PVK Physik I & II

10.07.2017 – 18.07.2017

PVK Physik I & II

Elçin Külah

Solid State Physics Laboratory HPF E 19, Otto-Stern-Weg 1

CH-8093 Zurich

Phone ++41 44 633 43 26 E-Mail: ekuelah@phys.ethz.ch

• Das Photon

• Materiewellen

• Energieniveaus

Welle-Teilchen Dualismus

• Das Atom

• Absorption und Emission von Licht

Atomphysik

• Festkörper

• Elektronische Leitfähigkeit von Festkörpern

• Halbleiter

• Supraleiter

Festkörperphysik

Physik II

• Elektrische Felder

• Potential und Spannung

• Dielektrika

• Elektrischer Strom

• Magnetfelder

• Magnetismus

• Magnetische Induktion

• Maxwell’sche Gleichungen Elektrizität

• Magnetfelder

• Eigenschaften des Magnetismus

• Magnetische Induktion

• Maxwell’sche Gleichungen

Magnetismus

Physik I

• Grundlagen der Wellenlehre

• Reflexion und Transmission

• Stehende Wellen

• Akustische Wellen

• Elektromagnetische Wellen Licht und Wellen

• Brechung

• Polarisation

• Interferenz

• Beugung 1

Physik I

2

Physik I – Elektrizitätslehre Ladung Coulomb-Gesetz

Ladung [Q] = 1 Coulomb = 1 C = 1 As

und wobei Abstossung resp. Anziehung

Es gibt:

Können weder erzeugt noch vernichtet werden, nur getrennt

Elementarladung e: kleinstmögliche Einheit der Ladung (Elektronen & Protonen tragen je ein e)

1 𝑒𝑒 = 1.602 � 10⁻¹⁹ 𝐶𝐶

(Kraft)Wirkung von Ladungen ist kugelsymmetrisch

Heutiger Stand: keine Existenz von Ladungen ohne Masse (aber Masse ohne Ladung)

• Betrachte 2 Ladungen 𝑄𝑄₀ und 𝑄𝑄₁im Abstand von 𝑟𝑟₀ resp. 𝑟𝑟₁ von einem Bezugspunkt 0: Q₁

0 Q₀

r₀

r₁

Üben eine Kraft aufeinander  „Coulomb-Kraft“:

⃗𝐹𝐹 = 1

4πε₀𝑄𝑄₀𝑄𝑄₁ ⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟₁

⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟₁ ³ = 1

4πε₀𝑄𝑄₀𝑄𝑄₁ ⃗𝑒𝑒_𝑟𝑟 𝑟𝑟² Coulomb`sches Gesetz

mit

⃗𝑒𝑒_𝑟𝑟= ^(⃗𝑟𝑟_⃗𝑟𝑟^{0− ⃗𝑟𝑟1)}

0− ⃗𝑟𝑟₁ der Einheitsvektor

⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟₁ der Abstand der Ladungen

1

4πε₀ ≈ 8.988 x 10⁹ Nm²

𝐶𝐶² die Kraftkonstante

3

• Mehrere Ladungen  Superpositionsprinzip (Addition der Kraftwirkung der Ladungen)

⃗𝐹𝐹 = 𝑄𝑄₀

4πε₀ ∗ �

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉^𝐼𝐼 ∗ 𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 ∗ ⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼

⃗𝑟𝑟₀ −⃗𝑟𝑟^{𝐼𝐼 3}

 Allgemeines Coulombgesetz: für N Ladungen gilt:

⃗𝐹𝐹 = 𝑄𝑄₀

4πε₀�

𝑖𝑖=1 𝑁𝑁

𝑄𝑄_𝑖𝑖 ⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟_𝑖𝑖

⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟_𝑖𝑖 ³

• Zudem: Coulombkraft für kontinuierliche Ladungsverteilung:

mit

𝜌𝜌 die (Volumen)Ladungsdichte, [𝜌𝜌] = 1 C_𝑚𝑚3

Integration über Volumen

Integrationsvariable mit einem „Strich“ oben versehen

Hier also: Integration über ein 3-dimensionales Volumen V mit Integrationsvariable ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼

Physik I – Elektrizitätslehre Coulomb-Gesetz

Allgemeines Coulombgesetz

4

•

Physik I – Elektrizitätslehre Elektrisches Feld

𝐸𝐸 = ⃗𝐹𝐹(⃗𝑟𝑟₀)

𝑄𝑄₀ [𝐸𝐸] = 1 N

𝐶𝐶 =1 _𝑚𝑚^𝑉𝑉 D.h., elektrisches Feld entspricht der (Coulomb)Kraft, die auf eine Einheitsladung 𝑄𝑄₀ = 1 𝐶𝐶 am Ort ⃗𝑟𝑟₀ wirkt.

• Für

Diskrete Ladungsverteilung:

Kontinuierliche Ladungsverteilung:

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟₀ = �

𝑖𝑖=1 𝑁𝑁

𝐸𝐸_𝑖𝑖 ⃗𝑟𝑟₀ = 1

4πε₀�

𝑖𝑖=1 𝑁𝑁

𝑄𝑄_𝑖𝑖 ⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟_𝑖𝑖

⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟_𝑖𝑖 ³

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟₀ = 1

4πε₀ ∗ �

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉^𝐼𝐼𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 ⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼

⃗𝑟𝑟₀ −⃗𝑟𝑟^{𝐼𝐼 3}

5

• Betrachte eine an einem bestimmten Raumpunkt messbare Kraft  sog.

„Feldstärke“ (gibt also Grösse der Kraft an, die das Feld auf Ladung(en) ausübt)

• Ein Objekt bewege sich aufgrund dieser Kraft  Bahnbewegung  sog.

„Feldlinie“

• Es gilt: Feldkraft immer tangential zur Feldlinie (siehe Abb.1) & Feldlinie zeigt an, in welche (räumliche) Richtung die Kraft wirkt

Physik I – Elektrizitätslehre Feldlinien

Abbildung 1

Bsp.: Elektrisches Feld (Vektorfeld)

Für Feldlinien (auch Kraftlinien) gilt:

o Schneiden sich nie

o Zeigen entlang der Richtung des elektrischen Feldes

o Haben immer einen Anfang (Quelle, positive Ladung(en)) und ein Ende (Senke, negative Ladung(en))

o Dichte der Feldlinien (Anzahl Feldlinien pro

Einheitsfläche) ist proportional zur elektrischen

Feldstärke  je weiter sie voneinander liegen, desto schwächer das Feld (und umgekehrt)

6

„Quelle“ „Senke“

• Zwei Ladungen gleichen Betrages 𝑄𝑄 , im Abstand d voneinander & umgekehrtem Vorzeichen:

• Gesamtladung eines Dipols ist Null  ladungsneutral

Physik I – Elektrizitätslehre Elektrischer Dipol

d

„Dipol“

 Feldlinien:

 Allgemein lautet das elektrische Feld eines (statischen) Dipols am Ort 𝒓𝒓 (im Fernfeld !):

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 ≈ −𝛻𝛻 1 4πε₀

⃗𝑝𝑝 � ⃗𝑟𝑟

⃗𝑟𝑟 ³ = 1

4πε₀

3(⃗𝑝𝑝 � ⃗𝑟𝑟)⃗𝑟𝑟

⃗𝑟𝑟 ⁵ − ⃗𝑝𝑝

⃗𝑟𝑟 ³ Gradient des elektrostatischen Potentials

mit ⃗𝑝𝑝 = 𝑄𝑄 � 2 ⃗𝑑𝑑

[ ⃗𝑝𝑝] = 1 Debye = 3.335 x 10^-30 Cm

elektrisches Dipolmoment

(Im Fernfeld fällt das elektrische Feld eines Dipols mit r³ ab, wobei r der Abstand ist.)

