• Ökonomische Theorien basieren auf der Annahme, dass die Agenten versuchen, den optimalen Wert einer Funktion zu

Kapitel 2

Mathematik für Mikroökonomie

• Ökonomische Theorien basieren auf der Annahme, dass die Agenten versuchen, den optimalen Wert einer Funktion zu

wählen.

– Konsumenten maximieren Nutzen – Produzenten maximieren Profit

Mathematik der Optimierung

Funktionen mit einer Variablen

• Der Manager einer Firma will den Profit maximieren:

) ( q

 f



 = f(q)



Menge

*

q*

Maximum Profit

von * bei q*

Funktionen mit einer Variablen

• Der Manager variiert die Menge q um zu sehen wann der maximale Profit eintritt

– Eine Steigerung der Menge von q₁ nach q₂ erhöht 

 = f(q)



Menge

*

q*

₁

q₁

₂

q₂

 0



 q



Funktionen mit einer Variablen

• Wenn die Menge über q* gesteigert wird, fällt der Profit

– Eine Mengensteigerung von q* nach q₃ führt zu einer Abnahme von 

 = f(q)



Menge

*

q*

 0



 q



₃

q₃

Ableitungen

• Die Ableitung von  = f(q) ist der Grenzwert von /q für sehr kleine Änderungen von q

• Der Wert hängt von q

ab.

h

q f h

q f dq

df dq

d

h

) ( )

lim (

0



 





Der Wert einer Ableitung in einem Punkt

• Wenn die Ableitung an der Stelle q = q₁ gebildet wird, schreibt man:

• In unserem vorherigen Beispiel,

0

1



q

dq

d 

0

3



q

dq

d 

0

*



q

dq

d 

q1

dq q

d





Bedingung erster Ordnung für ein Maximum

• Damit eine Funktion mit einer Variablen ein Maximum in einem Punkt erreicht, muss die Ableitung in diesem Punkt Null sein.

0

*



q

dq

df

Bedingung zweiter Ordnung

• Die Bedingung erster Ordnung (d/dq) ist

eine notwendige Bedingung für ein Maximum aber keine hinreichende Bedingung.



Menge

*

q*

Wenn die Profitfunktion eine u-Form Hätte, würde die Bedingung erster Ordnung zu q* führen, bei dem  minimiert! wird.

Bedingung zweiter Ordnung

• Damit q* ein Optimum ist, muss also gelten,

) (

"

oder

oder

₂

2 2

2

q dq f

f d dq

d  und

q dq q

d  0 für  *

* für

0 q q

dq

d  

• Bei q*, muss d/dq fallen, also muss die Ableitung von d/dq bei q* negativ sein.

• Eine zweite Ableitung schreibt man:

• Damit ist die Bedingung zweiter Ordnung für ein lokales Maximum:

0 )

(

" _*

* 2

2  _ 



q q q

q

q dq f

d 

Funktionen mit mehreren Variablen

• Viele Zielfunktionen von ökonomischen Agenten hängen von mehreren

Variablen ab. Daher gibt es “trade-offs”.

• Die Abhängigkeit einer Variablen (y) von einer Reihe anderer (x

,x

,…,x

)

schreibt man

) ,...,

,

( x

x

x

f

y 

Partielle Ableitungen

• Die partielle Ableitung von y nach x1 schreibt man

1 1

1

oder oder

oder

1

f

x f f x

y









• Wenn man eine partielle Ableitung bildet, werden alle anderen x konstant gehalten (“ceteris paribus”

Annahme).

h

x x

x f x

x h x

f x

oder f ^{n n}

h x

x n

) ,...,

, ( )

,..., ,

lim ( ^{1 2 1 2}

0 1 2,...,



 







Partielle Ableitungen zweiter Ordnung

• Eine zweite partielle Ableitung schreibt man

• Die Reihenfolge, in der zweite Ableitungen gebildet werden ist unwichtig für das Ergebnis (Young‘s

Theorem).

ij i

j j

i f

x x

f x

x

f 



 







( / ) ²

ji

ij

f

f 

Das totale Differential

• Angenommen y = f(x₁,x₂,…,x_n), wenn alle x ein wenig

variieren, dann wird der totale Effekt auf y gegeben durch

n n

x dx dx f

x dx f

x dy f



 

 

 



 

...

2 1

1

n n

dx f

dx f

dx f

dy 



 ... 

Notwendige Bedingung für ein Maxiumum

• Eine notwendige Bedingung für ein Maximum der

f(x₁,x₂,…,x_n) ist das dy = 0 für jede Kombination kleiner Änderungen in den x. Das kann nur sein wenn:

• An dieser Stelle hat die Funktion einen kritischen Punkt aber diese Bedingung ist nicht hinreichend für ein

Maximum. Daher betrachten wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f.

