Die n-ten Projekta von M und S(M )

Aus den Resultaten des vorigen Abschnitts soll nun hergeleitet werden:

6.3.1 Lemma. SeiS(M)definiert. Dann gilt f¨ur n≥1:

(a) ωρⁿ_M =ωρⁿ_S(M),

(b) Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (M)∩ P(H_Mⁿ) =Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (S(M))∩ P(H_S(M)ⁿ ).

Wieder ergibt sich sogar, dassωρⁿ_N bzw.Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (N)∩P(H_Nⁿ)gleich sind f¨ur jedesN ∈ {M, S(M),S(M\),C˜0(M),C˜0(S(M)),C˜0(S(M\)),C0(M),C0(S(M)),C0(\S(M))}.

Der Beweis muss jedoch zun¨achst vertagt werden, da einige feinstrukturelle Grundlagen ben¨otigt werden. Zun¨achst zitieren wir ein Lemma, das in [Zem97] unter der Nummer 1.1.25, bzw. in [Zem02] unter 1.6.3 zu finden ist. Es ist wohl die grundlegendste Beobach-tung ¨uber Σ⁽ⁿ⁾_l -Relationen.

6.3.2 Lemma. Sei M ein akzeptierbares J-Modell. Seien n, l < ω. R(~xⁿ⁺¹, . . . , ~x⁰) ist Σ⁽ⁿ⁺¹⁾_l (M) genau dann, wenn die Relation R~x

def= {h~xⁿ⁺¹i | R(~xⁿ⁺¹, ~x)} (hier ist

~

x=~xⁿ, . . . , ~x⁰) uniform Σl(hH_Mⁿ⁺¹, Q¹_~x, . . . , Q^m_~xi)ist, wobei jedes Qⁱ_~x (i= 1, . . . , m) von

der Form

Qⁱ_~x={h~zⁿ⁺¹i |Qⁱ(~zⁿ⁺¹, ~x)}

ist, undQⁱ(~zⁿ⁺¹, ~x) Σ⁽ⁿ⁾₁ (M)ist.

Dieses Lemma werden wir verwenden, um folgendes zu zeigen:

6.3.3 Lemma. Sei M ein akzeptierbares J-Modell und B(~yⁿ, ~xⁿ, . . . , ~x⁰) Σ⁽ⁿ⁾₁ (M).

Dann existiert ein i < ω mit folgender Eigenschaft:

F¨ur alle~yⁿ⁺¹ und alle ~r=~rⁿ, . . . , ~r⁰ gilt:

B(~yⁿ⁺¹, ~r) ⇐⇒ A^n+1,h~_M ^ri(i,h~yⁿ⁺¹i).

Beweis. Induktion aufn.

n=0 B ist in diesem Fall Σ₁(M). Sei also

B(~y⁰, ~x⁰) ⇐⇒ M |=ϕi[h~y⁰i,h~x⁰i].

Es gilt dann f¨ur alle~r⁰und~y¹ (~y¹∈H_M¹ ):

A^1,h~_M^r0i(i,h~y¹i) ⇐⇒ M |=ϕi[h~y¹i,h~r⁰i] ⇐⇒ B(~y¹, ~r⁰) per Definition vonA^1,h~r

0i

M . Also leistetidas Gew¨unschte.

n→n+ 1 Sei das Lemma g¨ultig f¨ur n. Wir werden es f¨ur n + 1 verifizieren.

Sei also B(~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹, ~xⁿ, . . . , ~x⁰) Σ⁽ⁿ⁺¹⁾₁ (M). Nach dem soeben zitierten Lemma 6.3.2 ist B_~xn,...,~x⁰ uniform Σ1(hH_Mⁿ⁺¹, Q¹_~xn,...,~x⁰, . . . , Q^m_~xn,...,~x⁰i) f¨ur geeignete Relationen Q^j(~zⁿ⁺¹, ~xⁿ, . . . , ~x⁰), die Σ⁽ⁿ⁾₁ (M) sind (f¨ur 1≤j ≤m). Man kann in Q^j die Variablen

~

zⁿ⁺¹ durch~zⁿ substituieren, um ˜Q^j(~zⁿ, ~xⁿ, . . . , ~x⁰) zu erhalten, so dassQ^j eine Speziali-sierung der Σ⁽ⁿ⁾₁ (M)-Relation ˜Q^j ist.