7

Physik I – Elektrizitätslehre Kraft auf elektrischen Dipol

• Dipol in einem äusseren (nicht vom Dipol selbst erzeugtes E-Feld!) elektrischen Feld 𝐸𝐸0

 Kraftwirkung auf den Dipol

 Drehmoment M des Dipols  richtet sich entlang der Feldlinien

𝑀𝑀 = ⃗𝑝𝑝 × 𝐸𝐸₀

Potentielle elektrostatische Energie E_el eines elektrischen Dipols im äusseren Feld: E_el = − ⃗𝑝𝑝 � 𝐸𝐸₀ Orientierungsabhängig, d.h.:

Dipol entlang 𝐸𝐸0  Energie minimal Dipol antiparallel 𝐸𝐸0  Energie maximal

8

+Q

-Q P

⃗𝐹𝐹₋ 𝐸𝐸0

2 ⃗𝑑𝑑 ⃗𝐹𝐹₊

Physik I – Elektrizitätslehre Elektrischer Fluss

Elektrischer Fluss

[Φ_𝐸𝐸] = 1 Nm² 2-dimensionale 𝐶𝐶

Integration über Fläche A

Φ

= ∫

𝐸𝐸( ⃗𝑟𝑟

) � d ⃗𝐴𝐴

Flächennormale

Elektrische Fluss ist proportional zur Anzahl Feldlinien, die durch die Fläche A hindurchgehen.

Bemerkung: im homogenen E-Feld gilt einfach Φ_𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 � ⃗𝐴𝐴

9

Physik I – Elektrizitätslehre Gesetz von Gauss

Gesetz von Gauss

�

𝐴𝐴

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟

� d ⃗𝐴𝐴

= 𝑄𝑄 ε

Fluss durch geschlossene Oberfläche A (gleichzeitig Oberfläche eines Volumens V) ist proportional zur eingeschlossenen Ladung Q

Integration über eine geschlossene Fläche A

Speziell: falls Anzahl Feldlinien hinein = Anzahl Feldlinien hinaus!  Q = 0

• Gauss für

Ladungsverteilung:

Diskrete Verteilung

Kontinuierliche Verteilung

�

𝐴𝐴

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟

� d ⃗𝐴𝐴

= 1

ε

�

𝑖𝑖=1 𝑁𝑁

𝑄𝑄

�

𝐴𝐴

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟

� d ⃗𝐴𝐴

= 1 ε

�

𝑉𝑉

𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟

𝑑𝑑𝑉𝑉

10

Physik I – Elektrizitätslehre Satz von Gauss / Gesetz von Gauss in Differentialform

Nun: Satz von Gauss (Achtung: ist nicht dasselbe wie Gesetz von Gaus !! Auch Mathematik: Gaußscher Integralsatz, Satz von Gauß-Ostrogradski)

�

𝐴𝐴

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟

� d ⃗𝐴𝐴

= �

𝑉𝑉

𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟

𝑑𝑑𝑉𝑉

= 1 ε

�

𝑉𝑉

𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟

𝑑𝑑𝑉𝑉

Satz von

Gauss

𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 = 𝜌𝜌

ε

Dierentialform des Gesetzes von Gauss

„Die in einem Volumen eingeschlossene Gesamtladung ist proportional zur Differenz der Anzahl hinauslaufenden minus der Anzahl hineinlaufenden Feldlinien.“

Fall: Q = 0  „Falls die Anzahl Feldlinien, die in ein Volumen hineingehen gleich der Anzahl Feldlinien ist, die aus dem Volumen herausführen, so ist die eingeschlossene Gesamtladung gleich Null.“

11

Physik I – Elektrizitätslehre Coulombgesetz Gesetz von Gauss

�

𝐴𝐴

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟

� d ⃗𝐴𝐴

= 𝐸𝐸 �

𝐴𝐴

d ⃗𝐴𝐴

= 𝐸𝐸 � 4𝜋𝜋𝑟𝑟

= 𝑄𝑄 ε

Coulombgesetz und Gesetz von Gauss sind gleichwertig ! Punktladung Gauss Fläche um Punktladung

r Wegen Kugelsymmetrie sofort:

𝐸𝐸 = E = const. auf Oberfläche, 𝐸𝐸 = E � ⃗𝑒𝑒_𝑟𝑟

𝐸𝐸 𝑟𝑟 = 𝑄𝑄

4𝜋𝜋ε

𝑟𝑟

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 = 𝑄𝑄

4𝜋𝜋ε

⃗𝑒𝑒

𝑟𝑟

12

Physik I – Elektrizitätslehre Elektrostatische Energie/Potential/Spannung

• Ladung im E-Feld soll von A nach B verschoben

werden

A Q

B

Hierzu muss Arbeit aufgebracht

werden

(„Kraft mal Weg“)

Integration nur abhängig von Anfangs- und

Endpunkt, NICHT vom Weg selbst. Gültig da hier ein konservatives Feld vorhanden ist!

Elektrostatische Energie

Bemerkung: im homogenen E-Feld gilt einfach:

𝐸𝐸_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = − �

⃗𝑟𝑟₁

⃗𝑟𝑟₂

⃗𝐹𝐹 ⃗𝑟𝑟 𝑑𝑑⃗𝑟𝑟 = − �

⃗𝑟𝑟₁

⃗𝑟𝑟₂

𝑄𝑄𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 𝑑𝑑 ⃗𝑟𝑟 elektrostatische Kraft

• (Elektrische) Spannung:

• (Elektrisches) Potential:

U_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = ^𝐸𝐸_𝑄𝑄^{𝑒𝑒𝑒𝑒} = − ∫_⃗𝑟𝑟

1

⃗𝑟𝑟₂

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 𝑑𝑑 ⃗𝑟𝑟 ^[U] = 1 Volt = 1 V = 1 ^𝐽𝐽

𝐶𝐶

Φ ⃗𝑟𝑟 = − �

∞

⃗𝑟𝑟

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 𝑑𝑑 ⃗𝑟𝑟 Für kontinuierliche Ladungsverteilung gilt:

Φ ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 = 1

4πε₀ �

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉^𝐼𝐼 𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼

⃗𝑟𝑟 −⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 𝐸𝐸_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = −𝑄𝑄𝐸𝐸 � (⃗𝑟𝑟₂ − ⃗𝑟𝑟₁)

13

Physik I – Elektrizitätslehre Poisson-Gleichung

sog. Poisson-Gleichung

𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟

ε

= − ∆ Φ ⃗𝑟𝑟

Bisher allg: Annahme einer Ladungsverteilung  Bestimmung elektrisches Feld und Potential Nun vice versa: man kann aus E-Feld und U die Ladungsverteilung bestimmen:

𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟

ε

= 𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 = −𝛻𝛻 � 𝛻𝛻 Φ ⃗𝑟𝑟 = −𝛻𝛻

Φ ⃗𝑟𝑟 = −∆ Φ ⃗𝑟𝑟 = − 𝜕𝜕

Φ

𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕

Φ

𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕

Φ

𝜕𝜕𝜕𝜕

14

Physik I – Elektrizitätslehre Leitende Körper

• Leitender Körper im E-Feld  (Um)Gruppierung der Oberfächenladungen so, dass elektrisches Feld im Innern ausgeglichen wird (im Inneren selbst keine Ladungen vorhanden!)

• E-Feld auf der Oberfläche steht senkrecht zur Oberfläche

• Potential über einen leitenden Körper ist konstant  Oberfläche = Äquipotentialfläche

Randbedingungen

für Oberfläche: mit

𝑛𝑛 der Normalenvektor der Oberfläche 𝜎𝜎 ⃗𝑟𝑟 die Oberflächenladungsdichte

⃗𝑟𝑟 alle Ortsvektoren auf der Oberfläche

𝑛𝑛 � ^{⃗𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟} = 𝜎𝜎 ⃗𝑟𝑟 ε

𝑛𝑛 × 𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 = 0 Φ ⃗𝑟𝑟 = Φ

= const.

