7.3.1 Lemma. Sei M = hJEµ+1¯ ,∅, DMi eine pPλ-Struktur, f¨ur die N = S(M) = hJEν+1¯N,∅i existiert. Sei p∈[OnS(M)]<ω mit der Eigenschaft, dass {ωµ}¯ Σ1(M) in pist.
Dann istων¯ Σ1(N)in dem gleichen Parameterp.
Beweis.
Fall 1: ωµ¯∈DM – D.h.,M||¯µist passiv, oder M||¯µist aktiv, abers+(M||¯µ) = ¯µ.
In diesem Fall istDM =DM||¯µ∪ {ωµ}.¯
Seienϕ(x, ~y) eine Σ1-Formel undp={η1, . . . , ηn}, so dass f¨ur jedesγ∈ |M|gilt:
γ=ωµ¯ ⇐⇒ M |=ϕ[(x/γ),(~y/η~)].
Indem man inϕjedes Auftreten von
”D(v)“ ersetzt durch˙
”( ˙D(v)∨v=z)“ f¨ur eine neue Variablez, erh¨alt man eine Formel ˜ϕ(x, ~y, z) mit der Eigenschaft:
M |=ϕ[(x/γ),(~y/~η)] ⇐⇒ h|M|, EM,∅, DM||¯µi |= ˜ϕ[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ)].
Setze: ¯E def= Eωµ,¯ Fdef= Eω¯µ und ¯Ddef= DM||¯µ. Unter Verwendung von Korollar 4.0.8 gilt:
M |=ϕ[(x/γ),(~y/~η)]
⇐⇒ h|M|, EM,∅,Di¯ |= ˜ϕ[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ)]
⇐⇒ h|M|,E, F,¯ Di¯ |= ¯Tλ( ˜ϕ)[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ),(v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)]
⇐⇒ ∃u∈ |M| (uist transitiv und
hu,E¯∩u, F∩u,D¯ ∩ui |= ¯Tλ( ˜ϕ)[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ),(v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)])
⇐⇒ ∃m < ω∃u (u=SE,Fm¯ (|M||µ| ∪ {|M¯ ||¯µ|})∧ hu,E, F,¯ Di¯ |= ¯Tλ( ˜ϕ)[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ),(v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)]).
Sei f¨ur m < ω f˙m ein Code f¨ur eine in ˙E,F˙ rudiment¨are Funktion, so dass f¨ur belie-bigee, f, a gilt: vale,f[ ˙fm](a) = Se,fm(a∪ {a})1 – es ist offensichtlich, dass solche Codes existieren. Seifm=valE,F¯ [ ˙fm].
Fixiere nunm < ω groß genug, damit gilt:
hSE,Fm¯ (|M||¯µ| ∪ {|M||¯µ|}),E, F,¯ Di |¯ = ¯Tλ( ˜ϕ)[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ),(v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)]),
wenn (und damit genau dann, wenn)γ=ωµ¯ist. Es sei bemerkt, dass|JEµ+1¯ |der Abschluss von |JEµ¯| ∪ {|JEµ¯|} unter in ¯E, F und ¯D rudiment¨aren Funktionen ist. Man braucht nur in ¯E und F rudiment¨are Funktionen, wie in Lemma 4.0.5 gezeigt wurde. Durch die Verwendung vonfDM||¯µ erh¨alt man aber nicht mehr, da ¯D als in JEµ¯ definierbare Menge ein Element von|JEµ+1¯ |ist.
Es gilt:
M |=ϕ[γ, ~η]
⇐⇒ h|M|,E, F,¯ Di¯ |= ¯Tλ( ˜ϕ)[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ),(v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)]
⇐⇒ h|M|,E, F,¯ Di¯ |= ¯Tλ( ˜ϕ)hfm(|M||¯µ|),E,F,D¯ M||¯µi[(x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ), (v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)]
⇐⇒def h|M|,E, F,¯ Di¯ |=ψ[(v0/fm(|M||¯µ|)),(v1/E¯),(v2/F),(v3/D¯), (x/γ),(~y/~η),(z/ω¯µ),(v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)].
Hierbei bezeichnetϕhw,x,y,zidie Relativierung vonϕnachhw, x, y, zi.ϕist eine Formel der Sprache mit den zus¨atzlichen Symbolen ˙D,E˙ und ˙F, welche in der Relativierung durchx, y bzw.zersetzt werden. Es entsteht eine Σ0-Formel der Sprache ohne zus¨atzliche Symbole.