0

2

...

1

 f   f



f

Bedingung zweiter Ordnung

• Funktion mit einer Variablen y=f(x):

• Eine notwendige Bedingung folgt aus dy/dy=f‘(x)=0. Um sicher zu sein, dass der gefundene Punkt ein Maximum ist betrachten wir nun Bewegungen von diesem Punkt weg.

• Das totale Differential gibt: dy=f‘(x)dx. Bei einem Maximum muss dy für kleine Erhöhungen von x fallen. Um die

Veränderungen in dy zu sehen, betrachten wir die zweite Ableitung von y:

2

2

[ ' ( ) ] " ( ) " ( )

dx x

f dx

dx x

f dx dx

dx x

f y d

d     

Damit d²y< 0 muss f ’’(x)dx² < 0 und da dx² >0 muss f ’’(x) < 0.

Bedingung zweiter Ordnung

• Funktion mit mehreren Variablen y=f(x₁, x₂):

• Bedingungen erster Ordnung für ein Maximum sind

y/x₁ = f₁ = 0

y/x₂ = f₂ = 0

• Damit dieser Punkt ein Maximum ist, muss y abnehmen, wenn wir uns in jede mögliche Richtung von diesem

kritischen Punkt entfernen. (Berg-Analogie)

• f₁ und f₂ müssen am kritischen Punkt abnehmen, aber zusätzliche Bedingung müssen auch für die partiellen Kreuzableitungen gelten.

Bedingung zweiter Ordnung

• Das totale Differential von y ist

dy = f₁ dx₁ + f₂ dx₂

• Das Differential dieser Funktion ist

d ²y = (f₁₁dx₁ + f₁₂dx₂)dx₁ + (f₂₁dx₁ + f₂₂dx₂)dx₂ d ²y = f₁₁dx₁² + f₁₂dx₂dx₁ + f₂₁dx₁ dx₂ + f₂₂dx₂²

• Aus Young’s theorem folgt, f₁₂ = f₂₁ und

d ²y = f₁₁dx₁² + 2f₁₂dx₁dx₂ + f₂₂dx₂²

• Damit diese Gleichung für alle dx₁ und dx₂ kleiner Null ist, müssen f₁₁ und f₂₂ negativ sein.

• Falls weder dx₁ noch dx₂ Null ist, so ist d ²y < 0 nur wenn f₁₁ f₂₂ - f₁₂² > 0 18

Bedingung zweiter Ordnung

f₁₁ f₂₂ - f₁₂² > 0

• Ist diese Bedingung und f₁₁ <0 erfüllt, ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen (Hesse Matrix) „negativ definit“ und die Zielfunktion konkav.

• Eine solche Funktion liegt immer unterhalb jeder Ebene, die die Funktion tangiert.

• Die Extensions in SN, S. 81 zeigen, wie sich diese Bedingungen zweiter Ordnung für mehr als zwei Variablen verhalten.

Maximierung unter Nebenbedingung

• Wenn sich eine (implizite) Nebenbedingung zu einer

Wahlvariablen auflösen lässt, so kann man einfach in die Zielfunktion substituieren. Oft ist das jedoch nicht

möglich.

• Eine allgemeine Methode um eine Maximierung unter Nebenbedingung durchzuführen ist der Lagrange

Multiplikator Ansatz.

• Angenommen wir suchen Werte x₁, x₂,…, x_n , die

y = f(x₁, x₂,…, x_n) u.d.N. g(x₁, x₂,…, x_n) = 0 maximieren.

Der Lagrange Ansatz

• Die Lagrange Multiplikator Methode impliziert ℒ = f(x₁, x₂,…, x_n ) + g(x₁, x₂,…, x_n) wobei  der Lagrange Multiplikator ist.

• Wenn die Nebenbedingung erfüllt ist, dann ist ℒ = f da g(x₁, x₂,…, x_n) = 0. Daher können wir statt der kritischen

Werte von f hier auch die von ℒ suchen.

Der Lagrange Ansatz

• Bedingungen erster Ordnung (BeOs):

ℒ /x₁ = f₁ + g₁ = 0

ℒ /x₂ = f₂ + g₂ = 0 .

ℒ /x_n = f_n + g_n = 0 .

.

ℒ / = g(x₁, x₂,…, x_n) = 0

Der Lagrange Ansatz

• Diese Bedingungen können für x₁, x₂,…, x_n und  gelöst werden. Die gefundenen x werden die Nebenbedingung erfüllen und den Wert von ℒ und somit f maximieren.

