Synchronisation schwach gekoppelter Oszillatoren Teil 1: Theoretische Grundlagen

(1)

Synchronisation schwach gekoppelter Oszillatoren

Teil 1: Theoretische Grundlagen

Seminar: Physik in der Biologie

Raphael Engesser

(2)

In der Biologie: Oszillatoren von grundlegender Bedeutung:

• Herzschlag

• Neuronen

• Parkinson

• Lotka – Volterra

• Glühwürmchen

• …

Ein Oszillator ist ein dynamisches System mit

einem beschränkten periodischen Attraktor

(3)

Biologie: immer Dissipation und Fluktuation vorhanden

=> Es müssen aktive System sein (zB van der Pol) Hamiltonsche Systeme:

• klingen ab oder

• laufen aus dem Ruder

(4)

Grenzzyklen

Energie

x

Dissipation Von außen

zugeführte Energie

• Amplitude unempfindlich gg Störungen

(5)

Von Interessere:

• nicht die Ursache einer Oszillation

• sondern Wechselwirkungen (Kopplungen) zwischen einzelnen Oszillatoren

Mögliche Effekte:

• Schwebungen

• Chaos

(6)

Synchronisation

Anpassung der Frequenzen von periodisch

schwingenden, selbständigen Systemen (Oszillatoren) aufgrund einer schwachen Wechselwirkung

• frequency entrainment

• phase locking

(7)

gleichphasig gegenphasig

Konstante Phasendifferenz keine Synchronistation

(8)

Beispiel: Millennium Bridge in London

(9)

Synchronisation in der Biologie

• Herz

• Neuronen

• Glühwürmchen

• Tausendfüssler

• Grillen

• …

(10)

Entdeckung durch Christian Huygens (1629 – 1695)

(11)

Arten von Kopplungen:

a) Unidirektionale Kopplung

Bsp: getriebener linearer Oszillator Jahreszyklus der Bäume

b) Bidirektionale Kopplung

Bsp: Gekoppeltes Pendel (siehe AP I)

(12)

Kopplung von linearen Oszillatoren:

Beispiel:

Gekoppelte Federpendel (lineare Näherung)

Allg. Lösung: Überlagerung der Normalschwingungen Ф_gleichund Ф_gegen

X₁(t) = Ф_gleich + Ф_gegen X₂(t) = Ф_gleich - Ф_gegen

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• Schwebungen

• Maxima versetzt

(14)

Kopplung von nichtlinearen Oszillatoren

Beispiel:

Van-der-Pol Oszillator

• periodisches Störsignal

• unidirektionale Kopplung

) sin(

) 1

(

₁² ₂ ² ₁

2

2 1

t x

x x

x

x x













 



Störsignal

(15)

Van-der-Pol ohne Störsignal

mit μ = 3

(16)

(a) ε = 0, d.h. ohne Kopplung (b) ε = 0.24

Synchronisation eines periodisch getriebenen van-der-Pols

(17)

Das ganze bisschen mathematischer:

• Ein Oszillator ist ein dynamisches System

• Mit einem beschränktem periodischem Attraktor

• Periode T>0: kleinstes T für das gilt



m



 f x x x  ( ),



m

 

(18)

Phasenbeschreibung

• Beschreibung eines Oszillators durch nur eine Variable

• definiere Transformation

• Θ bildet Lösungen x(t) € R auf Ф(t) € S¹ ab

• Entspricht Parametrisierung des Grenzzyklus

S

1

:

(x(t)) 

 

(19)

Eigenschaften von Φ(t):

• Koordinate entlang des Grenzzyklus

• steigt monoton an

• bei einem Umlauf um den Grenzzyklus um 2π

• gleichförmige Bewegung gemäß:

T dt

d   2 

0



(20)

Phasenbeschreibung sinnvoll da:

• Störungen wirken sich nur auf Phase aus

• Grenzzyklus: Amplitude ist stabil

• System nur eindimensional

(21)

) ,

(

) ,

(

1 2

2 2

2 1

1 1

x x

p x

x f

x x

p x

x f

ε )

dt ( d

ε )

dt ( d









Betrachte zwei miteinander gekoppelte Oszillatoren:

Frage: Wie sieht Phasenbeschreibung aus?