Die obige Formel gilt also genau dann inh|M|,E, F,¯ Di, wenn¯ γ=ωµ¯ist. Wenn man dies
1Se,fm ist hier diem-fache Hintereinanderausf¨uhrung der FunktionSe,f, also der nache, frelativierten Version der FunktionSaus [Jen72].
einsetzt, erh¨alt man:
⇐⇒ h|M|,E, F,¯ Di¯ |=ψ[(v0/valE,F,¯ D¯[fm](|M||¯µ|)),(v1/valE,F,¯ D¯[fE˙](|JEµ¯|)), (v2/valE,F,¯ D¯[fF˙](|JEµ¯|)),(v3/valE,F,¯ D¯[fD˙](|JE¯µ|)), (x/valE,F,¯ D¯[cOn](|JEµ¯|)),(~y/~η),(z/ω¯µ),(v/|JE
¯
µ|),(w/ω¯µ)]
⇐⇒ M||¯µ |=TD,˙ E,˙ F˙(ψ, v0,f˙m,Φ, v1, fE˙,Φ, v2, fF˙,Φ, v3, fD˙,Φ, x, cOn,Φ, w, cOn,Φ)[(~y/~η)]
⇐⇒def M||¯µ |=χ[(~y/~η)].
Es wurde hier von der in Lemma 4.0.4eingef¨uhrten FunktionTD,˙ E,˙ F˙ Gebrauch gemacht.
Vgl. auch Lemma 4.0.6 zur Bedeutung voncOn.
(2) ¯µist die kleinste Ordinalzahlδ mit der Eigenschaft:
ωδ∈DM und(M||δ)|=χ[(~y/~η)].
(Somit istµ¯die einzige Ordinalzahl mit dieser Eigenschaft, denn esωµ¯ist die gr¨oßte Limeszahl vonM).
Beweis von (2). Es ist klar, dassδ= ¯µdiese Eigenschaft hat. Es bleibt die Minimalit¨at zu zeigen. Angenommen, δ < µ¯ erf¨ullte ebenfalls ωδ ∈ DM und (M||δ) |= χ[~η]. Nach Definition vonχerh¨alt man mit ˜Edef= Eωδ, ˜F def= Eωδ und ˜Ddef= DM||δ:
(M||δ) |=χ[~η]
⇐⇒ (M||δ) |=TD,˙ E,˙ F˙(ψ, v0,f˙m,Φ, v1, fE˙,Φ, v2, fF˙,Φ, v3, fD˙,Φ, x, cOn,Φ, w, cOn,Φ)[(~y/~η)]
⇐⇒ h|M||δ+ 1|,E,˜ F ,˜ Di˜ |=ψ[(v0/valE,˜F ,˜D˜[fm](|M||δ|)),(v1/valE,˜F ,˜D˜[fE˙](|JEδ|)), (v2/valE,˜F ,˜D˜[fF˙](|JEδ|)),(v3/valE,˜F ,˜D˜[fD˙](|JEδ|)), (x/valE,˜F ,˜D˜[cOn](|JEδ|)),(~y/~η),(z/ωδ),(v/|JE
δ|),(w/ωδ)]
⇐⇒ h|M||δ+ 1|,E,˜ F ,˜ Di˜ |= ¯Tλ( ˜ϕ)hf
m(|M||δ|),E,˜F ,˜Di˜ [(x/ωδ),(~y/~η),(z/ωδ), (v/|JE
δ|),(w/ωδ)].
Also gilt
h|M||δ+ 1|,E,˜ F ,˜ Di |˜ = ¯Tλ( ˜ϕ)[(x/ωδ),(~y/η~),(z/ωδ),(v/|JE
δ|),(w/ωδ)],
und das heisst:
h|M||δ+ 1|, Eω(δ+ 1),Di |˜ = ˜ϕ[(x/ωδ),(~y/~η),(z/ωδ)].
Bemerkung:Daωδ∈DM, istDM||δ+1=DM||δ∪ {ωδ}= ˜D∪ {ωδ}. Denn sonst m¨ussteδ einen Extender inM indizieren, so dasss+(M||δ)< ωδ ist. Aber dann w¨areωδ /∈DM. Somit besagt die letzte Zeile gerade:
(M||δ+ 1)|=ϕ[(x/ωδ),(~y/~η)].
