Teil 1 Mathematische Grundlagen

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Teil 1

Mathematische Grundlagen

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1.1 Aussagenlogik

Aussage und Axiom

Aussage: sprachlicher Ausdruck mit eindeutigem Wahrheitswert w (

”wahr“) bzw. f (

”falsch“) A : Beschreibung

Axiom: grundlegende nicht aus anderen Aussagen ableitbare Aussage Logische Operationen

Negation ¬A nicht A Konjunktion A∧B A und B Disjunktion A∨B A oder B Implikation A⇒B aus A folgtB

Aquivalenz¨ A⇔B A ist ¨aquivalent zu B

Umformungsregeln f¨ur logische Operationen Assoziativgesetze

(A∧B)∧C =A∧(B∧C), (A∨B)∨C =A∨(B∨C) Kommutativgesetze

A∧B =B∧A, A∨B =B∨A De Morgansche Regeln

¬(A∧B) = (¬A)∨(¬B), ¬(A∨B) = (¬A)∧(¬B) Distributivgesetze

(A∧B)∨C = (A∨C)∧(B∨C), (A∨B)∧C = (A∧C)∨(B∧C)

¨aquivalente Darstellung der Implikation: ¬A∨B Quantoren

Existenzquantor und Allquantor

∃:

”es gibt . . .“, ∀:

”f¨ur alle . . .“

Negation Vertauschung der Quantoren

¬ ∃p∈P : A(p)

= ∀p∈P : ¬A(p)

¬ ∀p∈P : A(p)

= ∃p∈P : ¬A(p)

Direkter Beweis

Herleitung einer Behauptung B aus bekannten wahren AussagenA A=⇒B

gegebenenfalls Ber¨ucksichtigung von Voraussetzungen

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Indirekter Beweis

Herleitung einer Aussage B aus Voraussetzungen V durch Folgern eines Widerspruchs aus der Annahme, dass die Aussage B bei G¨ultigkeit der Voraussetzungen V falsch ist:

V ∧(¬B) =⇒ F mit einer falschen Aussage F, insbesondereF =¬V oderF =B Vollst¨andige Induktion

Beweis von parameterabh¨angigen Aussagen A(n), n∈N

• Induktionsanfang: zeige A(1)

• Induktionsschluss: zeige A(n) =⇒ A(n+ 1)

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1.2 Mengen

Menge

Menge mit Elementen ak bzw. a

A={a1, a2, . . .}, A={a: a besitzt die EigenschaftE}

a ∈A a ist Element von A a /∈A a ist nicht Element von A A ⊆B (⊂) A ist (echte) Teilmenge von B

|A| Anzahl der Elemente in A

∅ leere Menge

nat¨urliche, ganze, rationale, relle und komplexe Zahlen N, Z, Q,R, C

Mengenoperationen

Vereinigung A∪B

Durchschnitt A∩B

Differenz, Komplement¨armenge A\B

Regeln f¨ur Mengenoperationen Assoziativgesetze

(A∩B)∩C =A∩(B∩C), (A∪B)∪C =A∪(B∪C) Kommutativgesetze

A∩B =B∩A, A∪B =B∪A De Morgansche Regeln

C\(A∩B) = (C\A)∪(C\B), C\(A∪B) = (C\A)∩(C\B) Distributivgesetze

(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C), (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)

Kartesisches Produkt

geordnete Paare von Elementen zweier Mengen

A×B ={(a, b) : a∈A∧b ∈B} n-Tupel: (a1, . . . , an)∈A1× · · · ×An

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Relation

Beziehung zwischen Elementen zweier Mengen

aRb ⇔(a, b)∈R⊆A×B

Eigenschaften von Relationen

reflexiv (a, a)∈R

symmetrisch (a, b)∈R ⇒(b, a)∈R

antisymmetrisch (a, b)∈R∧(b, a)∈R⇒a =b transitiv (a, b)∈R∧(b, c)∈R ⇒(a, c)∈R total (a, b)∈R∨(b, a)∈R

Aquivalenzrelation (a¨ ∼b): reflexiv, symmetrisch und transitiv Partition der Grundmenge in disjunkte ¨Aquivalenzklassen Halbordnung (a≤b): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Ordnung: zus¨atzlich total

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1.3 Abbildungen

Abbildung

eindeutige Zuordnung

f :A−→B, a7→b=f(a) Bild: f(U), Urbild: f⁻¹(V)

Eigenschaften von Abbildungen injektiv

∀a6=a⁰ ∈A : f(a)6=f(a⁰) surjektiv

∀b∈B∃a∈A: f(a) = b bijektiv: injektiv und surjektiv

Verkn¨upfung von Abbildungen

Hintereinanderschaltung von f :A→B und g :B →C

a7→(g◦f)(a) =g(f(a)) assoziativ aber i.a. nicht kommutativ

Inverse Abbildung

Umkehrung f⁻¹ einer bijektiven Abbildung f :A→B

b =f(a)⇔a=f⁻¹(b)

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1.4 Kombinatorik

Fakult¨at

Anzahl der Permutationen von n Elementen

n! = 1·2· · ·n Stirlingsche Formel

n! =√

2πnn e

n

1 +O(1/n)

Binomialkoeffizient

Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen n

k

= n!