16

Physik I – Elektrizitätslehre Influenz

Influenz := räumliche Verschiebung elektrischer Ladungen durch Einwirkung eines elektrischen Feldes Bsp.:

17

Physik I – Elektrizitätslehre Vergleich nicht-leitender / leitender Körper

Homogen geladene, nicht-leitende Kugel Homogen geladene, leitende Kugel

Ladungsträger sind mit konst.

Ladungsdichte ρ im ganzen Kugelvolumen verteilt

Ladungsträger sind mit konst.

Ladungsdichte ρ auf ganzer Kugeloberfläche verteilt

15

Physik I – Elektrizitätslehre Prinzip der Spiegelladung

Bisher: Poisson-Gleichung & Randbedingungen (Seite 14 & 16) liefern eindeutig E-Feld von geladenen, leitenden Körpern

Jedoch: Feldverteilung meist nur numerisch möglich

 Lösung für Punktladungen in Nähe leitender Körper: sog. Prinzip der "Spiegelladung"

Probeladung induziert auf einem elektrischen Leiter eine Flächenladung, die dasselbe Feld generiert wie eine spiegelbildliche

Probeladung mit

entgegengesetztem Vorzeichen. Im Falle mehrerer Probeladungen überlagern sich die Flächenladungen gemäss dem Superpositionsprinzip.

18

Physik I – Elektrizitätslehre Kondensator

Bsp.: Plattenkondensator • Zwei Leiter, die sich in Nähe zueinander befinden: beide tragen gleich grosse, aber entgegengesetzte Ladung  ladungsneutral

• E-Feld im Inneren homogen (positionsunabhängig) E-Feld zwischen den Platten:

𝐸𝐸 = +𝜎𝜎

2ε₀ +𝑛𝑛 + −𝜎𝜎

2ε₀ −𝑛𝑛 = 𝜎𝜎

ε₀ 𝑛𝑛 = 𝑄𝑄 𝐴𝐴ε₀ 𝑛𝑛 Spannung über Platten:

𝑈𝑈 = 𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 = 𝜎𝜎

ε₀ � 𝑑𝑑 = 𝑄𝑄𝑑𝑑 𝐴𝐴ε₀ Kapazität: 𝐶𝐶 = 𝑄𝑄

𝑈𝑈 = 𝐴𝐴ε₀

𝑑𝑑 mit [C] = 1 ^𝐶𝐶_𝑉𝑉 = 1 Farad = 1 F

19

Physik I – Elektrizitätslehre Energie im Kondensator

E_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = �

0 𝑄𝑄

𝑈𝑈 𝑄𝑄^𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑄𝑄^𝐼𝐼 = �

0 𝑄𝑄 𝑄𝑄^𝐼𝐼

𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑄𝑄^𝐼𝐼 = 𝑄𝑄²

2𝐶𝐶 = 1

2𝑄𝑄𝑈𝑈 = 1

2𝑈𝑈²C

 Für Plattenkondensator folgt: E_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝑄𝑄²𝑑𝑑

2𝐴𝐴ε₀ = 𝑈𝑈²𝐴𝐴ε₀ 2𝑑𝑑 Energiedichte beim

Plattenkondensator: 𝑤𝑤 = E_{𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝑉𝑉 = 𝑈𝑈²𝐴𝐴ε₀ 2𝑑𝑑(𝐴𝐴𝑑𝑑) =

𝑈𝑈²ε₀ 2𝑑𝑑²

Energiedichte des E-Feldes: 𝑤𝑤 = 1

2ε₀ 𝐸𝐸 ²

Da E-Feld im Innern des Plattenkondensators konstant  Energiedichte in Abhängigkeit des E-Feldes:

Bemerkung :

dies ist eine fundamentale Beziehung, die für alle elektrischen Felder gültig ist (nicht nur beim Plattenkondensator)!

Elektrische Energie im Kondensator

20

Physik I – Elektrizitätslehre Kondensator mit Dielektrikum

Dielektrikum im Inneren des Plattenkondensators:

Vergleich: Metall im Inneren des Plattenkondensators

Verschiebungspolarisation  Senkung 𝐸𝐸-Feld zum ursprünglichen Wert 𝐸𝐸₀ um Faktor ε_r: ε_𝑟𝑟 = 𝐸𝐸₀

𝐸𝐸 Dielektrizitätszahl

𝑈𝑈 = 𝑈𝑈₀

ε_𝑟𝑟



𝑈𝑈 = 𝑄𝑄ε_𝑟𝑟

𝑈𝑈₀ = 𝐶𝐶₀ε_𝑟𝑟

Kapazität kann ohne Geometrieänderung drastisch erhöht werden!

1910: Robert Millikan konnte erstmals mittels eines Plattenkondensators die Größe der

Elementarladung e experimentell bestimmen. sog " Influenz" (bei Leitern)

21

Physik I – Elektrizitätslehre (Elektrische) Polarisation

• Im Allgemeinen:

• Es gilt: Mittlerer Dipolmoment ⃗𝑝𝑝 = 𝛼𝛼 𝐸𝐸 mit 𝛼𝛼 = Polarisierbarkeit des Moleküls / Atoms Bemerkung: folgende Annahmen hier:

- Polarisation parallel zum angelegten E-Feld

- Lokales E-Feld ist gleich dem makroskopischen E-Feld 𝑃𝑃 = 𝑁𝑁

𝑉𝑉 ⃗𝑝𝑝 = 𝑁𝑁

𝑉𝑉 𝛼𝛼 𝐸𝐸 Makroskopischer Dipolmoment

 mit 𝑁𝑁 = Anzahl Moleküle / Atome, die

sich im Volumen 𝑉𝑉 befinden Wir fokussieren uns auf i. & ii.

i. Verschiebungspolarisation ii. Orientierungspolarisation iii. Ionenpolarisation

iv. Piezoelektrizität

v. Raumnladungspolarisation/Frenzflächenpolarisation

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Physik I – Elektrizitätslehre (Elektrische) Polarisation

• Bestimmung von 𝐸𝐸_𝑝𝑝 := das von der Polarisation erzeugte E-Feld:

(Annahme: mittlerer Dipolmoment kommt durch eine Ladung Q zustande, die um ⃗𝑑𝑑 aus Gleichgewichtslage ausgelenkt ist)

𝑃𝑃 = 𝑁𝑁

𝑉𝑉 𝑄𝑄 ⃗𝑑𝑑 = 𝑁𝑁𝑄𝑄

𝑉𝑉/ ⃗𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝑛𝑛

„Polarisation ≡ zwei Oberflächenladungen 𝜎𝜎 mit entgegengesetzten

Vorzeichen an Stirnflächen des Volumens, wobei 𝑛𝑛 der Normalenvektor der Stirnflächen“

 E-Feld zwischen (Oberflächen)Ladungen: 𝐸𝐸_𝑃𝑃 = − 𝜎𝜎

ε₀𝑛𝑛 = − 𝑃𝑃

ε₀ = − 𝑁𝑁𝛼𝛼

𝑉𝑉ε₀𝐸𝐸 = −𝜒𝜒_𝐸𝐸 𝐸𝐸

Elektrische Suszeptibilität

𝜒𝜒_𝐸𝐸 = 𝐸𝐸_𝑃𝑃

𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸₀ + 𝐸𝐸_𝑃𝑃 = 𝐸𝐸₀ − 𝜒𝜒_𝐸𝐸 𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸₀ 1

1 + 𝜒𝜒_𝐸𝐸 = 𝐸𝐸₀ 1 ε_𝑟𝑟 Dielektrizitätszahl ε_r

mikroskopisch durch die Suszeptibilität bestimmt

ε_𝑟𝑟 = 1 + 𝜒𝜒_𝐸𝐸

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Physik I – Elektrizitätslehre Elektrischer Strom

• Bisher: statische Ladungen. Nun  bewegte Ladungen (hervorgerufen durch elektr. Felder) 𝐼𝐼 = 𝑄𝑄

𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝑄𝑄

Elektrischer Strom 𝑑𝑑𝑡𝑡 [I] = 1 Ampere = 1 A = 1 C

𝑆𝑆

Strom wird getragen durch sich bewegende Ladungsteilchen  Bewegungsrichtung der Teilchen

 Stromrichtung := Bewegungsrichtung der positiven Ladung (technische Stromrichtung). Meist als Vektor ⃗𝐼𝐼angegeben.