• Der Lagrangemultiplikator  gibt den “Schattenpreis” der Nebenbedingung an.

• Jede Maximierung unter Nebenbedingung hat ein duales Problem. Z.B. kann man in der Konsumententheorie statt der Maximierung des Nutzens u.d.N. der Budgetrestriktion auch das minimale Budget suchen, welches einen

vorgegebenen Nutzenlevel erreicht.

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

• Angenommen, wir möchten x₁ und x₂ so wählen, dass y

= f(x₁, x₂) unter der linearen Nebenbedingung c - b₁x₁ - b₂x₂ = 0 maximiert wird.

• Die Lagrange Multiplikator Methode:

ℒ = f(x₁, x₂) + (c - b₁x₁ - b₂x₂)

• Die Bedingungen erster Ordnung sind f₁ - b₁ = 0

f₂ - b₂ = 0

c - b₁x₁ - b₂x₂ = 0

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

• Um ein Maximum sicherzustellen, benötigen wir erneut das “zweite” totale Differential

d ²y = f₁₁dx₁² + 2f₁₂dx₁dx₂ + f₂₂dx₂²

• Nur die Werte von x₁ und x₂, die die Nebenbedingung erfüllen, können Alternativen zum kritischen Punkt sein

• Das totale Differential der Nebenbedingung ist -b₁ dx₁ - b₂ dx₂ = 0

dx₂ = -(b₁/b₂)dx₁

Dieses sind die erlaubten relativen Veränderungen in x₁ und x₂.

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

• Aus den Bedingungen erster Ordnung f₁/f₂ = b₁/b₂, erhält man

dx₂ = -(f₁/f₂) dx₁

• Da d ²y = f₁₁dx₁² + 2f₁₂dx₁dx₂ + f₂₂dx₂²

können wir für dx₂ substituieren und bekommen

d ²y = f₁₁dx₁² - 2f₁₂(f₁/f₂)dx₁² + f₂₂(f₁²/f₂²)dx₁² oder d ²y = f₁₁ f₂² - 2f₁₂f₁f₂ + f₂₂f₁² [dx₁²/ f₂²]

• Daher muss für d ²y < 0 gelten dass

f₁₁ f₂² - 2f₁₂f₁f₂ + f₂₂f₁² < 0

Maximierung unter linearer Nebenbedingung

f₁₁ f₂² - 2f₁₂f₁f₂ + f₂₂f₁² < 0

• Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Funktion quasi- konkav.

• Das Set aller Punkte für die die Funktion Werte oberhalb einer bestimmten Konstante annimmt, ist konvex.

Konkavität und Quasi-Konkavität

am Beispiel y=(x ₁ ·x ₂ ) ^k

Konkavität und Quasi-Konkavität am Beispiel y=(x ₁ ·x ₂ ) ^k

• Hier x₁,x₂,k>0, und für jeden Wert von k ist diese Funktion quasi-konkav. Quasi-Konkavität ist eine ordinale Eigenschaft, sie ist robust gegenüber

monotonen Transformationen (da diese eine ordinale Ordnung nicht beeinträchtigen).

• Die Funktion ist allerdings nur konkav wenn k<1/2 und sonst konvex (für k>1/2). Konkavität oder Konvexität sind kardinale Eigenschaften, monotone Transformationen

können die Eigenschaft zerstören.

Schlussendlich …

• Der Umhüllenden-Satz (Envelope Theorem):

Angenommen y = f(x₁,…x_n,a) dann gilt im Optimum y*

• Der Satz von den Impliziten Funktionen: Gegeben eine implizite Funktion f(x,y)=0, dann folgt aus dem totalen

Differenzial 0 = f_xdx + f_ydy oder:

a f a

f da

dx x

f da

dx x

f da

dx x

f da

dy _n

n 

 



 

 

 



 

 

 

  ...

* ₂

2 1

1

y x

f f dx

dy  

Schlussendlich…

• Eine Funktion f(x₁,x₂,…x_n) nennt man homogen vom Grad k genau dann, wenn

f(tx₁,tx₂,…tx_n) = t^k f(x₁,x₂,…x_n)

– Wenn k = 1, führt eine Verdopplung aller Argumente zu einer Verdopplung des Wertes der Funktion.

– Wenn k = 0 fürt eine Verdopplung aller Argumente zu keiner Änderdung des Wertes der Funktion.

• Eine homothetische Funktion entsteht durch eine monotone Transformation einer homogenen Funktion.