3 Die geometrische Reihe

Handout - Die Sätze von Legendre und Tchebycheff

Marina Gertner 26.04.2018

1 Der Binomische Lehrsatz

Seien aundb reelle Zahlen undneine natürliche Zahl. Dann ist (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

( n

k

)a^n−kb^k

mit den Binomialkoeffizienten n

i

= n!

i!·(n−i)! fur¨ 0≤i≤n.

2 Gauß-Klammer

Die Gauß-Klammer bxc ∈Z von x∈Rist definiert durch bxc= max{n∈Z:n≤x}.

3 Die geometrische Reihe

Seiq ∈Rgegeben. Man betrachte die zur geometrischen Folge (qⁿ)n∈N0

gehörende Reihe

∞

X

n=0

qⁿ= lim

k→∞

k

X

n=0

qⁿ.

Diese wird geometrische Reihe zu q gennant.

Summenformel für die endliche geometrische Reihe:

Fürq ∈R,q 6= 1und n∈N0 gilt

n

X

k=0

q^k= 1−qⁿ⁺¹ 1−q .

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4 Die p-adische Darstellung

Definition. Sein∈ Nundp eine Primzahl. Dann ist eine Darstellung der Form

n=n_kp^k+nk−1p^k−1+...+n₁p+n₀ =

k

X

i=0

n_ipⁱ

mit ep(n) für a, b ∈N\{0}n_i ∈ {0, ..., p−1} und nk 6= 0 eine p-adische Darstellung von n und wir schreiben

n= (nk...n0)p.

Theorem. Seip∈P. Dann hat jedesn∈N\ {0} eine eindeutigep-adische Darstellung.

5 Der Satz von Legendre

Es sei n∈Nund p eine Primzahl. Ferner sei

n=a₀+a₁p+a₂p²+...+a_rp^r (mit r=

log n log p

)

die p-adische Zifferndarstellung von n und s_p(n) := a₀ +a₁ +a₂+...+a_r die p-adische Quersumme vonn. Dann gilt für den Exponente_p(n!)des Primfaktorspin der kanonischern Primfaktorzerlegung vonn!

e_p(n!) = n−s_p(n) p−1 .

Anmerkung. Für das Rechnen mitep(n) gelten folgende Regeln

ep(a·b) =ep(a) +ep(b) (1) ep(a

b) =ep(a)−ep(b) (2)

für a, b∈N\{0} .

6 Der Satz von Tchebycheff

Der Satz von Tchebycheff liefert die Möglichkeit die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl x anzunähern. Die genaue Anzahl wird alsπ(x) bezeichnet.

Für x ≥2gilt mit a= ¹₄log 2 undA= 6 log 2 a· x

logx < π(x)< A· x logx.

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