Universität Rostock Rostock, den 01.11.2021 Fachbereich Mathematik
PD Dr. M. Sawall
2. Übung zur Vorlesung „Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften“
Musterlösung zur freiwilligen Übungsaufgabe 4:
(a) Die mathematischen Symbol-Schreibweisen sind (i) √x≥0∀x∈R, x≥0,
(ii) ∃!x∈R: exp(x) = 1 (nämlich x= 0), (iii) ln(x)>0∀x∈R, x >1.
(b) Wahr sind die Aussagen (i) - klar und (iv), denn y = −x tut’s. Falsch sind (ii), denn exp(x)>0 für allex∈R, und (iii), denn beispielsweise x=−2 ergibt x3 =−80.
Musterlösung zur freiwilligen Übungsaufgabe 5:
Wenn K0 der aktuelle Verbrauch ist, so ist der Verbrauch n Jahre später Kn= 0.96Kn−1= 0.962Kn−2 =. . .= 0.96nK0.
Die Frage, wann sich der Verbrauch auf 30%reduziert hat, also 0.3K0 erreicht ist, führt auf 0.96nK0 = 0.3K0.
Rauskürzen von K0 und einfache Umformungen ergeben 0.96n= 0.3
log(0.96n) = log(0.3) nlog(0.96) = log(0.3) n= log(0.3)
log(0.96) n≈29.49.
Nach 30 Jahren hat sich der Papierverbrauch auf 30% reduziert.
Musterlösung zur freiwilligen Übungsaufgabe 6:
Seiandas Kapital imn-ten Intervall. Als Zugewinne für das nächste Intervall ergeben sich ein Ertrag von 3%für das aktuelle Kapital, also0.03·an, sowie ein Ertrag von5%auf das Kapital vom vorangegangenen Jahr, also 0.05·an−1
Das neues Kapital ist
an+1=an+ 0.03·an+ 0.05·an−1= 1.03an+ 0.05an−1. Dies ist die rekursive Bildungsvorschrift. Daraus ergeben sich folgende Glieder
a0 = 10 000
a1 = 1.03a0 = 10 300 (hier gibt’s den 2. Bonus noch nicht), a2 = 1.03a1+ 0.05a0 = 10 609 + 500 = 11 109,
a3 = 1.03a2+ 0.05a1 = 11 442 + 515 = 11 957, a4 = 1.03a3+ 0.05a2 = 12 334 + 555 = 12 889, a5 = 1.03a4+ 0.05a3 = 13 276 + 599 = 13 875.
Musterlösung zur freiwilligen Übungsaufgabe 7:
Die Rekursionsvorschrift lautet an+1= an
|{z}
werden weiter überwacht
+ 0.01an
| {z }
1% Neuverd.
durch Infos
− 0.005an−1
| {z }
0.5% der Überw. von vor 2 Wochen fallen weg
+ 100
|{z}
zusätzliche Neuverdächtigungen
und für die rekursiv definierte Folge ergeben sich
a0= 10 000, a1= 10 200
a2= 10 200 + 0.01·10 200−0.005·10 000 + 100 = 10 352, a3= 10 352 + 0.01·10 352−0.005·10 200 + 100 = 10 505, a4= 10 505 + 0.01·10 505−0.005·10 352 + 100 = 10 658.