• Ursache: geladene Teilchen im elektrischen Feld  Coulombkraft ⃗𝐹𝐹

 Beschleunigung ⃗𝑎𝑎 : ⃗𝑎𝑎 = ⃗𝐹𝐹

𝑚𝑚 = 𝑄𝑄 𝑚𝑚 𝐸𝐸

• Bei Metallen: Stösse der beschleunigten Ladungen mit Gitteratomen  stationäre

„Endgeschwindigkeit“ (Gleichgewicht)  sog. Driftgeschwindigkeit v_D:

⃗𝑣𝑣_𝐷𝐷 = − ⃗𝐼𝐼

𝑛𝑛 � 𝑒𝑒 � 𝐴𝐴 = − ⃗𝚥𝚥 𝑒𝑒 � 𝑛𝑛

Driftgeschwindigkeit der Elektronen

und ⃗𝚥𝚥 = ⃗𝐼𝐼 𝐴𝐴 Stromdichte mit

n =

=

Ladungsträgerdichte

24

Physik I – Elektrizitätslehre Elektrischer Widerstand

• (Spezifische)

Leitfähigkeit: 𝜎𝜎 = ⃗𝑣𝑣_𝐷𝐷 𝑛𝑛 � 𝑒𝑒 𝐸𝐸

[𝜎𝜎] = 1 1

𝛺𝛺𝑚𝑚 =1 _𝑚𝑚^𝑆𝑆 = 1 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑀𝑀𝑒𝑒𝑟𝑟

𝜌𝜌 = 1

𝜎𝜎 = 𝐸𝐸

⃗𝚥𝚥 Spezifischer Widerstand [𝜌𝜌] = 1 𝛺𝛺𝑚𝑚

Makroskopischer elektr. Widerstand eines Leiter mit Länge L &

Querschnittsfläche A: 𝑅𝑅 = 𝜌𝜌 𝐿𝐿

𝐴𝐴 = 𝐸𝐸

⃗𝚥𝚥 𝐿𝐿

𝐴𝐴 = 𝑈𝑈 𝐼𝐼

Unabhängig von Geometrie Abhängig von Geometrie

 Strom ist proportional zur angelegten Spannung

 Driftgeschwindigkeit ist proportional zum angelegten elektrischen Feld

 Elektrischer Widerstand ändert sich nicht mit der angelegten Spannung

Ohm`sches Gesetz

Gültig für meisten Metalle, nicht (bzw. beschränkt)Halbleiter,

Isolatoren, Supraleiter

25

Physik I – Elektrizitätslehre Elektrische Leistung

Elektrische Leistung eines Widerstandes

𝑃𝑃 = Δ𝐸𝐸

𝑡𝑡 = 𝑈𝑈Δ𝑄𝑄

Δ𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝐼𝐼

Zusammenstösse Elektronen mit Atomen  Abgabe Bewegungsenergie der e^-

Abgegebene Leistung:

Bei gegebenem Widerstand: 𝑃𝑃 = 𝑈𝑈𝐼𝐼 = 𝑅𝑅𝐼𝐼² = 𝑈𝑈² 𝑅𝑅

26

Physik I – Magnetismus Allgemeine Fakten

• Magnetfelder haben eine Stärke und eine Richtung  Vektorfeld

• Magnetfelder werden durch elektrische Ströme (bewegte Ladungen) erzeugt

• Elementarmagnet = magnetischer Dipol: beide Pole mit N und S bezeichnet (Nord & Süd). Gleiche Pole stossen sich ab, ungleiche ziehen sich an

• Ein magnetischer Dipol wird durch einen Kreisstrom erzeugt

• Es wurden noch nie magnetische Monopole gefunden (im Kontrast zur elektrischen Ladung oder zur Masse)

• Magnetfelder können wie alle Vektorfelder durch Feldlinien beschrieben werden. Da es keine magnetischen Ladungen gibt, haben magnetische Feldlinien keinen Anfang und Ende 

Magnetfeldlinien sind geschlossen

27

Physik I – Magnetismus Biot-Savart Gesetz

• Bewegte Ladung Q erzeugt ein magn. Feld 𝐵𝐵 am Ort ⃗𝑟𝑟

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 =

[𝜇𝜇₀] = 4𝜋𝜋 �10^-7 _𝐴𝐴^𝑁𝑁₂

mit

Magnetische Feldkonstante (Anologon zu ε₀) [B] = 1_{𝐴𝐴𝑚𝑚}^𝑁𝑁 = 1 Tesla

Magnetfeld eines konst. Stroms: mit d𝑄𝑄 ⃗𝑣𝑣 = 𝐼𝐼 �d𝐿𝐿 über den Pfad L des Stroms integrieren liefert:

Biot-Savart Gesetz für einen Strom 𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 = 𝜇𝜇₀

4𝜋𝜋 �

𝐿𝐿

𝐼𝐼 � d𝐿𝐿^𝐼𝐼 × (⃗𝑟𝑟 − ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼)

⃗𝑟𝑟 −⃗𝑟𝑟^{𝐼𝐼 3}

⃗𝑟𝑟 = Position des Beobachters – Ort, wo das magn. Feld gemessen wird

⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼= Position auf dem Pfad des Stroms

Notiere: Magnetfeld steht senkrecht zu 𝐼𝐼 und 𝑟𝑟. Richtung des Magnetfeldes mit Rechte-Hand-Regel bestimmen.

28

Physik I – Magnetismus Biot-Savart Gesetz

• Mit ortsabhängiger Stromdichte ⃗𝚥𝚥: Linienintegral in Volumenintegral

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟₀ = 1

4πε₀ ∗ �

𝑉𝑉

𝜌𝜌 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 ⃗𝑟𝑟₀ − ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼

⃗𝑟𝑟₀ −⃗𝑟𝑟^{𝐼𝐼 3} 𝑑𝑑𝑉𝑉^𝐼𝐼 Vergleich:

Bsp.:

Magn. Feldlinien eines langen Drahtes, einer Leiterschleife und einer Spule

Magnetfeld eines langen, geraden Leiters:

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 =

⃗𝑒𝑒_𝑟𝑟 = ⃗𝑟𝑟 mit ⃗𝑟𝑟

Einheitsvektor in radialer Richtung

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 = 𝜇𝜇

𝐼𝐼 4𝜋𝜋 �

𝑉𝑉

⃗𝚥𝚥 ( ⃗𝑟𝑟

) × ( ⃗𝑟𝑟 − ⃗𝑟𝑟

)

⃗𝑟𝑟 −⃗𝑟𝑟

𝑑𝑑𝑉𝑉

29

Physik I – Magnetismus Magnetischer Dipol

• Idee: Berechnung Magnetfeld eines Kreisstroms  Kreisstrom generiert exakt ein Dipolfeld Betrachte:

Nun: z-Komponente des Magnetfeldes auf z-Achse (analoge Rechnung ergibt, dass die x und y Komponenten gleich Null sind):

𝐵𝐵_𝜕𝜕 ⃗𝑟𝑟 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼

4𝜋𝜋 �

𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒𝑒 𝐿𝐿

d𝐿𝐿^𝐼𝐼 ⃗𝑟𝑟 − ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼

⃗𝑟𝑟 −⃗𝑟𝑟^{𝐼𝐼 3} 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑠𝑠 𝐵𝐵_𝜕𝜕 ⃗𝑟𝑟 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼

4𝜋𝜋 �

𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒𝑒 𝐿𝐿

d𝐿𝐿^𝐼𝐼 × (⃗𝑟𝑟 − ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼)