Auf die ˜Q^j(~zⁿ, ~xⁿ, . . . , ~x⁰) kann nun die Induktionsvoraussetzung angewandt werden. Man erh¨alt i_j, so dass f¨ur alle~zⁿ⁺¹ und alle~x=~xⁿ, . . . , ~x⁰ gilt:

Q^j(~zⁿ⁺¹, ~x) ⇐⇒ Q˜^j(~zⁿ⁺¹, ~x) ⇐⇒ A^n+1,h~_M ^xi(ij,h~zⁿ⁺¹i).

Es sei nun ϕ eine Σ₁-Formel der Sprache mit zus¨atzlichen Pr¨adikatensymbolen Q˙¹, . . . ,Q˙^m, so dass gilt:

∀~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹, ~xⁿ, . . . , ~x⁰ (B(~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹, ~xⁿ, . . . , ~x⁰)

⇐⇒ hH_Mⁿ⁺¹, Q¹_~xn,...,~x⁰, . . . , Q^m_~xn,...,~x⁰i |=ϕ[~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹]).

Bezeichne mit ˜ϕdie Formel, die man erh¨alt, indem man inϕjedes Auftreten von ˙Q^j(w) durch ˙A(i_j, w) ersetzt. Dann ist ˜ϕeine Σ₁-Formel der Sprache vonhHⁿ⁺¹, A^n+1,h~_M ^xn,...,~x0ii, und es gilt f¨ur alle~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹, ~xⁿ, . . . , ~x⁰:

hH_Mⁿ⁺¹, Q¹_~xn,...,~x⁰, . . . , Q^m_~xn,...,~x⁰i |=ϕ[~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹]

⇐⇒ hHⁿ⁺¹, A^n+1,h~_M ^xn,...,~x0ii |= ˜ϕ[~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹]

⇐⇒ M^{n+1,h~xn,...,~x0i} |=ϕi[~yⁿ⁺¹, ~xⁿ⁺¹],

wobei i die Nummer von ˜ϕin der kanonischen Aufz¨ahlung der Σ1-Formeln der Sprache mit zus¨atzlichem Konstantensymbol ˙Amit zwei freien Variablen ist.

Also gilt dies insbesondere f¨ur~yⁿ⁺² anstelle von~yⁿ⁺¹. Mitr~⁰=~xⁿ, . . . , ~x⁰erh¨alt man:

B(~yⁿ⁺², ~xⁿ⁺¹, ~r⁰)

⇐⇒ M^n+1,hr~0i|=ϕi[~yⁿ⁺², ~xⁿ⁺¹]

⇐⇒ A^n+2,h~_M ^{xn+1, ~r0i}(i,h~yⁿ⁺²i), also mit~r=h~xⁿ⁺¹, ~r⁰i:

B(~yⁿ⁺², ~r) ⇐⇒ A^n+2,h~_M ^ri(i,h~yⁿ⁺²i),

ileistet also das Verlangte. 2

Anstatt nun direkt Lemma 6.3.1zu beweisen, werden wir gleich ein allgemeineres Resultat in Angriff nehmen – im Wesentlichen, um hervorzuheben, dass hier nichts ben¨otigt wird, was mit speziellen Eigenschaften von pPλ-Strukturen oderSzu tun h¨atte.

6.3.4 Lemma. Seien M undN akzeptierbare J-Modelle mit:

(i) Σ1(M)∩ P(H_M¹ ) =Σ1(N)∩ P(H_N¹).

(ii) F¨ur α∈Card^M ∩Card^N istH_α^M =H_α^N. Dann gilt f¨ur jedesn≥1:

(a) ωρⁿ_M =ωρⁿ_N,

(b) Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (M)∩ P(H_Mⁿ) =Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (N)∩ P(H_Nⁿ).

Beweis. Induktion aufn.

F¨urn= 1 steht gerade die Voraussetzung da (dassωρ¹_M =ωρ¹_N ist, folgt offensichtlich aus dieser). Sei also f¨urn≥1 angenommen, (a) und (b) tr¨afen zu. Wir zeigen zun¨achst, dass auch (a) auch vonn+ 1 erf¨ullt wird:

Eigentlich sind hier zwei Richtungen zu zeigen, aber daM undNvollkommen symmetrisch sind, reicht es beispielsweise zu zeigen, dassωρⁿ⁺¹_M ≤ωρⁿ⁺¹_N ist.

Sei dazuB Σ₁(N^n,q) inr∈[ωρⁿ_N]^<ω f¨ur einq∈P_Nⁿ, so dassB∩ωρⁿ⁺¹_N ∈ |N|/ ist. Nun ist N^n,q =hH_Nⁿ, A^n,q_N i, und

A^def= A^n,q_N ∈Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (N)∩ P(H_Nⁿ) =Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (M)∩ P(H_Mⁿ) nach Induktionsvoraussetzung (b).