Aber mitu=|M||δ+ 1|istM||δ+ 1 =M|u, dennωδ∈DM, alsoDM||δ =DM∩ωδ, und DM||δ+1 =DM||δ∪ {ωδ}, also DM||δ+1 =DM ∩ω(δ+ 1). Also folgt hieraus, dass auch M |= ϕ[ωδ, ~η], da ϕ als Σ1-Formel persistent ist. Nach Voraussetzung heisst dies aber, dassδ= ¯µist, im Widerspruch zu der Annahme, dassδ <µ¯ist. 2(2)
Im folgenden verwenden wir die FunktionenfolgehfγN |γ <ht(N)iaus Korollar 5.3.2. Sei N =hJEν+1¯N,∅i. Wir erhalten:
(3) ¯ν ist die kleinste Ordinalzahlδmit den folgenden Eigenschaften:
(a) N||δ ist passiv, oder:
N||δ ist aktiv undOn
Nd||δ = OnN||δ. (b) (N||δ)|=fδN(χ)[~η, δ−1].˙
Es existiert also eine Σ1-Formel χ, so dass f¨˜ ur alleγ gilt:
¯
ν=γ ⇐⇒ N |= ˜χ[γ, ~η].
Beweis von (3). Zur Minimalit¨at: (N||δ)|=fδN(χ)[~η, δ−1] heisst gerade˙ Λ(N||δ)|=χ[~η].
Sei Λ(N||δ) =M||δ0f¨ur einδ0≤µ. Um (2) verwenden zu k¨¯ onnen, werden wir zeigen, dass ωδ0∈DM ist:
Da S(M||δ0) ein Segment von S(M) ist, kann Lemma 3.1.3 angewandt werden. Man erh¨alt:
(∗) Es existiert keinµ≤ht(M), so dasss+(M||µ)≤ωδ0< µist.
Angenommen, ωδ0∈/DM. Sei dannωµ∈ |M|mit (∗∗) s+(M||µ)< ωδ0≤µ.
Dann ist ωδ0 6=µ, denn sonst w¨are nach (a) M||δ0 aktiv und s+(M||δ0) = ωδ0, im Wi-derspruch zu (∗∗). Also ists+(M||µ)< ωδ0< µ, im Widerspruch zu (∗). Dies zeigt, dass ωδ0 ∈DM ist.
Nach (2) heisst dies aber, dass δ0= ¯µsein muss, und das bedeutet, dassδ= ¯ν ist.
F¨ur die Formulierung dieser Minimalit¨atseigenschaft als Σ1-Formel verwendet man zum einen die Tatsache, dasshfγN |γ <ht(N)i, aufgefasst als dreistellige Relation, Σ1(N) ist – vgl. 5.3.2(d). Zum anderen ¨uberlegt man sich leicht, dass sich die Aussage On
Nd||δ ⊆ OnN||δ durch eine Σω-Formel ¨uberN||δausdr¨ucken l¨asst. Grob gesagt heisst dies n¨amlich gerade (mitF0=EωδN):
N||δ|=∀f ∈crit(F0)nτ(F0)∀~α < s(F0)∃β ≺β, ~α ∈F0({ ≺ξ, ~δ<crit(F0)|ξ=f(~δ)}).
2(3)
Also ist ¯ν in N Σ1-definierbar aus~η, also auch ω¯ν, was zu zeigen war.
Fall 2: ωµ /¯∈DM. Das heisst,M||µ¯ist aktiv unds+(M||µ)¯ <µ.¯
Der wesentliche Unterschied zum ersten Fall ist, dassDM in einem anderen Verh¨altnis zu DM||¯µ steht. Wie man leicht ¨uberpr¨uft, gilt n¨amlich:
(∗) SeiM||γaktiv undωγ /∈DM. Dann istDM||γ+1=DM||γ∩(s+(M||γ)+1) =D∗M||γ. Sei ¯E=Eωµ,¯ F=Eω¯µ und ¯D=DM.
Wir schreiben im folgenden s+(γ) f¨ur s+(M||γ).
Wir argumentieren wie in Fall 1, brauchen aber nicht den Umweg ¨uber ˜ϕzu gehen, umχ zu definieren, da jetzt ¯D =DM ist. Somit entf¨allt auch die Einf¨uhrung der neuen freien Variablez. Wenn wir die in diesem Fall entstehende Formel mitχ0bezeichnen, liefern die Uberlegungen aus Fall 1 modulo dieser Ver¨¨ anderungen:
M |=ϕ[ωµ, ~¯ η] ⇐⇒ h|M||µ|,¯ E, F,¯ Di |¯ =χ0[(~y/~η)].
