale Verl¨angerung McvonM, wie folgt:
Mcdef=
M wennM passiv ist,
[M]s(F) wenn diese Struktur definiert ist, undefiniert sonst.
M heisst verl¨angerbar, wenn Mcdefiniert ist. Wenn M aktiv und verl¨angerbar ist, und Mc=hM0, F0iist, dann bezeichnen wir auchF0als diemaximale Verl¨angerung vonEMtop, und schreiben hierf¨ur EdMtop.
Wir schreiben Mpassiv f¨ur die Struktur hJAα, ~B,∅i. Schließlich setzen wir f¨ur eine aktive Extender-StrukturM:
λ(M) =λ(EtopM ), s(M) =s(EtopM ), τ(M) =τ(EtopM ), κ(M) = crit(EtopM ), und wennM verl¨angerbar ist, dann sei
s+(M) = (s(M)+)Mc.
Wir nennens(M) auch dienat¨urliche L¨ange vonM. 2
2.1.2 Bemerkung. Es folgt aus einer Beobachtung von Sy Friedman, dass[M]ξimmer f¨ugsam ist; vgl. den Beweis von [Jen97,§1, Lemma 4].
2.1.3 Definition. SeiM =hJAα, ~B, Fieine aktive Extender-Struktur, wobeiF in der hypermeasure-Darstellung gegeben sei. Dann ist die f¨ugsame Codierung Fc = FMc passiv
von F definiert als die Menge der Quadrupelhγ, ξ, a, xi ∈ |M|mit den folgenden Eigen- schaften:
1. γ > s(F).
2. crit(F)< ξ <crit(F)+M. 3. F∩([s]<ω×JEξM)∈JEγM. 4. ha, xi ∈F∩([γ]<ω×JEξM).
Ausserdem setzen wir: (∅)cdef= ∅. 2
pPs-Strukturen
2.1.4 Definition. SeiE =hEβ|β ≤ωαieine Folge, so dass f¨urβ ≤ωα entweder Eγ =∅ ist, oderEγ ein Pr¨a-Extender in der hypermeasure-Darstellung ist. Setze:
A=AE
def= {hβ, zi |z∈Eβ}.
WennM eine Struktur von der FormhJAδE, ~Biist, so schreiben wirEM def= Eδ.
Nist einepotenzielle Pseudo-s-Struktur (pPs-Struktur), wenn folgende Bedingungen erf¨ullt sind, f¨ur eine geeignete FolgeE wie oben:
1. F¨urγ≤αseiN||γdef= hJAγEγ,(Eωγ)c
JAEγ γidie Zur¨uckschneidung vonN auf γ Dann istN =N||α. Weiterhin ist die StrukturN]||γdef= hJAγEγ, Eωγieine verl¨anger- bare Extender-Struktur. Wir schreiben von nun an [N||γ]δ,πδN||γ,σNδ,µ||γ,N[||γf¨ur die entsprechenden bez¨uglichN]||γ definierten Objekte. Mit dieser Konvention k¨onnen wir auch definieren:λ(γ)N =λ(N||γ),τ(γ)N =τ(N||γ), etc.
WennEγ6=∅ ist, dann istγ=ωγ, undEγ=EUlt(N||γ,Eγ)(γ+ 1).
2. WennN||γaktiv ist, dann istEγein Pr¨a-Extender der L¨angeγin der hypermeasure- Darstellung. Es ist γ= (s(Eγ)+)N[||γ.
3. F¨urγ < αistR∗N||γ 6=∅, sofernN||γakzeptierbar ist.
Bemerkung:N||γist f¨ugsam f¨ur alleγ ≤ωα, wie in [MS94, S. 13, Remark] oder [Ste, S.
13-14] gezeigt wird.
Aus3. folgt per Induktion aufγ≤α, dassN||γakzeptierbar ist. Der Beweis dersoundness und Akzeptierbarkeit von L (vgl. [Zem02, Lemma 1.10.1-2]) kann hierf¨ur ¨ubernommen
werden – soundness ist mehr als man braucht, um die Induktion weiterzuf¨uhren. Da die allgemeine Feinstrukturtheorie akzeptierbare Strukturen voraussetzt, ist die Existenz eines sehr guten Parameters in3. nur f¨ur solche Strukturen definierbar. 2
2.2 Expansionsfunktionen
Es hat sich herausgestellt, dass die angestrebte Korrespondenz zwischen der Jensenschen und der Steelschen Kernmodelltheorie nicht wortw¨ortlich zutrifft, sondern dass die Jen- senschen Pr¨am¨ause um ein Pr¨adikat erweitert werden m¨ussen. Man muss also zu einer Expansion (im modelltheoretischen Sinne) dieser Strukturen ¨ubergehen.