Sei also A Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (M) inp∈Γⁿ⁻¹_M (Zur Notation sei auf [Zem02], S.18, Definition unter Abschnitt 1.5 verwiesen). Dann gilt nach Lemma 6.3.3:

∀yⁿ yⁿ∈A ←→ A^n,p_M (i, yⁿ) f¨ur ein geeignetesi < ω.

Sei nunB inN^n,q definiert durch die Σ1-Formelϕ, d.h., es gelte:

x∈B ←→ hH_Nⁿ, Ai |=ϕ[x, r].

Sei ˜ϕ die Σ₁-Formel, die entsteht, indem jedes Auftreten von ˙A(j, z) in ϕ ersetzt wird durch ˙A(i,hj, zi). Dann gilt:

hH_Nⁿ, Ai |=ϕ[x, r] ←→ hH_Mⁿ, A^n,p_M i |= ˜ϕ[x, r].

Dies zeigt, dassB Σ1(M^n,p) ist. W¨are alsoωρⁿ⁺¹_N < ωρⁿ⁺¹_M , dann g¨alte:B∩ωρⁿ⁺¹_N ∈M. Nach Akzeptierbarkeit vonM heisst dies aber:B∩ωρⁿ⁺¹_N ∈H_Mⁿ =H_Nⁿ, ein Widerspruch.

Dies zeigt (a) f¨urn+ 1. Nun zu (b):

Zun¨achst folgt aus der ¨Ubereinstimmung der (n+ 1)-ten Projekta vonM undN auch die Ubereinstimmung der (n¨ + 1)-ten Redukte, denn entweder ωρⁿ⁺¹< ωρ¹, in welchem Fall ωρⁿ⁺¹ eine Kardinalzahl sowohl in M als auch inN ist, so dass (ii) verwendet werden kann, oderωρⁿ⁺¹=ωρ¹, und dann ist gem¨aß (i)H_Mⁿ⁺¹=H_M¹ =H_N¹ =H_Nⁿ⁺¹ (hier wurde ωρ^mf¨urωρ^m_M =ωρ^m_N geschrieben, fallsm≤n+ 1 ist).

Jedes ¯B∈Σ⁽ⁿ⁾₁ (N)∩ P(H_Nⁿ⁺¹) l¨asst sich darstellen wie im Beweis von (a), also als Schnitt eines ElementsBvonΣ1(N^n,q) mitH_Nⁿ⁺¹f¨ur ein geeignetesq∈Γⁿ_N. AberH_Nⁿ⁺¹=H_Mⁿ⁺¹, und der Beweis von (a) liefert dann, dass ¯B=B⁰∩H_Mⁿ⁺¹ ist f¨ur einB⁰∈Σ1(M^n,p) und ein passendesp∈Γⁿ_M. Dies heisst nichts anderes, als dass ¯B∈Σ⁽ⁿ⁾₁ (M)∩ P(H_Mⁿ⁺¹) ist.

Wieder reicht es aus Symmetriegr¨unden, diese Inklusion zu zeigen; f¨ur die andere Richtung sind lediglich die Rollen vonM undN zu vertauschen. 2

Jetzt kommen wir zu dem (kurzen)

Beweis von Lemma 6.3.1. Die Behauptung folgt offenbar aus Lemma 6.1.3 und Lemma 6.3.4 – hier setze man N = S(M). Die Voraussetzungen sind dann offenbar

erf¨ullt. 2

Soundness und Solidity

In diesem Kapitel wird darauf zugesteuert zu zeigen, dass sich soundness und1-solidity von M aufS(M)

”ubertr¨¨ agt“.

7.1 Iterierte Standard-Parameter

Aus technischen Gr¨unden, im Wesentlichen, weil wir uns bisher auf Σ₁ -Definierbarkeitsuntersuchungen konzentriert haben, erweist es sich als vorteilhaft, an Stelle der ¨ublichen Standard-Parameter eine etwas abgewandelte Version zu verwen-den. Wir nennen sie iterierte Standard-Parameter, was in Anbetracht der folgenden Definition auch naheliegend ist:

7.1.1 Definition. Sei M eine akzeptierbare J-Struktur. Definiere eine Folge hqⁿ_M |n < ωiper Rekursion aufndurch:

q_Mⁿ = das <^∗ -minimale Element vonP_Mn,hq0,...,qn−1i.