Damit wir dies ¨uber M||µ¯ ausdr¨ucken k¨onnen (es ist ja ¯D = DM), m¨ussen wir in χ0 noch jedes Auftreten von
”D(v)“ ersetzen durch˙
”D(v)˙ ∧v≤z“, wobei f¨ur die neue freie
Variablezdanns+(¯µ) einzusetzen ist. Bezeichne das Ergebnis dieser Modifikation mit ˜χ0. Also:
M |=ϕ[ωµ, ~¯ η] ⇐⇒ M||¯µ|= ˜χ0[(~y/~η),(z/s+( ¯µ))].
Man erh¨alt anstelle von (2):
(2’) ¯µist das minimale δmit den folgenden Eigenschaften:
(a) M||δ ist aktiv und δ > s+(δ)∈DM. (b) M||δ|= ˜χ0[~η, s+(δ)].
Beweis. Wie im Beweis von (2) ist es offensichtlich, dassδ= ¯µdiese Eigenschaften hat.
Zur Minimalit¨at: Angenommen,δ <µ¯h¨atte diese Eigenschaften ebenfalls. Dann erhielten wir mit ˜Edef= Eωδ, ˜F def= Eωδ und ˜Ddef= DM||δ+1:
(M||δ) |= ˜χ0[~η, s+(δ)]
⇐⇒ h|M||δ|,E,˜ F ,˜ Di˜ |=χ0[~η]
⇐⇒ M||δ+ 1 |=ϕ[ωδ, ~η],
wie zuvor – man verwendet hier, dass nach (∗)DM||δ+1=DM||δ∩(s+(δ) + 1) ist.
Mitudef= |M||δ+ 1|ist aber wiederM||δ+ 1 =M|u:
Nach Voraussetzung ists+(δ)∈DM. Also besagt Lemma 2.2.14, dassω(δ+ 1)∈DM ist;
es besagt sogar, dass dies das n¨achstgr¨oßere Element von DM nach s+(δ) ist. Also gilt nach Koh¨arenz:
DM∩ω(δ+ 1) =DM||δ+1, und das ist es, was wir brauchen.
Daϕ eine Σ1-Formel ist, gilt also nach Persistenz:M |=ϕ[ωδ, ~η], d.h. wir erhalten den
Widerspruchδ= ¯µ > δ. 2(20)
Entsprechend erh¨alt man:
(3’) ¯ν ist die kleinste Ordinalzahlδmit den folgenden Eigenschaften:
(a) N||δ ist aktiv undOn
Nd||δ 6= OnN||δ.
(b) (N||δ)|=fδ( ˜χ0)[~η, δ−1˙
|{z}
0
].
Es existiert also eineΣ1-Formelχ∗, so dass f¨ur alleγ gilt:
¯
ν=γ ⇐⇒ N|=χ∗[γ, ~η].
2
Nun kommen wir zu der Umkehrung dieses Lemmas:
7.3.2 Lemma. SeiN =hJEν+1¯ ,∅ieine pPs-Struktur, f¨ur dieM = Λ(N) =hJEµ+1¯M,∅, Di existiert. Seip∈[OnN]<ω mit der Eigenschaft, dass{ων}¯ Σ1(N)inpist. Dann ist{ωµ}¯ Σ1(M)in dem gleichen Parameterp.
Beweis. Seienϕeine Σ1-Formel undp={η1, . . . , ηn}, so dass f¨ur jedesγ∈ |N|gilt:
γ=ων¯ ⇐⇒ N |=ϕ[γ, ~η].
Es gilt:
N |=ϕ[γ, ~η]
⇐⇒ ∃u∈ |N| (uist transitiv undhu, E∩u,∅i |=ϕ[γ, ~η])
⇐⇒ ∃m < ω∃u (u=SmEω¯ν,Eω¯µ(|N||¯ν| ∪ {|N||¯ν|}) ∧ hu, E∩u,∅i |=ϕ[γ, ~η]).
Fixiere f¨ur jedes m < ω einen Code ˙fm f¨ur Funktionen, die rudiment¨ar in ˙E,F˙ sind, so dass f¨ur alleaund beliebige Mengene, f gilt:Se,fm(a) =vale,f[ ˙fm](a).
Sei nunm∈ω groß genug gew¨ahlt, damit gilt:
hSEmω¯ν,Eω¯ν(|N||ν| ∪ {|N¯ ||¯ν|}), E∩SEmω¯ν,Eω¯ν(|N||¯ν| ∪ {|N||ν|}),¯ ∅i |=ϕ[ων, ~¯ η]).