Eine solche Expansion ver¨andert nat¨urlich im allgemeinen die ganze Definierbarkeitstheo- rie des Modells, also insbesondere die Projekta, die Redukte, d.h. mithin die gesamte Feinstrukturtheorie.
2.2.1 Definition. Sei ¯E=hEγ |γ≤ωαieine Folge, so dass f¨urγ≤ωα entwederEγ ein Extender in der funktionalen Darstellung ist, oderEγ =∅ist. WennEγ ein Extender ist, dann seiγ=ωγ. Setze:
E={hν, ξ, Xi |ξ≤ν≤ωα ∧ξ∈Eν(X)}.
Dann ist M = hJEα, Eωαi eine schwache Jensen-Pr¨a-Pr¨amaus (schwache j-ppm), wenn folgende Bedingungen erf¨ullt sind:
(a) F¨urγ≤αseiM||γdef= hJEγ, Eωγidie Zur¨uckschneidung vonM aufγ. Dann istM||γ eine verl¨angerbare Extender-Struktur, und es istM||γ=M[||γ.
(b) F¨ur γ < αistR∗M||γ 6=∅, sofernM||γakzeptierbar ist.3
Wir setzen: EM = ¯E OnM. Weiterhin schreiben wir s(γ)M, s+(γ)M, etc. f¨ur s(M||γ),
s+(M||γ), etc., fallsM||γ aktiv ist. 2
Wir schieben hier ein grundlegendes Resultat ¨uber schwache j-ppm ein:
2.2.2 Lemma. Sei M eine aktive, schwache j-ppm. Dann ist|M|=h1M(s(M)), also
3Vgl. hierzu die Bemerkung zu Punkt3aus Definition 2.1.4.
insbesondereωρ1M ≤s(M).
Ausserdem gilt: Wennµ < ν ≤ht(M)ist, dann ists+(µ)M 6=s+(ν)M.
Beweis. Mit Hilfe des Top-Extenders vonM kann parameterfrei eine Σ1-Surjektion von D(M, κ(M), s(M))⊆ |M||s(M)|auf|M|definiert werden:h~α, fi 7→πsM(f)(~α). Da dieses Resultat bekannt ist, wird hier auf eine genaue Analyse der Komplexit¨at dieser Definition verzichtet – vgl. [Jen97,§1, S. 13].
Zur zweiten Behauptung: Aus dem ersten Teil folgt, dass (s(µ)M, µ]∩CardM||ν = ∅ ist. Abers+(ν)M ∈CardM||ν. Also ist s+(ν)M entweder ≤ s(µ)M, oder > µ, w¨ahrend
s+(µ)M ∈(s(µ)M, µ] ist. 2
Es geht im folgenden nicht darum, eine Expansion eines einzelnen Modells zu betrachten, sondern vielmehr soll jeder schwachen j-ppm ein Pr¨adikat zugeordnet werden. Anschlie- ßend soll die Kernmodelltheorie der so expandierten Strukturen analysiert werden.
Im n¨achsten Abschnitt soll eine Klasse von Funktionen beschrieben werden, den sogenann- ten Expansionsfunktionen, die f¨ur unsere Zwecke ausreicht (d.h. eine Funktion beinhaltet, die die Etablierung der gew¨unschten Korrespondenz erm¨oglicht), und die die Kernmodell- theorie nicht wesentlich ver¨andert. Die Projekta und Redukte der Strukturen k¨onnen sich also durch die Expansion ver¨andern, die wesentlichen S¨atze der Feinstrukturtheorie f¨ur h¨ohere Kernmodelle bleiben aber unver¨andert.
2.2.3 Definition. Eine Expansionsfunktion ist eine Funktion der GestaltA=hAM | M ist eine schwache j-ppmimit den folgenden Eigenschaften:
(a) (Abgeschlossenheit)AM ⊆ {λ∈M | λist eine Limesordinalzahl ∨λ= 0}undAM ist abgeschlossen in OnM.
(b) ( Π1−Definierbarkeit)SeiM =hJEα, Eωαi.Dann istAM uniform Π1(JEα).
(c) (Koh¨arenz)Wennωβ∈AM ist, dann istAM ∩ωβ=AM||β.