Setze:q_M,n^def= q_M⁰ ∪ · · · ∪qⁿ⁻¹_M . 2

Die folgenden Lemmata besch¨aftigen sich mit dem Verh¨altnis zwischen iterierten Standard-Parametern und den

”ublichen“ Standard-Parametern.¨ 125

7.1.2 Lemma. Sei1≤n < ω mitq_M,n∈P_Mⁿ. Dann istq_M,n=p_M,n.

Beweis. Fixieren∈ω\1.

p_M,n≤^∗q_M,n Nach Voraussetzung ist q_M,n∈P_Mⁿ. Aberp_M,n ist das<^∗-minimale Ele-ment vonP_Mⁿ, also istp_M,n≤^∗q_M,n.

qM,n≤^∗pM,n Man nehme das Gegenteil an. Sei dann m < n minimal mit der Eigen-schaft, dassq_M^m =q_M,n^m >^∗p^m_M,n ist.

Also istr^def= hq⁰_M, . . . , q^m−1_M i=hp⁰_M,n, . . . , p^m−1_M,ni; fallsm= 0 ist, so ist r=∅.

Nach Voraussetzung istr∈P_M^m(bzw., fallsm= 0 ist, istr=∅ ∈P_M⁰ ={∅}).

Aberhp⁰_M,n, . . . , p^m−1_M,ni ∈P_M^m, also ist p^m_M,n∈P

M^{m,hp0M,n,...,p}

m−1

M,ni =PM^m,r.

Daraus ergibt sich ein Widerspruch, denn per Definition istq_M^m das<^∗-minimale Element

vonPM^m,r, also istq_M^m ≤^∗p^m_M,n. 2

7.1.3 Lemma. SeiM eine akzeptierbareJ-Struktur, deren gute Parameter verl¨ anger-bar sind (vgl. [Zem02, Definition, S. 36]). Dann gilt f¨ur 1≤n < ω:

qM,n=pM,n.

Beweis. Induktion aufn≥1.

n= 1 In diesem Fall stimmen die Definitionen vonq_M,n undp_M,n ¨uberein.

n−→n+ 1 Angenommen, die Behauptung sei f¨urnbewiesen. Da die guten Parameter vonM verl¨angerbar sind, gilt nach [Zem02, Lemma 1.9.7]:

qM,n=pM,n=pM,n+1n.

Es bleibt zu zeigen, dassq_Mⁿ =pⁿ_M,n+1 ist.

qⁿ_M ≤^∗pⁿ_M,n+1 pⁿ_M,n+1 ∈P_Mn,hpM,n+1ni =P_Mn,qM,n. Aberqⁿ_M ist das<^∗-minimale Ele-ment vonP_Mn,qM,n, also istqⁿ_M ≤^∗pⁿ_M,n+1.

pⁿ_M,n+1≤^∗q_Mⁿ Es istqM,n=pM,n∈P_Mⁿ. Daqⁿ_M ∈P_Mn,qM,n ist, ist alsoqM,n+1∈P_Mⁿ⁺¹. Aber pM,n+1 ist das <^∗-minimale Element von P_Mⁿ⁺¹, also ist pM,n+1 ≤^∗ qM,n+1. Da p_M,n+1n=p_M,n=q_M,n=q_M,n+1nist, folgt:pⁿ_M,n+1≤^∗q_Mⁿ. 2

7.1.4 Korollar. SeiM sound. Dann gilt f¨ur n < ω:

q_Mⁿ =pⁿ_M.

Beweis. Nach [Zem02, Lemma 1.9.4] sind die guten Parameter von M verl¨angerbar,

also kann Lemma 7.1.3angewandt werden. 2

7.1.5 Lemma. Sei M eine akzeptierbare J-Struktur mit der Eigenschaft, dass f¨ur jedes n∈ω gilt:

q_Mⁿ ∈R_Mn,qM,n. Dann gilt f¨ur jedes solchen:

q_M,n=p_M,n. Ausserdem ist dannM sound.

