Prof. Dr. M. Schulze und R. Epure Sommersemester 2018

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Prof. Dr. M. Schulze und R. Epure Sommersemester 2018

Grundlagen der Mathematik I Blatt 11

Abgabetermin: Montag, 02.07.2018, 10:00 Uhr

Aufgabe 43. Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräu- me?

(a) U

1

:=

(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

³

| x

1

= 3x

2

= 3x

3

⊂ R

³

. (b) U

₂

:=

(x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

) ∈ R

⁴

| x

²₁

+ x

⁴₂

+ x

⁶₃

+ x

⁸₄

= 0 ⊂ R

⁴

. (c) U

3

:=

(µ + λ, λ

²

) ∈ R

²

| µ, λ ∈ R ⊂ R

²

.

(d) U

₄

:= {f ∈ Abb( R , R ) | f (x + 2π) = f(x) für alle x ∈ R } ⊂ Abb( R , R ).

Beweisen Sie ihre Behauptung!

Aufgabe 44. Sei K ein Körper und k ∈ N

≥2

. Zeigen Sie, dass für einen endlich erzeugten K - Vektorraum V und für Untervektorräume U

₁

, . . . , U

_k

≤ V folgende Bedingungen äquivalent sind:

(a) V = U

1

⊕ . . . ⊕ U

k

(b) V = U

₁

+ . . . + U

_k

und aus u

₁

+ . . . + u

_k

= 0, u

_i

∈ U

_i

, folgt u

_i

= 0 für alle i = 1, . . . , k.

(c) V = U

₁

+. . . + U

_k

und U

_i

∩

U

₁

+. . . + U

_i−1

+U

_i+1

+. . . + U

_k

= {0} für alle i = 1, . . . , k.

(d) V = U

1

+ . . . + U

k

und U

i

∩

U

i+1

+ . . . + U

k

= {0} für alle i = 1, . . . , k.

(e) V = U

₁

+ . . . + U

_k

und dim(V ) = dim(U

₁

) + . . . + dim(U

_k

).

Aufgabe 45. Bestimmen Sie Basen und Dimensionen folgender Untervektorräume:

(a) U

₁

:=

(x

₁

, x

₂

, x

₃

) ∈ R

³

| x

₁

= x

₃

≤ R

³

.

(b) U

2,d

:= V

d

≤ Abb( R , R ) für beliebige d ∈ N . (vgl. Aufgabe 42)

(c) U

3

:= {f ∈ Abb( R , R ) | f (x) = 0 bis auf endlich viele x} ≤ Abb( R , R ).

Beweisen Sie ihre Behauptung!

Aufgabe 46. Im folgenden seien V und W K -Vektorräume und f : V → W eine lineare Abbildung.

(a) Wir denieren den Kokern als Coker(f ) := W/ Im(f). Zeigen Sie, dass f genau dann surjektiv ist, wenn Coker(f ) = 0.

(b) Sei W = V und U ≤ V ein Untervektorraum. Zeigen Sie, dass f (U ) ⊂ U genau dann gilt,

wenn f : V /U → V /U, x 7→ f (x) eine lineare Abbildung deniert.