SeiM =hJEα, Eωαieine schwache j-ppm. Die mit M viaAassoziierte Expansion ist die
Struktur
M∗=MA∗ def= hJEα, Eωα, AMi.
2 Nun werden einige Lemmata bewiesen, die zusammengenommen zeigen werden, dass die Feinstrukturtheorie, wie sie in [Jen97] dargestellt wird, auch f¨ur expandierte schwache j-ppm durchgeht. Sei im folgenden eine Expansionsfunktion Afixiert.
2.2.4 Lemma. SeiM eine schwache j-ppm. Dann ist MA∗ f¨ugsam.
Beweis. Seiu∈M. Wir m¨ussen zeigen, dass auchAM∩u∈M ist. Seiβ = sup{ν|ων ∈ AM ∩u}. Dann ist AM ∩u=AM||β∩u∈M, daωβ ∈AM ist (nach (a)), und da AM
nach (b) Π1(M||β) ist (die erste Identit¨at folgt aus (c)). 2
2.2.5 Lemma. Es seiπ:hM, AMi −→F hN, Ai,N transitiv. Dann ist A=AN.
Beweis.
(1) A⊆AN.
Beweis von (1). Dies folgt, da πals Extenderprodukteinbettung mindestens Σ1-erhal- tend ist, und da die entsprechende Π1−Aussage in M∗ gilt (hierbei sei wieder M∗ = MA∗). Genauer, sei ϕ die uniforme Π1(M)−Definition von A, und sei ˙A ein einstelliges Pr¨adikatensymbol, das inM∗ zuAM ausgewertet wird. Dann gilt:
M∗|= ∀x ( ˙A(x)−→ϕ(x)).
Diese Aussage ist Π1(M∗).Also wird sie durchπerhalten, und somit gilt inN∗def= hN, Ai entsprechend:
N∗|= ∀x (A(x)−→ϕ(x)).
Daϕeine f¨ur schwache j-ppm uniforme Definition vonAist, heißt dies:
∀a∈A a∈AN,
d.h.A⊆AN. 2(1)
(2) Seiωα∈AM.Dann istA∩π(ωα) =AN ∩π(ωα).
Beweis von (2). Dies ist eine direkte Folge aus Teil (c) von Definition 2.2.3, denn es gilt:
A∩π(ωα) =π(AM ∩ωα) =π(AM||α) =AN||π(α)=AN∩π(ωα)
nach (1), daπ(ωα)∈A⊆AN ist. 2(2)
Daπeine konfinale Einbettung ist, ist wegen (2) A konfinal in OnN, wenn AM konfinal in OnM ist. In diesem Fall ist die Behauptung klar wegen (2).
Sei alsoAM beschr¨ankt in OnM. Sei dann
α= maxAM.
Dieses Maximum existiert nach Definition 2.2.3, Teil (a). Die Aussage
”α= max ˙A“ ist Π1(M∗), denn dies wird ausgedr¨uckt durch:
M∗|= ˙A(α) ∧ ∀β > α ¬A(β).˙
Also trifft diese Formel inN bez¨uglichπ(α) zu. Wegen ˙AN =Agilt also:
π(α) = maxA.
Nach (1) und (2) gilt:
π(AM∩(α+ 1)) =AN∩(π(α) + 1),
denn nach (2) giltπ(AM ∩α) =AN∩π(α).Ausserdem istα∈AM,alsoπ(α)∈A⊆AN nach (1).
Weiterhin istπ(AM∩(α+ 1)) =π(AM) =A. Also istA=AN∩(π(α) + 1).
Es reicht also zu zeigen:
(3) AN ⊆π(α) + 1.
Beweis von (3). Man nehme das Gegenteil an. Sei dann β minimal, so dass π(α) <
ωβ ∈AN ist. Setze:
Zdef= {ξ|π(ξ)≤β}und ¯βdef= supZ.
(3.1) π( ¯β)> β.
Beweis von (3.1). Zun¨achst zeigen wir, dass π( ¯β) 6= β ist. Man nehme hierzu an, es gelteπ( ¯β) =β. Dann h¨atten wir:π(ωβ) =¯ ωβ∈AN, d.h.N|=ϕ[ωβ], und hieraus folgte¯ wegen der Erhaltungseigenschaften von π, dass M |= ϕ[ωβ] g¨¯ alte, also ωβ¯ ∈AM. Also ωβ¯≤α, d.h.ωβ=π(ωβ)¯ ≤π(α),im Widerspruch zur Wahl vonβ.