Beweis. Wir zeigen per Induktion aufn≥1, dassqM,n∈Rⁿ_M ist.

n= 1 Nach Voraussetzung istq⁰_M ∈R_M.

n−→n+ 1 Nach Induktionsvoraussetzung istqM,n∈Rⁿ_M. Nach [Zem02, Lemma 1.9.3]

kannqM,nso um einq⁰ verl¨angert werden, dassqM,n_

q⁰ ∈P_Mⁿ⁺¹ist. Das heisst, dass f¨ur jedesq⁰∈P_Mn,qM,n gilt:qM,n_

q⁰ ∈P_Mⁿ⁺¹. Insbesondere ist dies f¨urq_Mⁿ der Fall. Also ist qM,n+1∈P_Mⁿ⁺¹. Nach Voraussetzung istq_Mⁿ ∈R_Mn,qM,n, und nach Induktionsvorausset-zung istqM,n∈Rⁿ_M, also istqM,n+1=qM,n_

qⁿ_M ∈R_Mⁿ⁺¹. Dies schließt den induktiven Beweis ab.

Nun wissen wir also insbesondere, dass f¨ur jedes 1≤n < ω gilt:qM,n∈P_Mⁿ. Also k¨onnen wir Lemma 7.1.2anwenden, um zu erhalten, dassqM,n=pM,n ist.

Dass M sound ist, folgt jetzt aus [Zem02, Lemma 1.9.6], denn wir haben gezeigt, dass

q_M,n=p_M,n∈Rⁿ_M ist f¨ur jedesn∈ω\1. 2

7.1.6 Lemma. SeiM eine pPλ-Struktur. Dann ist q_M⁰ ⊆DM.

Beweis. Wir verwenden die folgende Charakterisierung vonq_M⁰ :

q_M⁰ = {ν0, . . . , ν_n−1}, wobei νi f¨ur i < n die minimale Ordinalzahl α ist, die folgende Eigenschaft hat:

(∗)i Es existieren ein u∈[α+ 1]^<ω und eine Menge A, dieΣ₁(M)in dem Parameter {ν_m|m < i} ∪uist, so dassA∩ωρ¹_M ∈/ M ist.

Das heisst,nist minimal, so dass keinαexistiert, das (∗)n erf¨ullt.

Beweis. Wir wollen zeigen, dassq_M⁰ ⊆DM ist. Hierf¨ur nehme man das Gegenteil an. Sei danni < n minimal mit der Eigenschaft, dassν_i ∈/ D_M ist. Wir k¨onnen dann einµ∈M w¨ahlen, so dass gilt:

s^+M(µ)< ν_i ≤µ.

Seienκ= crit(E^M_µ ),τ= (κ⁺)^M||µ unds=s^M(µ), sowies⁺=s^+M(µ). Schließlich sei π=π^M_s ^||µ: J^E_τ^M −→E_µ^M (M||µ)^passiv.

Offenbar istπΣ₁(M) in dem Parameters⁺, denn durchs⁺istµeindeutig festgelegt und auss⁺ auf eine Σ₁-Weise definierbar, ebenso wie die Parameter κ, τ unds. Wir zeigen nun:

ν_iist Σ₁(M) in Parameternβ₀, . . . , β_l−1≤s⁺. Hierf¨ur unterscheiden wir zwei F¨alle:

Fall 1:νi=µ.

Dann istν_i= supπ“τ, und somit ist ν_i Σ₁(M) in dem Parameters⁺, da dies aufπund τ zutrifft.

Fall 2:νi< µ.

Da s dersupport von E^M_µ ist, existieren dann eine Funktion f : κ^m→ M||τ, f ∈M||τ und Ordinalzahlen γ₀, . . . , γ_m−1< s, so dass

ν_i=π(f)(γ₀, . . . , γ_m−1)

ist. Sei nun h eine Σ1(M||τ)-Surjektion von τ auf M||τ, und sei h(ζ) = f. Dann ist ν_i = π(h(ζ))(γ₀, . . . , γ_m−1), und somit ν_i Σ₁-definierbar ¨uber M in den Parametern ζ, γ₀, . . . , γ_m−1, s⁺, die offenbar allesamt≤s⁺ sind.

Dies zeigt die Behauptung und f¨uhrt schnell zu einem Widerspruch: Seien gem¨aß der eingangs angegebenen Charakterisierung von q⁰_M ein u ⊆ νi + 1 und eine Menge A so gew¨ahlt, dass A Σ1(M) in u ∪ {ν0, . . . , ν_i−1} und A ∩ ωρ¹_M ∈/ M ist. Setze

¯

u = (u\ {νi})∪ {β0, . . . , βl−1}. Dann ist A offenbar Σ1(M) in ¯u∪ {ν0, . . . , νi−1}, aber

¯

u⊆νi, im Widerspruch zur Minimalit¨at vonνi mit der Eigenschaft (∗)i. 2

7.1.7 Lemma. SeienM undN akzeptierbare J-Modelle mit:

(i) M istsound.