⃗𝑟𝑟 −⃗𝑟𝑟^{𝐼𝐼 3}

Verwende: d𝐿𝐿^𝐼𝐼 = R � 𝑑𝑑𝑑𝑑, (⃗𝑟𝑟 − ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼)² = R²+z², und 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑠𝑠 = R / R²+z²  (Integration über Schleife wird zu Integration über Winkel 𝑑𝑑𝑑𝑑):

𝐵𝐵

𝜕𝜕 = 𝜇𝜇

𝐼𝐼

4𝜋𝜋 �

𝜑𝜑=0

2𝜋𝜋

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 R

+z

𝑅𝑅

R

+z

= 𝜇𝜇

𝐼𝐼𝑅𝑅

2 R

+z

𝐵𝐵_𝜕𝜕 0 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 2𝑅𝑅 𝐵𝐵_𝜕𝜕 0 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑅𝑅²

2 𝜕𝜕 ³

Zentrum Schleife

Grosse Entfernung / Fernfeld

30

Physik I – Magnetismus Magnetischer Dipol

30

Vergleich:

Magnetischer Dipol Elektrischer Dipol Magnetischer Dipol

Physik I – Magnetismus Magnetischer Dipol

𝐵𝐵_𝜕𝜕 0 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑅𝑅² 2 𝜕𝜕 ³

Fernfeld  Kreisstrom fällt mit 𝜕𝜕 ³ ab (wie Fernfeld eines elektr. Dipols (siehe Folie 8)) Dies nicht nur gültig für Punkte auf Achse, sondern auch für alle Punkte im Raum!

Das Magnetfeld eines Kreisstroms ist identisch mit dem Magnetfeld eines Dipols, wobei die Dipolstärke gleich dem Produkt von Strom und Kreisfläche ist.

𝑚𝑚 = I ⃗𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝜋𝜋𝑅𝑅

𝑛𝑛

(eines Kreisstroms 𝐼𝐼 mit Radius 𝑅𝑅) mit

⃗𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑅𝑅² die umschlossene Fläche

• Fernfeld an einem beliebigen Punkt im Raum ⃗𝑟𝑟 und beliebige Orientierung des Dipolmoments 𝑚𝑚 (analog zum Feld des elektr. Dipols, ohne

Herleitung):

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 ≈ 𝜇𝜇

4𝜋𝜋 �

3 ⃗𝑒𝑒

(𝑚𝑚 � ⃗𝑒𝑒

) − 𝑚𝑚

⃗𝑟𝑟

⃗𝑒𝑒_𝑟𝑟 = ^⃗𝑟𝑟_⃗𝑟𝑟 Richtungsvektor

31

Physik I – Magnetismus Drehmoment / Potentielle Energie des Magnetischen Dipols

• Magnetischer Dipol in ein äusseres Magnetfeld 𝐵𝐵0  Drehmoment 𝑀𝑀 (analog zum elektrischen Dipol):

𝑀𝑀 = 𝑚𝑚 × 𝐵𝐵0 Drehmoment auf einen magnetischen

Dipol im äusseren Magnetfeld

• Potentielle Energie Potentielle Energie eines magnetischen Dipols im äusseren Magnetfeld

𝐸𝐸_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡} = −𝑚𝑚 � 𝐵𝐵0

32

Physik I – Magnetismus Zylinderspule

Annahmen: Spule entlang z-Achse ausgerichtet, Zentrum am Ursprung, sei aus N Leiterschleifen aufgebaut, die gleichmässig über die Länge L verteilt sind, und der Strom sei I

mit

𝑁𝑁

𝐿𝐿 = Windungsdichte

j_A = ^{𝐼𝐼𝑁𝑁}_𝐿𝐿 die Längenstromdichte

• Falls Spule sehr lang (L ≫ R)  Feld im Innern nahezu konstant (unabhängig vom Spulenradius & z- Position in Spule):

𝐵𝐵_𝜕𝜕 0 ≈ 𝑁𝑁

𝐿𝐿 𝜇𝜇⁰𝐼𝐼 = 𝜇𝜇₀ 𝑗𝑗_𝐴𝐴 Magnetfeld im Zentrum einer langen Spule

33

𝐵𝐵_𝜕𝜕 𝜕𝜕 = 𝑁𝑁

𝐿𝐿 �−𝐿𝐿/2 𝐿𝐿/2

𝑑𝑑𝜕𝜕^𝐼𝐼 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑅𝑅²

2[𝑅𝑅² + 𝜕𝜕^𝐼𝐼−z ²]^3/2 = 𝑁𝑁𝜇𝜇₀𝐼𝐼 2𝐿𝐿 �

−𝐿𝐿/2 𝐿𝐿/2

𝑑𝑑𝜕𝜕^𝐼𝐼 𝑅𝑅²

[𝑅𝑅² + 𝜕𝜕^𝐼𝐼−z ²]^3/2

= 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑁𝑁 2𝐿𝐿

z+𝐿𝐿 2 𝑅𝑅² + (z+𝐿𝐿

2)²

+ z − 𝐿𝐿2

𝑅𝑅² + (z − 𝐿𝐿2)²

Physik I – Magnetismus Gesetz von Gauss für Magnetfelder

Magnetischer Fluss durch die Fläche A [𝜙𝜙_M] = 1 𝑇𝑇𝑚𝑚² = 1 Weber = 1 Wb

„Der magnetische Fluss ist proportional zur Anzahl Feldlinien, die durch die Fläche A hindurchgehen.“

• Homogenes Magnetfeld: 𝜙𝜙_M = 𝐵𝐵 � ⃗𝐴𝐴

Gesetz von Gauss für Magnetfelder 𝜙𝜙_M = ∮_𝐴𝐴 𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴

• Fluss durch Oberfläche ⃗𝐴𝐴 eines (geschlossenen) Volumens V proportional zur eingeschlossenen Ladung.

Da keine magnetische Ladung existieren  (Gesamt)Fluss gleich Null:

Differentialform des Gesetzes von Gauss für Magnetfelder

𝛻𝛻 � 𝐵𝐵 = 0

„Da Magnetische Feldlinien geschlossen sind, ist die Anzahl in ein Volumen hineinlaufender Feldlinien immer gleich der aus dem Volumen herausführenden Feldlinien.“

𝜙𝜙_M = �

𝐴𝐴

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴^𝐼𝐼

34

Physik I – Magnetismus Durchflutungsgesetz

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 2π⃗𝑟𝑟

Erinnerung: Magnetfeld eines langen geraden Leiters: 2π⃗𝑟𝑟 𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 Dies lässt sich auf beliebige geschlossene Wege verallgemeinern:

„Der Strom durch eine Fläche ⃗𝐴𝐴 ist proportional zum Magnetfeld, welches tangential dem Rand der Fläche entlangläuft. Die Proportionalitätskonstante hat den Wert µ₀“

Durchflutungsgesetz

�

𝐿𝐿

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑𝐿𝐿^𝐼𝐼 =𝜇𝜇₀𝐼𝐼 Integralform des

Durchflutungsgesetzes

„Die Anzahl Feldlinien, welche parallel zum Rand einer Fläche entlangläuft, ist proportional zum Strom, der durch die Fläche fliesst.“

Differentialform des Durchflutungsgesetzes

𝛻𝛻 × 𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟 = 𝜇𝜇₀ ⃗𝚥𝚥 ⃗𝑟𝑟

35

Physik I – Magnetismus Lorentzkraft

Ein Magnetfeld 𝐵𝐵 erzeugt eine Kraft auf eine bewegte Ladung Q

 Lorentzkraft:

⃗𝐹𝐹 ⃗𝑟𝑟 = 𝑄𝑄 ⃗𝑣𝑣 × 𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟

(steht senkrecht auf Bewegungsrichtung &

Magnetfeldrichtung, magnetische Analogon zur Coulombkraft)

Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

⃗𝐹𝐹 ⃗𝑟𝑟 = �

𝐿𝐿

𝐼𝐼𝑑𝑑𝐿𝐿^𝐼𝐼 × 𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 (d𝑄𝑄 ⃗𝑣𝑣 = 𝐼𝐼𝑑𝑑𝐿𝐿)