(22)

Wegen Störungen muss man die Phase auch auf einer Umgebung des Attraktors definieren

1 1 1

( )

 _  dt

d x

1 2

1 1 1

1

( ) ( , )





 _ _  _ _ _ _ _ x

x f x x

dt  d

Ungestörter Oszillator auf Umgebung des Attraktors

Kettenregel

(23)

 

) ,

(

) ,

) ( (

2 1

1 1

1

2 1

1 1

x x

p

x x

p x

f x x





























 

ε

ε )

dt (

d 

 ⁽ ^), ⁽ ⁾ 

) ,

(

₁ ₂ ₁ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂

1

      p x  x 

h

mit Kopplung

definiere 2π-periodische Funktionen h_1,2

(24)

) ,

(

) ,

(

2 1

2 2

2 1

1 1

x x p

x x f

x x p x

x f

ε )

dt ( d

ε )

dt ( d









) ,

(

) ,

(

1 2 2 2 2

2 1 1 1 1



 



  dt εh d

dt εh d









Dynamische System:

lässt sich überführen in:

(25)

betrachte Störung auf dem Grenzzyklus:

) ,

(

₁ ₂

1



1

 

 εh

dt

d   

¹

_ 

₁

_ 

₁₂

⁽ 

₁

_ 

₂

⁾ dt H

d

(26)

) (

1 2

21 2

(2) 2

2 1

12 1

(1) 1



















 





 

H H

) (

und

) (

12 21

1

2

   































 



H H

H mit

H

(2) – (1) ergibt Phasendifferenz ΔФ = Ф₂ - Ф₁ man erhält neue Koordinate ΔФ:

(27)

Fixpunkte ΔФ´ = 0:

) (

0 



























H

Annahme: identischen Oszillatoren und WW )

( )

H(

und

1

0

2

  



        

 H

(28)

Stabilitätsanalyse:

• System: ΔФ´=εH(ΔФ)

• Fixpunkt ΔФ*

• Stabil wenn H´(ΔФ

^*

) < 0

(29)

Beispiel für H(Δφ) und H

₁₂

(Δφ ) bzw. H

₂₁

(Δφ)

Fixpunkt bei ΔФ = 0 stabil - gleichphasig

(30)

Adler Gleichung

Zur Veranschaulichung:

wähle für H(ΔФ) = sin(ΔФ)

 Adlergleichung:

)

( 





     

 H

) sin( 





     



(31)

)

(t



Adlergleichung – Lösungen für verschiedene ε

) sin( 





     



(32)

) ( 





     

 H

„Washboard“ - Potential

K x

V d H

dV         

    (  ) , v gl. klass. Mech : ( )



) cos(

) )(

( )

)(

( )

(

0





































^

 ^H ^x ^dx

V

Gleichung für Phasendifferenz

Rechte Seite als Potential:

V(ΔФ) ergibt sich mit H(ΔФ) = sin(ΔФ) als:

(33)

ΔФ

Untersuchung der Potentialgleichung:

) cos(

) )(

( )

(             V

ΔФ

(34)

Fall 1: Änderung der Frequenzen

(35)

(36)

Fall 2: Änderung der Kopplungsstärke ε

(37)

Arnold Tongues

(38)

Weiterführendes:

• unterschiedliche Oszillatoren

• mehr als zwei: Ketten, Gitter, ….

• höhere Ordnung von Synchronisation

• Phasendifferenz muss nur beschränkt sein

• stochastische Effekte

(39)

• Kommunikation von Systemen

• Ordnung bringen in Systeme

• Verringerung der Komplexitität

• Wenn Eigenfrequenzen ungefähr stimmen, reicht schon

• Bringt Stabilität in die Systeme

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Noch Fragen????