Hans Walser, [20090412a] Ostereier suchen 1 Beispiel Welche Funktion passt zu den gezeichneten Punkten?

−1

Passende Funktion?

Bearbeitung

Natürlich denken wir sofort an die Sinusfunktion y=sin

( )

t ^.

−1 0 1

t

y=sin

( )

t Es gibt aber auch andere Lösungen. Beispiele:

−1 0 1

t

y=sin 13t

( )

−1 0 1

t

y=sin

(

11t

)

−1 0 1

t

y=sin 25t

( )

−1 0 1

t

y=sin

(

23t

)

Allgemein passt y= f_j

( )

t ^{=sin 12}

( (

^j+1

)

^t

)

^{, j.}

Begründung: Die grünen Punkte sind horizontal in gleichen Abständen gezeichnet, also bei t_k =k₆,k

{

0, 1,…,12

}

. Nun ist:

y= f_j

( )

t_k ^{=sin 12}

( (

^j+1

)

^tk

)

^{=sin 12}

( ⁽

^j+1

⁾

^k₆

)

^{=sin 2}

(

^jk+k6

)

^=sin

( )

^k6

Sämtliche Graphen der Funktionen y= f_j

( )

t verlaufen also durch die Punkte k₆, sin

( )

k₆

( )

^.

2 Beispiel

Welche Funktion passt zu den gezeichneten Punkten?

−1 0 1

t

Passende Funktion

Bearbeitung

Natürlich denken wir sofort an y= ±sin

( )

t . Da sind wir aber auf dem falschen Hocker, denn das ist keine Funktion, da zu gegebenem t-Wert der y-Wert nicht eindeutig zuge- ordnet ist.

−1 0 1

t

Falsche Idee: y= ±sin

( )

t Geht es also nicht?

Die folgende Figur zeigt eine korrekte Lösung.

−1 0 1

t

y=sin 13t

( )

Es gibt noch andere korrekte Lösungen:

−1 0 1

t

y=sin

(

11t

)

−1 0 1

t

y=sin 37t

( )

Allgemeine Lösung: y=sin 24

( (

j+13

)

^t

)

^{, j.}

Begründung: Die grünen Punkte sind horizontal in gleichen Abständen gezeichnet, nämlich bei t_k =k₁₂ ,k

{

0, 1,…, 24

}

. Nun ist:

y= f_j

( )

t_k ^{=sin 24}

( (

^j+13

)

^tk

)

^{=sin 24}

( ⁽

^j+13

⁾

^k₁₂

)

^{=sin 2}

(

^jk+13k12

)

=sin 13k

(

₁₂

)

^=sin

(

^k+k12

)

^{= sin}

( )

^{k12 falls k gerade}

sin

( )

k₁₂ ^{falls k ungerade}

Die grünen Punkte liegen also abwechslungsweise auf y=sin

( )

t ^{und y=sin}

( )

^{t .}