36

Physik I – Magnetismus Ampere`sches Gesetz

• Betrachte: zwei Ladungen Q₁ und Q₂ mit Geschwindigkeiten ⃗𝑣𝑣1 und ⃗𝑣𝑣₂  Kraft zwischen ihnen Ampere'sches Gesetz für zwei bewegte Ladungen

⃗𝐹𝐹 = 𝜇𝜇₀ 4π

Q₁⃗𝑣𝑣1 × (Q₂⃗𝑣𝑣₂ × (⃗𝑟𝑟₁ − ⃗𝑟𝑟₂))

⃗𝑟𝑟₁ − ⃗𝑟𝑟₂ ³ (Notiere: dies ist die Kraft, die auf Ladung Q₁ ausgeübt wird)

• Betrachte: zwei stromdurchflossene Leiter:

⃗𝐹𝐹 = 𝜇𝜇₀

4π �𝐿𝐿₁𝐿𝐿₂

𝐼𝐼₁𝑑𝑑𝐿𝐿₁^𝐼𝐼 × (𝐼𝐼₂𝑑𝑑𝐿𝐿₂^𝐼𝐼 × (𝑟𝑟₁^𝐼𝐼 − 𝑟𝑟₂^𝐼𝐼)) 𝑟𝑟₁^𝐼𝐼 − 𝑟𝑟₂^{𝐼𝐼 3}

Ampere'sches Gesetz für zwei Ströme

(Bemerkung: Das Ampere'sche Gesetz wird zur Definition der Einheit des Stroms (Ampere) verwendet:

„Wenn in zwei geradlinigen, parallelen, sehr langen elektrischen Leitern mit dem Abstand 1 m Ströme gleicher Stärke fliessen, und wenn zwischen den Leitern pro Einheitslänge (1 m) eine Kraft von 2 � 10^-7 N wirkt, dann ist der Strom in jedem Leiter gleich 1 Ampere.“)

37

Physik I – Magnetismus Hall-Effekt

• Lorentzkraft  Änderung Stromrichtung im Magnetfeld  Entstehung einer Spannung zwischen gegenüberliegenden Seiten des Leiters  sog. Hallspannung (Halleffekt)

Bsp.: - Strom ⃗𝐼𝐼 = I⃗𝑒𝑒_𝜕𝜕 in x-Richtung durch einen Leiter mit Breite b & Dicke d

- Magnetfeld 𝐵𝐵 = B⃗𝑒𝑒_𝜕𝜕 in y-Richtung (senkrecht zur Leiteroberfläche)

- Strom durch Elektronen  Ladung 𝑄𝑄 = −𝑒𝑒

 Lorenzkraft auf ein Elektron im Leiter: ⃗𝐹𝐹_𝐿𝐿 = −𝑒𝑒 ⃗𝑣𝑣_𝐷𝐷 × 𝐵𝐵 = −𝑒𝑒 ⃗𝑣𝑣_𝐷𝐷 B ⃗𝑒𝑒_𝜕𝜕 = _{𝑖𝑖𝐴𝐴}^{𝐼𝐼𝐼𝐼} ⃗𝑒𝑒_𝜕𝜕 = _{𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏}^{𝐼𝐼𝐼𝐼} ⃗𝑒𝑒_𝜕𝜕

⃗𝑣𝑣_𝐷𝐷 = − _{𝑒𝑒𝑖𝑖𝐴𝐴}^𝐼𝐼 die Driftgeschwindigkeit in x-Richtung, n die Ladungsträgerdichte & A die Querschnittsfläche des Leiters

 Erzeugung 𝐸𝐸-Feldes  elektr. Spannung U  elektrostatische Kraft auf Elektronen: ⃗𝐹𝐹_𝐶𝐶 = −𝑒𝑒 𝐸𝐸 = −𝑒𝑒 𝑈𝑈 𝑏𝑏 ⃗𝑒𝑒^𝜕𝜕

Im Kräftegleichgewicht: ⃗𝐹𝐹_𝐿𝐿 + ⃗𝐹𝐹_𝐶𝐶 = 0 𝐼𝐼𝐵𝐵

𝑛𝑛𝑏𝑏𝑑𝑑 = 𝑒𝑒𝑈𝑈



𝑒𝑒𝑛𝑛𝑏𝑏𝑑𝑑 = 𝐼𝐼𝐵𝐵

𝑒𝑒𝑛𝑛𝑑𝑑 Hall-Spannung

Halleffekt liefert Ladungsträgerdichte & Vorzeichen der Ladungsträger in einem Material. Umgekehrt kann bei bekannter Ladungsträgerdichte das Magnetfeld gemessen werden.

38

Physik I – Magnetismus Magnetisierung

• Material im Magnetfeld 𝐵𝐵₀  Magnetfeld im Material entweder abgeschwächt oder verstärkt Verstärkungsfaktor

𝜇𝜇_𝑟𝑟 = 𝐵𝐵 𝐵𝐵₀

relative magnetische Feldkonstante

mit 𝐵𝐵 das Magnetfeld im Material, wobei 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵₀ + 𝐵𝐵_𝑀𝑀 = 𝜇𝜇_𝑟𝑟𝐵𝐵₀

äusseres Magnetfeld das durch das Material selbst generierte Magnetfeld

• Grösse von 𝐵𝐵_𝑀𝑀 relativ zu 𝐵𝐵_{0 χ}

m = 𝐵𝐵_𝑀𝑀

𝐵𝐵₀ = 𝜇𝜇_𝑟𝑟 − 1 magnetische Suszeptibilität

• In Literatur oft:

𝐻𝐻₀ = 𝐵𝐵₀ 𝜇𝜇₀

magnetische

Erregung und _{𝑀𝑀 =} ^{𝐵𝐵𝑀𝑀}

𝜇𝜇₀ Magnetisierung [H] = [M] = 1_𝑚𝑚^𝐴𝐴

39

Physik I – Magnetismus Atomarer Ursprung des Magnetismus

Bemerkung:

Atom als Ganzes hat nicht automatisch immer auch einen magnetischen Dipol (obwohl jedes Elektron eines Atoms (oder Moleküls) einen magn. Dipol hat). Denn: Elektronen kreisen paarweise in entgegengesetzter Richtung um Atomkern  Aufhebung der Dipole.

Nur falls ein oder mehrere Elektronen ungepaart sind (z.B. wenn die Gesamtelektronenzahl ungerade ist) besitzt das Atom einen magnetischen Dipol.

(Negativ geladene) Elektronen umkreisen (positiv geladenen) Atomkern

magnetischer Dipol

Weiter: Elektronen (und auch der Atomkern) drehen sich um ihre eigene Achse  weiterer magn. Dipol

(Hinweis: beide Phänomene folgen aus der Quantenmechanik, aber das einfache Bild der kreisenden Elektronen ergibt das richtige Verhalten.) Ursache der Magnetisierung liegt in atomaren Kreisströmen:

40

Physik I – Magnetismus Formen des Magnetismus

41

Physik I – Magnetismus Oberflächenströme

Betrachte: magnetisiertes Material - zylindrisches Volumenelement mit Dicke d wesentlich kleiner als der Radius

(analog zur Oberflächenladung von Dielektrika)

Kreisstrom I um Zylinder  magnetischer Dipol:

𝑚𝑚 = I ⃗𝐴𝐴

mit A = ⃗𝐴𝐴 die Querschnittfläche des Zylinders

 Magnetisierung: _{𝑀𝑀 =} ^𝑚𝑚

𝑉𝑉 = 𝐼𝐼 ⃗𝐴𝐴

𝐴𝐴𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 × 𝑗𝑗 _𝐴𝐴

Magnetisierung bis auf Richtung identisch mit der Längenstromdichte (Oberflächenströme)!