Dann gilt mit ¯Edef= Eων,¯ Fdef= Eω¯ν undγ=ω¯ν:
N |=ϕ[γ, ~η]
⇐⇒ h|N|,E, F¯ i |= ¯Ts(ϕ)[γ, ~η,|JE¯ν|, ω¯ν]
⇐⇒ h|N|,E, F¯ i |= (hfm(|N||¯ν|),E, F¯ i |= ¯Ts(ϕ)[γ, ~η,|JEν¯|, ων])¯
⇐⇒ h|N|,E, F¯ i |= ( ¯Ts(ϕ)hfm(|N||¯ν|),E,F¯ i[γ, ~η,|JEν¯|, ω¯ν]
| {z }
ψ[fm(|N||¯ν|),E,F,ω¯¯ ν,~η,|JEν¯|]
)
⇐⇒ h|N|,E, F¯ i |=ψ[(v0/valE,F¯ [ ˙fm](|JEν¯|)),(v1/valE,F¯ [ ˙fE](|JE¯ν|)),(v2/valE,F¯ [ ˙fF](|JEν¯|)), (v3/valE,F¯ [cOn](|JE¯ν|)),(w~/~η),(v4/valE,F¯ [π10](|JE¯ν|))]
⇐⇒ (N||¯µ) |=TE,˙ F˙(ψ, v0,f˙m,Φ, v1,f˙E,Φ, v2,f˙F,Φ, v3, cOn,Φ, v4, π10,Φ)[(w~/~η)]
⇐⇒def (N||¯ν) |=χ[(w~/~η)].
T¯s ist die Funktion aus Korollar 4.0.10, und TE,˙ F˙ ist die Funktion aus Lemma 4.0.4.
Letzteres Lemma wurde auch im ¨Ubergang von der f¨unften zur sechsten Zeile verwendet.
(2) ¯ν ist die kleinste Ordinalzahlδmit der Eigenschaft (N||δ)|=χ[~η].
Beweis von (2). Es ist klar, dassδ= ¯µdiese Eigenschaft hat. Es bleibt die Minimalit¨at zu zeigen. Angenommen,δ <µ¯erf¨ullte sie auch. Indem man die vorhergehende Kette von Aquivalenzen r¨¨ uckw¨arts durchgeht, erh¨alt man mit ˜Edef= Eδ und ˜F def= Eωδ:
(N||δ) |=χ[~η]
⇐⇒ (N||δ) |=TE,˙ F˙(ψ, v0,f˙m,Φ, v1,f˙E,Φ, v2,f˙F,Φ, v3, cOn,Φ, v4, π10,Φ)[(w~/~η)]
⇐⇒ h|N||δ+ 1|,E,˜ F˜i |=ψ[(v0/valE,˜F˜[ ˙fm](|JEδ|)),(v1/valE,˜F˜[ ˙fE](|JEδ|)), (v2/valE,˜F˜[ ˙fF](|JEδ|)),(v3/valE,˜F˜[cOn](|JEδ|)), (w~/~η),(v4/valE,˜F˜[π10](|JEδ|))]
⇐⇒ h|N||δ+ 1|,E,˜ F˜i |= ¯Ts(ϕ)hf
m(|N||¯ν|),E,F¯ i[ωδ, ~η,|JEδ |, ωδ].
Also gilt
N||δ+ 1|=ϕ[ωδ, ~η].
Aber mit u = |N||δ + 1| ist N||δ + 1 = N|u, und somit folgt hieraus, dass auch N |=ϕ[ωδ, ~η], da ϕeine Σ1-Formel ist. Nach Voraussetzung heisst dies aber, dass δ= ¯ν ist, im Widerspruch zu der Annahme, dassδ <ν¯ ist. 2(2)
(3) ¯µist die kleinste Ordinalzahlδ mit den Eigenschaften:
(a) C˜0(M||δ)|=g(χC˜0(M||δ))[~η, δ−1]. (Zur Definition von˙ g vgl. Lemma 5.2.3.) (b) ωδ∈DM, oder:
M||δ ist aktiv unds+(M||δ)∈DM. Dies l¨asst sich formulieren als
M |= ˜χ[γ, ~η], wobei χ˜ eineΣ1-Formel ist.
Beweis von (3). Dies folgt aus (2). Die Bedingung (b) besagt gerade, dassS(M||δ) ein
Segment von N ist. 2(3)
Also ist ¯µ(und somit auchωµ) in¯ M Σ1-definierbar aus ~η, was zu zeigen war. 2