Analysis 1 10. Übung

Analysis 1 10. Übung

Prof. Dr. B. Kümmerer Fachbereich Mathematik

W. Reußwig, K. Schwieger 12. Januar 2011

Anwesenheitsübungen Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Folgen konvergieren. Argumentieren Sie sorgfältig mit Hilfe der Definition einer konvergenten Folge:

a_n:= 3n+1

n , b_n:= n²−2n+1

n³+3n .

Aufgabe 2

Eine reelle Folge (a_n)n∈N heißt beschränkt, falls es eine Zahl M ∈ R gibt, so dass |a_n| ≤ M für allen∈Ngilt. Zeigen Sie:

a) Jede konvergente Folge ist beschränkt.

b) Sei (a_n)n∈N eine beschränkte Folge und (b_n)n∈N eine Nullfolge. Dann ist auch die Folge (c_n)_n∈N mitc_n:=a_n·b_n eine Nullfolge.

Aufgabe 3

a) Zeigen Sie, dass durch

kxk1:= Xn

k=1

x_k

eine Norm aufRⁿgegeben ist. Diese Norm heißt auch1-NormoderManhattan-Norm.

b) Zeigen Sie, dass durch

kxk_∞:=max

|x_k|:k=1, . . . ,n

eine Norm aufRⁿgegeben ist. Diese Norm heißt auchMaximumsnorm.

Die 2-Normoder euklidische Norm kxk2 := Pn

k=1|x_k|²1/2

auf Rⁿ kennen Sie bereits aus der Vorlesung.

c) Skizzieren Sie im R²die Einheitskugeln {x ∈R²:kxkp≤1}für p=1, 2,∞.

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Hausübungen Aufgabe 35

Zeigen Sie, dass die Folge(a_n)_n∈Nmita_n:= (−1)ⁿnicht konvergiert. Schreiben Sie Ihren Beweis besonders sorgfältig auf.

Aufgabe 36

a) Zeigen Sie: Sind (a_n)n∈N und(b_n)n∈N konvergente, reelle Folgen, so ist auch die Produkt- folge(c_n)_n∈N mit c_n:=a_n·b_nkonvergent, und es gilt

n→∞lim(a_n·b_n) = (lim

n→∞a_n)·(lim

n→∞b_n).

Hinweis: Sie dürfen Aufgabe 2a) der Anwesenheitsübungen verwenden.

b) Finden Sie zwei reelle Folgen (a_n)n∈N und (b_n)n∈N, die jeweils nicht konvergieren, aber deren Produkt(c_n)_n∈Nkonvergiert.

c) Sei (a_n)n∈N eine konvergente, reelle Folge mit Grenzwert a. Untersuchen Sie die Folge (b_n)_n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert:

b_n:=a²³_n +15a_n¹⁰+a²_n.

Aufgabe 37

a) Sei (an)n≥1 eine konvergente reelle Folge mit Grenzwert a. Zeigen Sie, dass die Folge (b_n)n≥1 mit

b_n:= ¹_n(a₁+· · ·+a_n) (1) ebenfalls gegen akonvergiert.

b) Gibt es eine Folge(a_n)n≥1, die selbst nicht konvergiert, für welche aber die Folge(b_n)n≥1

aus (1) konvergiert?

Aufgabe 38 Zusatzaufgabe

Betrachten Sie noch einmal Aufgabe 3 aus den Anwesenheitsübungen. Man kann zeigen, dass für jedes p≥1durch

kxkp:=Xⁿ

k=1

x_k

p1/p

(2) eine Norm aufRⁿgegeben ist. (Den Beweis wollen wir hier nicht führen.)

a) Skizzieren Sie imR² die Einheitskugeln{x∈R²:kxkp≤1}für verschiedene Werte von p.

b) In welchem Sinn ist die Maximumnormk·k_∞ ein „Grenzwert“ der Normenk·kp? (Dadurch wird auch die Notationk·k_∞gerechtfertigt.)

c) Skizzieren Sie die Menge {x∈R²:kxkp≤1}für einige Werte p<1. Zeigen Sie, dassk·kp

für p<1keine Norm aufRⁿmit n≥2ist.

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