Also: Atomare Kreisströme heben sich

im Innern gegenseitig auf Nur am Rand verbleibt ein resultierender Strom

 sog. Oberflächenstrom oder gebundener Oberflächenstrom

42

𝑛𝑛 ein Normalenvektor der auf Seitenfläche des Zylinders steht,

⃗𝚥𝚥_𝐴𝐴 = 𝐼𝐼/𝑑𝑑 die Längenstromdichte

„Das Magnetfeld eines Körpers mit Magnetisierung 𝑀𝑀 ist identisch mit dem Magnetfeld der zugehörigen Längenstromdichte ⃗𝚥𝚥_𝐴𝐴 eines Ringstroms 𝐼𝐼, welcher an der Oberfläche des Körpers um diesen herumläuft.“

Physik I – Magnetismus Magnetisierung an einer Kugel

Dipolmoment einer homogen magnetisierten Kugel

𝑚𝑚 = 4𝜋𝜋𝑅𝑅²𝑀𝑀 3

„Eine homogen magnetisierte Kugel generiert exakt ein Dipolfeld. Das Dipolmoment ist gegeben durch die Magnetisierung multipliziert mit dem Kugelvolumen.“

Kugel mit Radius R & Magnetisierung 𝑀𝑀 entlang z-Achse

Dieses Resultat ist allgemein gültig

Magnetisierte Kugel auf der Achse generiert das gleiche Feld wie ein magnetischer Dipol mit 𝑚𝑚 = V𝑀𝑀

Wegen Symmetrie  nur z-Komponente des Magnetfeldes von Null verschieden

43

Oberflächenstrom einer homogen entlang z magnetisierten Kugel

Physik I – Magnetismus Faraday'sches Induktionsgesetz

Folgende Beobachtungen:

Betrachte: Leiterschleife, an dessen Enden mit Voltmeter die Spannung gemessen wird

Nun wird ein Magnet (Magnetfeld) in die Nähe gebracht In gewissen Fällen wird eine Spannung generiert

 Die Spannung ist proportional zur Fläche der Schleife

 Die Spannung ist proportional zur Magnetfeldstärke

 Das Vorzeichen der Spannung wechselt mit dem Vorzeichen des Magnetfeldes

 Die Spannung ist proportional zur Geschwindigkeit, mit der das Magnetfeld oder die Fläche geändert wird

Faraday'sches

Induktionsgesetz ^{U = −}_{𝑑𝑑𝑡𝑡 �}^𝑑𝑑

𝐴𝐴

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴^𝐼𝐼 = −𝑑𝑑𝜙𝜙_M 𝑑𝑑𝑡𝑡 Bemerkung:

U := Induktionsspannung (dynamische (nicht-konservative) Spannung, im Gegensatz zur Spannung und Potential in Elektrostatik)

Änderung der magnetischen Flussdichte  Entstehung eines elektrischen Feldes

Direkter Nachweis meist über Spannung U

44

Physik I – Magnetismus Faraday'sches Induktionsgesetz

Differentialform des Faraday'schen Induktionsgesetzes

„Nimmt man vertikale magnetische Feldlinien, deren Richtung sich periodisch ändert, so bilden sich um die magnetischen Feldlinien Wirbel von elektrischen

Feldlinien (deren Richtung sich ebenfalls periodisch ändert).“

𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = −𝑑𝑑𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑡𝑡

45

Physik I – Magnetismus Induktion zwischen zwei Leiterschleifen

Zwei Leiterschleifen mit Radius R, axial ausgerichtet & weit voneinander entfernt

Durch untere Schleife 1 fliesst ein Strom I₁

 Magnetfeld am Ort der oberen Schleife 2:

𝐵𝐵 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑅𝑅² 2𝜕𝜕³

 Magnetischer Fluss durch Schleife 2:

𝜙𝜙

= π𝑅𝑅

𝐵𝐵 =

Was passiert mit Induktionsspannung U₂ der zweiten Schleife wenn…

(1) Strom durch Schleife 1 konstant ist? Keine Änderung des magnetischen Flusses  keine Induktion in Schleife 2:

U₂ = −𝑑𝑑𝜙𝜙_M

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0

46

Physik I – Magnetismus Induktion zwischen zwei Leiterschleifen

Was passiert mit Induktionsspannung U₂ der zweiten Schleife wenn…

(2) Strom durch Schleife 1 langsam erhöht wird?  negative Induktionsspannung:

U₂ = − 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜇𝜇₀𝐼𝐼₁𝑅𝑅⁴

2𝜕𝜕³ = − 𝜇𝜇₀π𝑅𝑅⁴ 2𝜕𝜕³

𝑑𝑑𝐼𝐼₁

𝑑𝑑𝑡𝑡 < 0

 in Schleife 2 wird ein Strom I₂ induziert, der dem Ursprungsstrom I₁ entgegengesetzt ist.

(3) Strom durch Schleife 1 konstant ist, aber die Distanz z zwischen beiden Schleifen vergrössert wird (Schleife 2 wird mit Geschwindigkeit 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝜕𝜕/𝑑𝑑𝑡𝑡 wegbewegt)  positive Induktionsspannung :

U₂ = − 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜇𝜇₀𝐼𝐼₁𝑅𝑅⁴

2𝜕𝜕³ = −𝜇𝜇₀𝐼𝐼₁π𝑅𝑅⁴ 2

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡

1

𝜕𝜕³ = 3𝜇𝜇₀𝐼𝐼₁π𝑅𝑅⁴𝑣𝑣

2𝜕𝜕⁴ > 0

Bemerkung: Da in den Fall (2) und (3) durch beide Schleifen ein Strom fliesst  besitzen einen magnetischen Dipol  Kraft zwischen den Schleifen.

Genauer:  Fall (2): Dipole entgegengesetzt gerichtet  Kraft abstossend

 Fall (3): Dipole gleich gerichtet  Kraft anziehend

47

Physik I – Magnetismus Lenz'sche Regel

„Die induzierte Spannung und der induzierte Strom sind so gerichtet, dass sie eine der Ursache entgegengerichtete Wirkung erzielen.“

… (2) führt der induzierte Strom in der zweiten Schleife zu einem Magnetfeld, welcher das Magnetfeld in der ersten Schleife abschwächt.

… (3) führt der induzierte Strom zu einer anziehenden Kraft zwischen den Leiterschleifen, welche das Auseinanderbewegen der Schleifen behindert.

Siehe Bsp. Folie 46/47: Im Fall…

 Oft ist es am einfachsten, das Vorzeichen von Induktionspannung (oder -strom) durch die Lenz'sche Regel zu bestimmen.

48

Physik I – Magnetismus Wirbelströme

Bewegen eines elektr. Leiter im inhomogenen Magnetfeld

Änderung des magn. Flusses

Induktion lokaler Ströme

Weiter: Lorentzkraft der Ströme im Magnetfeld  Kreisbahn  sog. Wirbelströme

Generieren wiederrum ein Magnetfeld: dieser ist nach Lenz der Ursache entgegengerichtet

Kraftwirkung

Wirbelströme führen zu Leistungsverlust infolge des elektrischen Widerstandes des Leiters: Abschätzung dieser anhand folgender Grössen (genaue Leistungsverlust von detaillierten Geometrie von Magnetfeld und Leiter abhängig):

Wirbelstromverluste nehmen zu:

• Mit der Stärke des Magnetfeldes

• Mit der Dicke des Leiters

• Mit der Leitfähigkeit des Leiters

• Mit der Geschwindigkeit, mit der der Leiter bewegt wird Bsp.

