Gleichungslogik und nat¨ urliche Zahlen

Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom 11.11.09:

Gleichungslogik und nat¨ urliche Zahlen

Christoph L¨uth, Lutz Schr¨oder Universit¨at Bremen Wintersemester 2009/10

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Das Tagesmen¨ u

IGleichheitin Logik 1. Stufe

IDienat¨urlichen Zahlen

IEigenschaften der nat¨urlichen Zahlen

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Fahrplan

ITeil I: Grundlagen der Formalen Logik

IEinf¨uhrung

INat¨urliches Schließen, Aussagenlogik

IPr¨adikatenlogik 1. Stufe

IGleichungslogik und nat¨urliche Zahlen

ITeil II: Arbeiten mit Isabelle

ITeil III: Modellierung imperative Programme

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Regeln f¨ ur die Gleichheit

IReflexivit¨at,Symmetrie,Transitivit¨at:

x=x refl x=y

y=x sym x=y y=z x=z trans

IKongruenz:

x1=y1, . . . ,xn=yn f(x1, . . . ,xn) =f(y1, . . . ,yn)conf

ISubstitutivit¨at:

x1=y1, . . . ,xm=ym P(x1, . . . ,xn)

P(y1, . . . ,ym) subst

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Die nat¨ urlichen Zahlen

IVerschiedeneAxiomatisierungen:

IPresburger-Arithmetik

I5 Axiome

IKonsistent und vollst¨andig

IEntscheidbar (Aufwand 2^2cn,nL¨ange der Aussage)

IEnth¨alt Nichtstandardmodelle IPeano-Arithmetik

I8 Axiome

IKonsistent

IUnvollst¨andig (bzgl. Standard-Modellen)

INicht entscheidbar

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Zusammenfassung

IGleichungslogik in nat¨urlichem Schließen:

I m¨oglich

I aberumst¨andlich

IEntwicklungnat¨urlicher Zahlenben¨otigt:

I Zus¨atzliche Axiome

I Konzepte h¨oherer Ordnung (Induktion!)

IDeshalbn¨achstes Mal: Logik h¨oherer Stufe

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