Nun sei angenommen, dassπ( ¯β)≤β ist, also nach dem soeben Gezeigten, dassπ( ¯β)< β ist. Dannπ( ¯β+ 1) =π( ¯β) + 1≤β, also ¯β+ 1∈Z.Aber ¯β = supZ,also ¯β+ 1≤β, ein¯
Widerspruch. 2(3.1)
(3.2) AN ∩ωπ( ¯β)⊆AN||π( ¯β).
Beweis von (3.2). Dies ist trivial, daϕeine uniforme Π1-Definition vonA ist, die kei- nen Gebrauch von dem Top-Extender macht. Somit kann man Π1−Reflektion verwenden.
2(3.2)
Nun ist ωβ < ωπ( ¯β) und ωβ ∈ AN. Also ist ωβ ∈AN ∩ωπ( ¯β)⊆ AN||π( ¯β) nach (3.2).
Wegenπ(α)< ωβ∈AN||π( ¯β) gilt:
N |= (∃γ > π(α) ϕ(γ))π(JEM β¯ ). Diese Formel ist Σ0in π(α) undπ(JEβ¯M). Also folgt:
M |= (∃γ > α ϕ(γ))JEM
β¯
.
Sei alsoα < γ ∈AM||β¯.Dann folgt, dassπ(γ)∈AN||π( ¯β)ist, und dass π(α)< π(γ) ist.
Da JEβN ⊆JEπ( ¯Nβ)ist, kann wieder Π1−Reflektion angewandt werden, um zu erhalten, dass ωβ∩AN||π( ¯β)⊆AN||β ist. Aber daωβ ∈AN ist, wissen wir, dassAN||β =AN ∩ωβ ist.
Nun istγ∈AM||β¯.Also istγ eine Limesordinalzahl. Sei γ=ωγ0.Dann istγ0<β.¯ Also istπ(γ0)≤β, denn ¯β = supZ. Aber π(γ0)6=β, daωγ0 =γ > α ist, so dass ωγ0 ∈/ AM ist, aberωβ ∈AN.Also folgt: π(γ0)< β,und daher π(γ) =π(ωγ0)< ωβ.
Also erhalten wir:π(α)< π(γ)∈ωβ∩AN||π( ¯β) ⊆AN||β =ωβ∩AN. Dies widerspricht der Minimalit¨at von ωβ mit der Eigenschaft, dassπ(α)< ωβ ∈ AN ist, denn π(γ) hat
diese Eigenschaft auch, undπ(γ)< ωβ. 2
Bemerkung:Der Beweis verwendete nur, dassπkofinal und Σ0-erhaltend ist.
2.2.6 Lemma. Sei M eine schwache j-ppm, und sei π: hM, AMi −→∗F hN, Aioder π:hM, AMi −→F hN, Ai. SeiN transitiv. Dann ist A=AN.
Beweis. Wenn π eine Σ0-Extenderprodukteinbettung ist, liefert Lemma 2.2.5 die Be- hauptung. Wenn nicht, ist π sogar Σ2-erhaltend, denn ωρ1M > crit(F) (man kann nun [Zem02, Lemma 3.1.11] verwenden). Also ist die Behauptung eine Folge aus der unifor-
men Π1-Definierbarkeit vonAM. 2
2.2.7 Lemma. SeiN eine schwache j-ppm. Sei π:hM, Ai −→Σ1hN, ANi, M transi- tiv. Dann istM eine schwache j-ppm, undA=AM.
Beweis. Es ist lediglich zu zeigen, dassA=AM ist; dassM eine schwache j-ppm ist, ist bekannt. Hierf¨ur sind zwei Richtungen zu zeigen:
A⊆AM Sei a ∈ A. Dann ist π(a)∈ AN, d.h., N |=ϕ[a], wobeiϕ eine uniforme Π1- Definition von AN sei. Also folgt:M |=ϕ[a], und das heisst wegen der Uniformit¨at der Definition:a∈AM.
AM ⊆A Seia∈AM. Dann gilt:M |=ϕ[a], alsoN |=ϕ[π(a)]. Nach Uniformit¨at vonϕ folgt, dassπ(a)∈AN ist, d.h.:hN, ANi |= ˙A(π(a)), wobei ˙A das Symbol f¨urAN sei. Da πeine Einbettung ist, gilt also:hM, Ai |= ˙A(a), und das heisst:a∈A. 2
Aus diesen Lemmata ist ersichtlich, dass die gesamte Iterationstheorie auch f¨ur expan-
dierte schwache j-ppm funktioniert.
pPλ-Strukturen
In diesem Abschnitt wird die Expansionsfunktion beschrieben, die die expandierten schwa- chen j-ppm liefert, die wir brauchen werden, um die gew¨unschte Korrespondenz zu errei- chen. Es werden auch einige fundamentale Eigenschaften dieser Funktion bewiesen.