49

Physik I – Magnetismus Induktivität

Anhand vorherigem Beispiel der zwei Leiterschleifen (Folie 46/47) haben wir gesehen, dass die induzierte Spannung 𝑈𝑈₂ direkt proportional zur zeitlichen Änderung des Stroms 𝐼𝐼₁ ist:

𝑈𝑈_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑏𝑏} = − 𝑑𝑑𝜙𝜙_M

𝑑𝑑𝑡𝑡 = −𝑑𝑑 𝐿𝐿𝐼𝐼

𝑑𝑑𝑡𝑡 = −𝐿𝐿𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑡𝑡 Proportionalitätskonstante L wird Induktivität genannt

𝐿𝐿 = 𝜙𝜙_M

𝐼𝐼 = 1 𝐼𝐼 �𝐴𝐴

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴^𝐼𝐼 Induktivität [L] = 1 Henry = 1 H = 1 ^{𝑇𝑇𝑚𝑚}_𝐴𝐴²

Bemerkung:

 Grosse praktische Bedeutung: gibt an, wie stark in einer gegebenen Leitergeometrie Spannungen und Ströme induziert werden

 Induktion tritt sowohl zwischen zwei verschiedenen Leitern (Gegeninduktion) als auch in ein und demselben Leiter (Selbstinduktion) auf

50

Physik I – Magnetismus Energie des Magnetfeldes

Analog zur elektr. Energie im Kondensator: magn. Energiespeicherung in einer Spule (oder allgemein, einer Induktivität)

• Annahme: Strom über einer Induktivität 𝐿𝐿 in Zeitspanne 𝑇𝑇 sei kontinuierlich von Null auf 𝐼𝐼₀ erhöht  Arbeit muss gegen die Induktionsspannung 𝑈𝑈 verrichtet werden:

𝐼𝐼 𝑡𝑡 = 𝐼𝐼₀ 𝑡𝑡 𝑇𝑇

U 𝑡𝑡 = 𝐿𝐿 _{𝑏𝑏𝑀𝑀}^{𝑏𝑏𝐼𝐼} = ^{𝐿𝐿𝐼𝐼}_𝑇𝑇⁰

𝐸𝐸_{𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛} = �

0 𝑇𝑇

𝑃𝑃 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = �

0 𝑇𝑇

𝑈𝑈 𝑡𝑡 𝐼𝐼(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = �

0

𝑇𝑇 𝐿𝐿(𝐼𝐼₀)²𝑡𝑡

𝑇𝑇² = 1

2 𝐿𝐿(𝐼𝐼₀)²

 Energie einer langen Spule mit N Windungen: 𝐸𝐸_{𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛} = 1

2𝐿𝐿 𝐼𝐼₀ ² = 𝑁𝑁²𝜇𝜇₀π𝑅𝑅²(𝐼𝐼₀)² 2𝑒𝑒

Energiedichte des Magnetfeldes (Annahme: Induktivität L einer Spule

mit konst. Magnetfeld im Innern) 𝑤𝑤 = 𝐸𝐸_{𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛}

𝑉𝑉 = 1

2𝜇𝜇₀ 𝐵𝐵 ²

51

Physik I – Magnetismus Maxwell`sche Gleichungen

• Gesetze des Elekromagnetismus zusammengefasst in vier fundamentalen Gleichungen  "Maxwell'sche Gleichungen“

• Genau genommen bestehen die Gesetze des Elektromagnetismus aus den vier Maxwell'schen Gleichungen plus einem Kraftgesetz:

Kraft auf eine Probeladung 𝑄𝑄₀ in elektrischen und magnetischen Feldern ist gegeben durch

die Coulombkraft und die Lorentzkraft:

⃗𝐹𝐹 ⃗𝑟𝑟 = 𝑄𝑄

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟 + ⃗𝑣𝑣 × 𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟

(Erweiterte) Lorentzkraft

• Erzeugung der Felder:

Elektrische Felder Magnetische Felder

Durch eine elektrische Ladung (Coulombgesetz,

Gesetz von Gauss) Durch einen elektrischen Strom (Biot-Savart Gesetz, Durchflutungsgesetz)

Durch ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld

(Induktionsgesetz von Faraday) Durch ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld (Verschiebungsstrom, Erweiterung des

Durchflutungsgesetzes)

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Physik I – Magnetismus Maxwell`sche Gleichungen

Jedes zeitlich veränderliche elektrische Feld erzeugt ein

magnetisches Wirbelfeld Jedes zeitlich veränderliche

magnetische Feld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld Elektrische Ladungen sind die

Quellen elektrischer Felder Keine magnetischen

Ladungen als Quellen magnetischer Felder, d.h.

Magnetfelder sind stets Wirbelfelder

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Physik I – Magnetismus Maxwell'scher Verschiebungsstrom

Durchflutungsgesetz (siehe Seite 35) nur für statische Felder gültig  unvollständig

Für dynamische Felder braucht es eine Erweiterung!  sog. Maxwell'sche Verschiebungsstrom Betrachte Plattenkondensator welcher mit einem Strom I geladen oder entladen wird:

Strom durch Fläche A₁

(mit Durchflutungsgesetz): �

𝐿𝐿

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑𝐿𝐿^𝐼𝐼 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼

Analog Strom durch zweite Fläche A₂ (genau

zwischen Kondensatorplatten aber mit denselben Rand L wie A₁):

Da zwischen den Kondensatorplatten kein Strom fliesst!

�

𝐿𝐿

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑𝐿𝐿^𝐼𝐼 = 0

Widerspruch zum Durchflutungsgesetz, welches besagt, dass die Wahl der Fläche keine Rolle spielt!

54

Physik I – Magnetismus Maxwell'scher Verschiebungsstrom

Lösung: Annahme eines Verschiebungsstroms 𝐼𝐼_𝑉𝑉 = 𝐼𝐼 welches zwischen den Kondensatorflächen fliesst Obwohl im Verschiebungsstrom keine Ladungen transportiert werden, ist er „real“: der Strom, welcher von links auf die Kondensatorplatte fliesst, findet seine Fortsetzung weg von der rechten

Kondensatorplatte. Der Verschiebungsstrom „vermittelt“ also den Strom zwischen den beiden Kondensatorplatten.

Weiter: Verschiebungsstrom direkt verknüpft mit elektrischem Feld welches sich zwischen den Kondensator auf- und abbaut. Sei 𝐼𝐼 konst. bei Aufladung:

𝐸𝐸 = 𝑄𝑄

ε₀𝐴𝐴 𝐼𝐼 = 𝑑𝑑𝑄𝑄

𝑑𝑑𝑡𝑡 = ε₀ 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐸𝐸 𝐴𝐴 = ε₀𝑑𝑑𝜙𝜙_E 𝑑𝑑𝑡𝑡

(Bemerkung: allg. gültig, nicht nur für Plattenkondensator)

𝐼𝐼_𝑉𝑉 = ε₀𝑑𝑑𝜙𝜙_E

𝑑𝑑𝑡𝑡 = ε₀ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 �

𝐴𝐴

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴^𝐼𝐼 Verschiebungsstrom

�

𝐿𝐿

𝐵𝐵 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑𝐿𝐿^𝐼𝐼 = 𝜇𝜇₀ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼_𝑉𝑉 = 𝜇𝜇₀I + 𝜇𝜇₀ε₀ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 �

𝐴𝐴

𝐸𝐸 ⃗𝑟𝑟^𝐼𝐼 � 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴^𝐼𝐼

„erweitertes Durchflutungs- gesetz“

Durchflutungsgesetz mit Verschiebungsstrom

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Magnetfelder werden nicht nur durch Ströme sondern auch durch zeitlich veränderliche elektrische Felder erzeugt

Physik I – Magnetismus Elektromagnetisches Nah-und Fernfeld

• Maxwellgleichungen für zwei Grenzfälle:

Nahfeld

(entspricht der klassischen Elektro-und Magnetostatik) Fernfeld

(entspricht einer elektromagnetischen Welle)

• Gültig für (nahezu) statische Felder & kurze Distanzen

 Beiträge der Ladung und des Stromes

dominieren (also die elektrischen Felder, die durch statische und bewegte Ladungen verursacht

werden)

• Die Maxwellgleichungen sind:

• Gültig für sich schnell ändernde (hochfrequente) Felder und grosse Distanzen

zeitliche Ableitungen von elektrischem Feld und Magnetfeld nehmen grosse Werte an (zudem

fallen Dipolfelder von Ladungen und Strömen mit Distanz sehr rasch ab)

• Die Maxwellgleichungen sind:

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