5 Magnetische Resonanz
• Ein Spin-1/2 Teilchen befindet sich im homogenen Magnetfeld in z-Richtung:
Hˆ0= eg
2mBz Sˆz =: ω0Sˆz (14) Die Eigenzust¨ande sind | ±zimit den Eigenwerten Eσ =σ¯hω20 mitσ =±1.
• Wenn das System zur Zeit t = 0 im Zustand |ψi pr¨apariert wird, ist es zur Zeit t >0 im Zustand
e−ih¯t Hˆ |ψi
Die Wahrscheinlichkeit, daß sich das System zur Zeittim Eigenzustand|σibefindet
hσ|e−i¯ht Hˆ |ψi
2
=
e−i¯ht Eσ hσ|ψi
2
=
hσ|ψi
2
ist unabh¨angig von t.
• Um ¨Uberg¨ange zwischen den Niveaus zu erreichen, ben¨otigt man einen t-abh¨angigen Hamiltonoperator.
Hˆ0= eg
2mBz Sˆz + eg
2mBx cos(ωt) ˆSx =: ω0Sˆz + ω1 cos(ωt) ˆSx Die zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung lautet
i¯h∂
∂t|ψ(t)i= ˆH |ψ(t)i
Wir entwickeln den Zustand|ψ(t)i nach den Eigenzust¨anden |σi von ˆSz.
|ψ(t)i=X
σ
Cσ(t)|σi.
Die Schr¨odingergleichung geht ¨uber in
i∂
∂t
C+(t) C−(t)
= 1 2
ω0 ω1cos(ωt) ω1cos(ωt) −ω0
C+(t) C−(t)
.
• L¨osen Sie diese DGl numerisch mit NDSolve – Plotten Sie |hσ|ψ(t)i|2
diese Gr¨oße oszilliert mit der sogenannten Rabi-Frequenz Ω.
– Bestimmen Sie die Abh¨angigkeit der Rabi-Frequenz von ω,ω0 und ω1. – Plotten Sie die Amplitude der Oszillation als Funktion vonω.
9
