Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom 26.10.09:
Formale Logik und nat¨ urliches Schließen
Christoph L¨uth, Lutz Schr¨oder Universit¨at Bremen Wintersemester 2009/10
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Heute
IEinf¨uhrung in dieformale Logik IAussagenlogik
I Beispiel f¨ur eineeinfache Logik
I GuterAusgangspunkt INat¨urliches Schließen
I Wird auch vonIsabelleverwendet.
IBuchempfehlung:
Dirk van Dalen:Logic and Structure. Springer Verlag, 2004.
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Fahrplan
ITeil I: Grundlagen der Formalen Logik
IEinf¨uhrung
INat¨urliches Schließen, Aussagenlogik
IPr¨adikatenlogik 1. Stufe
IGrundlagen von Isabelle
ILogik h¨oherer Ordnung ITeil II: Arbeiten mit Isabelle
ITeil III: Modellierung imperative Programme
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Formale Logik
IZiel:FormalisierungvonFolgerungenwie
I Wenn es regnet, wird die Straße nass.
I Es regnet.
I Also ist die Straße nass.
INachts ist es dunkel.
IEs ist hell.
IAlso ist es nicht nachts.
IEineLogikbesteht aus
I EinerSpracheLvonFormeln(Aussagen)
I Schlußregeln(Folgerungsregeln) auf diesen Formeln.
IDamit:G¨ultige(“wahre”) Aussagen berechnen.
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Beispiel f¨ ur eine Logik I
ISpracheL={♣,♠,♥,♦}
ISchlußregeln:
♦
♣α ♦
♠β ♣ ♠
♥ γ
♦δ
IBeispielableitung:♥
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Beispiel f¨ ur eine Logik II
ISpracheL={♣,♠,♥,♦}
ISchlußregeln:
♦
♣α ♦
♠β ♣ ♠
♥ γ
[♦]
...
♥
♥ δ0
IBeispielableitung:♥
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Aussagenlogik
ISprachePropgegeben durch:
1.VariablenV⊆ Prop(MengeVgegeben) 2.false∈ Prop
3.Wennφ, ψ∈ Prop, dann
Iφ∧ψ∈ Prop
Iφ∨ψ∈ Prop
Iφ−→ψ∈ Prop
Iφ←→ψ∈ Prop
4.Wennφ∈ Prop, dann¬φ∈ Prop.
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Wann ist eine Formel g¨ ultig?
ISemantischeG¨ultigkeit|=P:Wahrheitstabellenetc.
I Wirdhiernicht weiter verfolgt.
ISyntaktischeG¨ultigkeit`P:formaleAbleitung,
I Nat¨urliches Schließen
I Sequenzenkalk¨ul
I Andere (Hilbert-Kalk¨ul,gleichungsbasierte Kalk¨ule, etc.) IZiel: Kalk¨ul, umG¨ultigkeitinPropzu beweisen
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Nat¨ urliches Schließen
IVorgehensweise:
1.Erst Kalk¨ul nur f¨ur∧,−→,false 2.DannErweiterungaufalleKonnektive.
IF¨ur jedesKonnektiv:Einf¨uhrungs-undEliminitationsregel
INB:konstruktiver Inhaltder meisten Regeln
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Nat¨ urliches Schließen — Die Regeln
φ ψ
φ∧ψ ∧I φ∧ψ
φ ∧EL φ∧ψ ψ ∧ER [φ]
... ψ φ−→ψ −→I
φ φ−→ψ
ψ −→E
false φ false
[φ−→false]
... false
φ raa
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Konsistenz
IDef:Γkonsistentgdw. Γ6`false
ILemma:Folgende Aussagen sind ¨aquivalent:
(i) Γ konsistent
(ii) Es gibt einφso dass Γ6`φ
(iii) Es gibt keinφso dass Γ`φund Γ` ¬φ
ISatz:Aussagenlogik mit nat¨urlichem Schließen istkonsistent.
ISatz:Aussagenlogik mit nat¨urlichem Schließen istvollst¨andigund entscheidbar
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Die fehlenden Konnektive
IEinf¨uhrung alsAbk¨urzung:
¬φ def= φ−→false
φ∨ψ def= ¬(¬φ∧ ¬ψ)
φ←→ψ def= (φ−→ψ)∧(ψ−→φ)
IAbleitungsregeln alsTheoreme.
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Die fehlenden Schlußregeln
φ φ∨ψ∨IL
ψ φ∨ψ∨IR
φ∨ψ [φ]
... σ
[ψ]
... σ
σ ∨E
[φ]
... false
¬φ ¬I φ ¬φ
false ¬E
φ−→ψ ψ−→φ
φ←→ψ ←→I φ φ←→ψ
ψ ←→EL ψ φ←→ψ
φ ←→ER
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Zusammenfassung
IFormale Logikformalisiertdas (nat¨urlichsprachliche) Schlußfolgern ILogik: Aussagen plus Schlußregeln (Kalk¨ul)
IAussagenlogik: Aussagen mit∧,−→,false
I ¬,∨,←→alsabgeleitete Operatoren INat¨urlichesSchließen: intuitiver Kalk¨ul
IAussagenlogikkonsistent,vollst¨andig,entscheidbar.
IN¨achstes Mal:Quantoren,HOL.
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