Theoretische Physik I: ¨ Ubungen Blatt Nr. 8 26.11.2013
[ Besprechung 4.12 - 6.12 in den ¨Ubungen ]
[ ¨U: Mi 14-16 (D01-249); Do 16-18 (D01-249), Fr 8-10 (S2-143), 10-12 (D01-249), 12-14 (F1-125, V3-204)]
Aufgabe 26: Kanonische Transformationen f¨ur s=1
(a) Zeigen Sie, dass detM ={Q, P}qp = 1 aus MTJ M =J folgt.
(b) Welche der folgenden Phasenraumtransformationen(Q(q, p), P(q, p))sind kanonisch (d.h. MTJ M =J)?
(p, q); (p,−q);
pq2,1
q
; (lnp,−qp);
arctan
q p
,q2 +p2 2
(c) F¨ur welche Werte von a, bist (Q=qacos(bp), P =qasin(bp))kanonisch?
Aufgabe 27: Kanonische Transformation f¨ur s=2
(a) Beweisen Sie, dass folgende Transformation kanonisch ist p1 =p
k1P1sinQ1+p
k2P2sinQ2, p2 =p
k1P1sinQ1−p
k2P2sinQ2, q1 =−
rP1
k1 cosQ1− rP2
k2 cosQ2, q2 =− rP1
k1 cosQ1+ rP2
k2 cosQ2. (b) L¨osen Sie mit der Transformation aus Teil (a) die Bewegungsgleichungen f¨ur
H = 1 2p21+1
2p22 +k12
4 (q1+q2)2+k22
4 (q1−q2)2.
Aufgabe 28: Phasenraum
Ein Massenpunkt in einer Dimension mit Koordinate x bewege sich im Potential
V(x) =
(+ax f¨ur x≥0,
−bx f¨ur x <0, a, b≥0.
(a) Leiten Sie die Hamilton-Funktion und die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen her. Bestimmen Sie die Periode T(E)der Bewegung als Funktion der Energie E (hierbei seien a, b > 0).
(b) Skizzieren Sie das Potential und die Phasenraumtrajektorien. F¨ur letztere betrachten Sie vier ver- schiedene F¨alle: a=b= 1; a= 2b= 2;a =∞ und b= 1;a = 0 und b= 1.
Aufgabe 29: Lorentz-Transformation
Ein Stab der Ruhel¨ange L0 schließt in seinem Ruhesystem Σ0 mit der x0-Achse den Winkel θ0 ein. Σ0 bewegt sich bzgl. Σmit der Geschwindigkeit~u=u~ex. Welche Stabl¨angeL und welchen Winkelθ zurx-Achse misst der Beobachter in Σ?