2.2.8 Definition. SeiM eine schwache j-ppm. Dann seiDM definiert durch:
DM
def= {τ | (Lim(τ)∨τ= 0) ∧ τ∈M ∧
¬(∃ν∈M EωνM 6=∅ ∧ s+(ν)M < τ ≤ν)}.
F¨ur ν, γ ≤ht(M) sagen wir, ν verdeckt γ in M genau dann, wenn gilt: M||ν ist aktiv, unds+(ν)M < γ≤ν.
Also bestehtDM aus 0 und den Limesordinalzahlen vonM, die von keinemν <ht(M)
verdeckt werden. 2
2.2.9 Lemma. Die FunktionhDM |M ist eine schwache j-ppmiist eine Expansions- funktion.
Beweis. Sei M eine schwache j-ppm. Wir zeigen der Reihe nach, dass DM die Eigen- schaften (a)-(c) aus Definition 2.2.3 erf¨ullt:
(a) (Abgeschlossenheit)Seiτ ∈M ein Limespunkt vonDM. Man nehme an,τ sei kein Element von DM. Sei dannν ∈M mit der Eigenschaft, dass s+(ν)M < τ ≤ν ist.
Daτ ein Limespunkt von DM ist, kann nun ¯τ so gew¨ahlt werden, dasss+(ν)M <
¯
τ∈DM∩τ ist. Dann ist abers+(ν)M <¯τ < ν, also ¯τ /∈DM, ein Widerspruch.
(b) (Π1−Definierbarkeit)Es gilt:
τ∈DM ←→ M |= ((Lim(τ)∨τ= 0) ∧
∀ν ∀x(x=hJEνM, EνMiist aktiv →((τ ≤s+(ν))x∨τ /∈x))) Da”x=hJEνM, EνMi“ Σ1(M) ist, ist die obenstehende Definition offenbar Π1.
(c) (Koh¨arenz)Seiωβ∈DM.Wir m¨ussen zeigen, dassωβ∩DM =DM||β ist.
(⊆) Diese Richtung ist trivialerweise erf¨ullt; es muss lediglich Π1−Reflektion an- gewandt werden, denn die uniforme Π1−Definition vonDM macht keinen Ge- brauch von dem Top-Extender-Pr¨adikat.
(⊇) Man nehme an, diese Inklusion sei falsch. Seiτ∈DM||β\DM.Daτ /∈DM ist, kann nunν so gew¨ahlt werden, dasss+(ν)M < τ ≤ν ist. Es folgt, dassν≥ωβ ist, da sonsts+(ν)M =s+(ν)M||β w¨are, und somitτ kein Element vonDM||β w¨are. Aber dann ists+(ν)M < ωβ≤ν, alsoωβ /∈DM, ein Widerspruch.
2
2.2.10 Definition. Einepotenzielle Pseudo-λ-Struktur(pPλ-Struktur) ist eine Struk- tur der FormhM, DMi, wobeiM eine schwache j-ppm ist, und f¨ur jedesα <ht(M) gilt:
R∗hM||γ,DM||γi6=∅.
F¨ur eine pPλ-Struktur P = hM, DMi sei P− def= M, und f¨ur α < ht(M) sei P||α = hM||α, DM||αi.
Schließlich verwenden wir die Schreibweisen ht(P), EtopP , λ(P), etc. f¨ur ht(P−), EtopP−, λ(P−), etc.
Wir verwenden in Verbindung mit pPλ-Strukturen eine um das Pr¨adikatensymbol ˙D
erweiterte Sprache, und setzen: ˙DP =DP. 2
2.2.11 Lemma. Sei M eine pPλ-Struktur, α ∈ OnM eine Limesordinalzahl und α /∈DM. Dann existiert ein maximales ν ∈M, so dasss+(ν)M < α≤ν ist. F¨ur dieses ν gilt ausserdem: ν+ω∈DM, sofernν+ω∈M ist.
Beweis. Per Definition vonDM existiert einν ∈M, dasαverdeckt. Um zu sehen, dass ein maximalesν mit dieser Eigenschaft existiert, beachte man, dass wennν < ν0 ist, und beideαverdecken, folgt:
s+(ν0)M < s+(ν)M,