(ii) F¨ur alleq∈H_M¹ gilt:

{a|aist Σ1(M^qM0 ) inq}={a|aist Σ1(N^q0N) inq}.

(iii) Σ₁(M)∩ P(H_M¹ ) =Σ₁(N)∩ P(H_N¹).

(iv) F¨ur α∈Card^M ∩Card^N istH_α^M =H_α^N. (v) q_M⁰ =q_N⁰ ∈RN.

Dann ist auch N sound.

Zur Definition von qⁿ_M vgl. Definition 7.1.1.

Beweis. Nach Lemma 6.3.4wissen wir, dass aus (iii) und (iv) f¨ur beliebigesn≥1 bereits folgt:

(a) ωρⁿ_M =ωρⁿ_N,

(b) Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (M)∩ P(H_Mⁿ) =Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (N)∩ P(H_Nⁿ).

Wir schreiben daher im FolgendenHⁿ f¨ur H_Mⁿ =H_Nⁿ und ωρⁿ f¨ur ωρⁿ_M =ωρⁿ_N – durch ersteres verschwindet auch die unsch¨one Asymmetrie in Voraussetzung (ii).

Nach Korollar 7.1.4 wissen wir, dass f¨ur n≥1 gilt: pM,n=qM,n. Wir werden zuerst per Induktion aufn≥1 zeigen:

(a) F¨ur alleq∈Hⁿ gilt:

{a|aist Σ1(M^{n,hq0M,...,qn−1M i}) inq}={a|aist Σ1(N^{n,hq0N,...,qn−1N i}) inq}.

(b) qⁿ_M =qⁿ_N ∈R

N^n,hq0N,...,qn−1 N i.

n=1 Die Behauptung (a) gilt nach Voraussetzung (ii).

Zu (b): Aus (a) folgt offenbar, dassP

M^qM⁰ =P

N^q0N ist, daH_M¹ =H_N¹ undωρ²_M =ωρ²_N ist.

Also haben beide Mengen das gleiche<^∗-Minimum, woraus folgt, dassq¹_M =q¹_N ist, also der erste Teil von (b). Um zu sehen, dassq¹_N ∈R

N^q0N ist, beachte man, dass nach Lemma 7.1.4 q¹_N =q_M¹ =p¹_M,2 ∈R

M^1,q0M ist, da M soundist. Also existiert eine Surjektion von ωρ²_M auf H_M¹ , die Σ1(M^qM0 ) inq¹_M ist, und nach (a) ist diese Surjektion auch Σ1(N^1,q0N)

Somit haben wir f¨ura∈Hⁿ⁺¹: ebenso wie ϕeine Σ1-Formel. Letzteres heisst nat¨urlich:

N^{n+1,hq0N,...,qnNi}|=ϕ⁰[a, q],

da wegen (b)hq⁰_N, . . . , q_Nⁿi ∈Rⁿ⁺¹_N ist, insbesondere also ρⁿ⁺¹_N =ρ

N^n,hqN⁰,...,qn−1

N i ist. Wir haben also gezeigt, dassAΣ1(N^{n+1,hqN0,...,qnNi}) inqist. Da wir hier keinen Gebrauch von dersoundnessvon M gemacht haben, k¨onnen wir wieder analog argumentieren, dass die andere Richtung von (a) gilt. Dies zeigt (a) im Induktionsschritt vonnnachn+ 1.

Zu (b): Aus (a) folgt offenbar, dass P

M^n+1,hq0M,...,qnMi =P

N^n+1,hq0N,...,qnNi ist, da H_Mⁿ⁺¹ = H_Nⁿ⁺¹ ist. Also haben beide Mengen das gleiche<^∗-Minimum, woraus folgt, dassq_Mⁿ⁺¹= q_Nⁿ⁺¹ ist, also der erste Teil von (b). Um zu sehen, dass qⁿ⁺¹_N ∈ R

Dies schließt also den induktiven Beweis von (a) und (b) ab.

Nun folgt daraus aber unmittelbar die Behauptung, denn nach Lemma 7.1.5, das wir wegen (b) auf N anwenden k¨onnen, gilt f¨ur 1 ≤n < ω: q_Nⁿ =pⁿ_N, also ist, wieder nach (b),hp⁰_N, . . . , pⁿ⁻¹_N i ∈Rⁿ_N. Und da dies f¨ur jedesn≥1 gilt, istN sound. 2

Im Dokument Lambda-Strukturen und s-Strukturen (Seite 127-138)