(n−k)!k! = n(n−1)(n−2)· · ·(n−k+ 1) 1· · ·(k−2)(k−1)k

Pascalsches Dreieck

Rekursion f¨ur Binomialkoeffizienten

n+ 1 k

= n

k−1

+ n

k

Dreiecksschema

0

k

1

k

1 1

2

k

1 2 1

3

k

1 3 3 1

&+. &+. &+.

4

k

1 4 6 4 1

... ... ...

Binomischer Satz

(a+b)ⁿ = aⁿ+ n

1

aⁿ⁻¹b+· · ·+ n

n−1

abⁿ⁻¹+bⁿ

= Xn

k=0

n k

a^n−kb^k

Identit¨aten f¨ur Binomialkoeffizienten

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2ⁿ = Xn

k=0

n k

0 = Xn

k=0

n k

(−1)^k, n ≥1 n

k

= Xk

i=0

n−k−1 +i i

, k < n n

k

=

n−k

X

i=0

k−1 +i k−1

, k >0

Auswahl von Teilmengen

Anzahl der M¨oglichkeiten, aus einer Menge mit n verschiedenen Elementen k Elemente auszuw¨ahlen nicht sortiert sortiert

ohne Wiederholungen n(n−1)· · ·(n−k+ 1)

n k

mit Wiederholungen n^k

n+k−1 k

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1.5 Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen

imagin¨are Einheit: i² =−1

C={z =x+ iy, x, y ∈R}

Real- und Imagin¨arteil

x= Rez, y= Imz

Komplexe Konjugation konjugiert komplexe Zahl

¯

z =x−iy vertr¨aglich mit den arithmetischen Operationen

z₁◦z₂ = ¯z₁◦z¯₂, ◦= +,−,∗, /

Betrag komplexer Zahlen

|z|=p

x²+y² =√ zz¯ Positivit¨at

|z| ≥0, |z|= 0⇐⇒z = 0 Multiplikativit¨at

|z1z2|=|z1| |z2|, |z1/z2|=|z1|/|z2|, z2 6= 0 Dreiecksungleichung

|z1| − |z2|≤ |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

Formel von Euler-Moivre

cost+ i sint = exp(it), t∈R

Sinus und Kosinus: Real- und Imagin¨arteil komplexer Zahlen mit Betrag 1

cost = Re e^it = 1

2 eît+ e⁻ît sint = Im eît= 1

2i e^it−e⁻^it

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Gaußsche Zahlenebene

|z|

z=x+ iy

z=x−iy x

y

Re(z) Im(z)

z=re^iϕ

z=re⁻^iϕ Re(z) Im(z)

r

ϕ

−ϕ

Darstellung in Polarkoordinaten

z =r(cosϕ+ i sinϕ) = rexp(iϕ) mit

r =|z|=p

x²+y², ϕ= arg(z) = arctany/x+σπ σ = 0 f¨ur x≥0,σ =±π f¨ur x <0 Standardbereichϕ∈(−π, π]

z 1 −1 ±i 1±i √

3±i 1±√ 3i

r 1 1 1 √

2 2 2

ϕ 0 π ±π/2 ±π/4 ±π/6 ±π/3

Multiplikation komplexer Zahlen

zk =xk+ iyk =rkexp(iϕk)

z1z2 = (x1x2−y1y2) + (x1y2+x2y1)i = r1r2exp(i(ϕ1+ϕ2))

Division komplexer Zahlen zk =xk+ iyk =rkexp(iϕk)

z1

z2

= x1x2+y1y2

x²₂+y₂² +x2y1−x1y2

x²₂+y²₂ i = r1

r2

exp(i(ϕ1−ϕ2))

Kehrwert

1 z = 1

r²z¯= 1

r exp(−iϕ) = x r² − y

r² i

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Komplexe Einheitswurzeln zⁿ = 1

zk =w^k_n, wn = exp(2πi/n), k = 0, . . . , n−1

Re z Im z

w

_n⁰

= 1 w

_n¹

w

_nⁿ⁻¹

Potenzen einer komplexen Zahl ganzzahlige Exponenten m ∈Z

z^m =r^me^imϕ, z =re^iϕ rationale Exponenten p/q ∈Q

z^p/q =r^p/qexp (ipϕ/q)w_q^kp, k = 0, . . . , q−1 mit w^k_q = exp (2πi/q)^k den q-ten Einheitswurzeln

Kreis in der Gaußschen Zahlenebene

|z−a|=s|z−b|, s6= 1 Mittelpunkt

w= 1

1−s²a− s² 1−s²b Radius

r= s

|1−s²||b−a| Parameterform des Kreises

w+re^it, t∈[0,2π)