www.strobl-f.de/uebw5.pdf
Ubungsaufgaben weitere Themen (alter LP) ¨ W Satz von Vieta. Quadratische Ungleichungen 05
1. L¨ose mit dem Satz von Vieta und faktorisiere den zugeh¨origen quadratischen Term:
(a)x2−6x+ 5 = 0 (b)−2x2 −24x= 70
2. Gesucht ist eine quadratische Gleichung mit den L¨osungenx1/2 =−3±1.
Hierzu k¨onnte man die L¨osungsformel studieren:
x2+bx+c= 0hat die L¨osungenx1/2=−b2±p
(b2)2−c; es muss also−b2 =−3, d. h.b= 6sein; ferner(b2)2−c= 1, d. h.c= (b2)2−1 = 9−1 = 8. Somitx2+ 6x+ 8 = 0.
Wesentlich bequemer ist jedoch ein faktorisierter Ansatz. Finde auf diese Art obige Gleichung.
3. Warum kann man bei der quadratischen Gleichungx2−16x+ 64 = 0die L¨osungen sofort sehen?
4. Faktorisiere, gib den Definitionsbereich an und k¨urze anschließend:
(a) x2−5x+ 6
x2−2x−3 (b) 10x2−70
√7x2+ 5x−2√ 7 5. L¨ose folgende Ungleichungen:
(a) −3x2−4x+ 5≥0 (b) x2−3x+ 10≤0 (c) 2x2+ 98 >28x
6. Betrachte folgende L¨osung der Bruchungleichung x+ 3
x−1 ≥ 5 und beantworte die nachfolgenden Fragen.
x+ 3
x−1 ≥ 5; | ·(x−1)2 (1)
(x+ 3)(x−1) ≥ 5(x−1)2; x2−x+ 3x−3 ≥ 5x2−10x+ 5;
−4x2+ 12x−8 ≥ 0; |: (−4) (!) x2−3x+ 2 ≤ 0.
(2)
Die zugeh¨orige quadratische Gleichung hat die L¨osungen x1/2 = 1,5±√
2,25−2, alsox1 = 1,x2 = 2.
In (2) hat man eine nach oben ge¨offnete Parabel, bei der man sich f¨ur den Bereich
”unten“ interessiert.
AlsoL=]1; 2].
1 2 -
(a) Welchen Vorteil hat es hier, in Zeile (1) mit dem Quadrat des Nenners zu multi- plizieren?
(b) Wie erkl¨aren sich die eckigen Klammern der L¨osungsmenge?
www.strobl-f.de/lsgw5.pdf
L¨osungen weitere Themen (alter LP) W Satz von Vieta. Quadratische Ungleichungen 05
1. (a) Wegen5 = 1·5und6 = 1 + 5istx2 −6x+ 5 = (x−1)(x−5), alsox1 = 1, x2 = 5.
(b) Alles auf die linke Seite und geteilt durch(−2)ergibtx2+ 12x+ 35 = 0.
Wegen35 = (−5)·(−7)und−12 = (−5) + (−7)istx1 =−5,x2 =−7.
Faktorisieren:x2+ 12x+ 35 = (x+ 5)(x+ 7).
2. x1 =−4,x2 =−2. Also (
”xminus L¨osung“)(x+ 4)(x+ 2) =x2+ 6x+ 8 = 0.
3. Binomische Formel:x2−16x+ 64 = (x−8)2 = 0. Alsox1/2 = 8.
4. Vorgehensweise: Setze Z¨ahler und Nenner gleich 0 und finde (mit Formel, eventuell direkt mit Vieta oder binomischer Formel) die L¨osungen und schreibe Z¨ahler und Nen- ner in faktorisierter Form (
”x minus L¨osung“); f¨ur den DefinitionsbereichDber¨uck- sichtige man, dass der Nenner nicht 0 werden darf:
(a) xx22−−2x−35x+6 = (x−2)(x−3)(x−3)(x+1) = xx+1−2.D= IR\{−1; 3}. (b) √ 10x2−70
7x2+5x−2√
7 = 10(x+
√7)(x−√
√ 7) 7(x+√
7)(x−2√77) = 10(x−
√7)
√7(x−2√77).D= IR\{−√ 7;2
√7 7 }.
F¨ur die Wurzel-Rechnung im Nenner siehe auch ueb98.pdf.
5. (a) L¨ose die zugeh¨orige quadratische Gleichung:−3x2 −4x+ 5 = 0:
x1/2 = 4±
√16+4·3·5 2·(−3) = 4±
√76
−6 =−23 ∓ 13√ 19.
Nach unten ge¨offnete Parabel mit Bereich
”≥0“ (Bild rechts).
Also istL= [−23 −13√
19;−23 +13√ 19].
-
−23−13√
19 −23+13√ 19
(b) Zugeh¨orige quadratische Gleichung:x2−3x+ 10 = 0.
x1/2 = 1,5±√
2,25−10mit negativem Radikanden, al- so keine L¨osungen, also
”schwebende“ nach oben ge¨off- nete Parabel, bei der die Werte unterhalb (wegen
”<“) derx-Achse gesucht sind (Bild rechts).
Da es solche Werte nicht gibt, istL={}.
-
(c) Zuerst alles auf eine Seite bringen:2x2−28x+ 98>0.
L¨ose wieder die zugeh¨orige quadratische Gleichung 2(x2−14x+ 49) = 0:x1/2 = 7.
Nach oben ge¨offnete Parabel mit Bereich
”>0“, also
oberhalb derx-Achse (Bild rechts). 7 -
Alle Werte außer der f¨urx= 7liegen ¨uber derx-Achse, alsoL= IR\{7}. 6. (a) Multiplikation mit(x−1)2 hat den Vorteil, dass das Quadrat stets≥0ist, somit
das Ungleichungszeichen erhalten bleibt.
(b) Zwar sind die Grenzen 1 und 2 bei
”≤“ (von Zeile (2)) mit dabei, jedoch kommt 1 nicht in Frage, da sonst der Nenner der gegebenen Ungleichung 0 werden w¨urde.
AlsoL=]1; 2].
