AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
Pythagoras
Lineare Gleichungssysteme
Warm-up 18
Aufgaben Lösungen
1. Das Kegeldach eines Turms muss mit neuen Dachsparren ausgebessert werden.
Der Dachüberstand beträgt 50 cm.
Höhe hk = 8 m und Radius r = 4 m Wie lang müssen die einzelnen Dach- sparren mindestens sein?
Tipp: Eine Skizze kann hilfreich sein!
Sparren ohne Überstand:
s2 = hk2 + r2
s2 = (8 m)2 + (4 m)2 | s = 8,94 m
Die Dachsparren müssen mindes- tens 9,44 m sein (8,94 m + 0,50 m).
r hk
s
0,5 m
2. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die Lösung rechnerisch.
In einem gleichschenkligen Dreieck ist jeder Schenkel um 6 cm länger als die Basis.
Der Umfang des Dreiecks beträgt 39 cm.
Wie lang sind die Seiten des Dreiecks?
Basis: a Schenkel: b I. b = a + 6 cm II. a + 2b = 39 cm I. in II. einsetzen:
a + 2b = 39 cm a + 2(a + 6 cm) = 39 cm
a + 2a + 12 cm = 39 cm | − 12
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Körper Strahlensatz
Warm-up 19
Aufgaben Lösungen
1. Eine Garage hat eine Länge von 5,6 m und eine Breite von 3,5 m.
Die Garage ist an der höchsten Stelle 3,1 m hoch und an der niedrigsten Stelle 2,5 m hoch.
Das Dach fällt nach hinten ab.
Wie viel Kubikmeter beträgt der umbaute Raum der Garage?
Tipp: Eine räumliche Skizze kann hilfreich sein!
hk= 3,5 m h = 5,6 m
a = 3,1 m c = 2,5 m
Volumen (Trapezprisma):
V = (a + c)
2 · h · hk
V = (3,1 m + 2,5 m)
2 · 5,6 m · 3,5 m V = 54,88 m3
Der umbaute Raum beträgt 54,88 m3.
2. Wie breit ist der Fluss?
30 m b
40 m
25 m
b
25 m = (b 30 m)
40 m
+ | · 25 m · 40 m
b · 40 m = (b + 30 m) · 25 m 40 m · b = 25 m · b + 750 m²
| − 25 m · b
15 m · b = 750 m² | : 15 m b = 50 m
Der Fluss ist 50 m breit.
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Lineare Funktionen Flächen
Warm-up 20
Aufgaben Lösungen
1. Bei einer linearen Funktion sind die Steigung m = 2 und ein Punkt P (4|3) gegeben.
a) Wie lauten die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse?
Tipp: Die allgemeine Formel für lineare Funktionen lautet y = mx + b.
b) Wie lautet die Funktionsgleichung?
a) P (x = 4; y = 3) und m = 2 in die Funktionsgleichung einsetzen:
y = mx + b 3 = 2 · 4 + b
3 = 8 + b | − 8
−5 = b
Die Koordinaten lauten (0|−5).
b) y = 2x − 5
2. Berechne die schraffierte Fläche.
uRechteck = 82 m
7 m
r = 7 m
Flächeninhalt (Halbkreis):
A = π · r2 : 2 A = π · (7 m)2 : 2 A = 76,97 m2
Länge (a) des Rechtecks:
Breite = 2 · 7 m = 14 m a = (82 m − 2 · 14 m) : 2 a = 27 m
Flächeninhalt (Dreieck):
g = 14 m
h = 27 m − 7 m = 20 m A = g h
2
⋅
14 m 20 m
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Pythagoras Körper
Warm-up 21
Aufgaben Lösungen
1. Berechne die Länge der Höhe h und der Seite b.
c = 24 m d = 26 m x = 24 m y = 30 m
d b
c
y a
x
h
h2 = d2 − x2
h2 = (26 m)2 − (24 m)2 | h = 10 m
z = y − c
z = 30 m − 24 m z = 6 m
b2 = z2 + h2
b2 = (6 m)2 + (10 m)2 | b = 11,66 m
2. Ein zylinderförmiger Behälter ist bis zum oberen Rand mit 50 ml Tagescreme gefüllt. Der Radius der Dose beträgt 2,5 cm.
Wie hoch ist die Dose?
50 ml = 50 cm3
Körperhöhe (hk):
V = π · r2 · hk | : π : r2
2
V r π ⋅
= hk
2
50 cm³ (2,5 cm) π ⋅
= hk
2,55 cm = hk
Die Dose ist 2,55 cm hoch.
Tagescreme 50 ml
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Trigonometrie Lineare Funktionen
Warm-up 22
Aufgaben Lösungen
1. Ellen wirft bei einer Sonnenhöhe von α = 25° einen Schatten von s = 3,3 m.
Wie groß ist Ellen?
s
s = 3,3 m
a
Seite a: (Tangens) tan α = a
s
tan 25° = a
3,3 m | · 3,3
m
1,54 m = a
Ellen ist 1,54 m groß.
2. Gegeben sind zwei Funktionen.
a) Wie lauten die Funktionsgleichungen?
b) Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen.
1 2 3 4
y
x
I. y = −x + 3 II. y = 1
2x − 3
gleichsetzen:
−x + 3 = 1
2x − 3 | −1
2x − 3
−3
2x = − 6 | · (−2
3) x = 4
x in I. einsetzen:
y = −x + 3 y = −4 + 3 y = −1
α
α = 25°
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Körper Pythagoras
Warm-up 23
Aufgaben Lösungen
1. Ein Käsestück aus der Massenproduktion hat die auf dem Foto angegebenen Maße.
Die Körperhöhe beträgt 4 cm.
Welches Käsegewicht muss auf das Etikett gedruckt werden, wenn die Dichte (ρ) des Käses 0,99 g/cm3 beträgt?
Grundfläche = 2 · Trapez h = 3,5 cm
a = 4,5 cm c = 8,5 cm
Volumen (V):
V = G · hk
V = 2 · (a c)
2
+ · h · hk
V = 2 · (4,5 cm 8,5 cm)
2
+ · 3,5 cm · 4 cm
V = 182 cm3
Masse (m):
m = V · ρ
m = 182 cm³ · 0,99 g/cm³ m = 180,18 g
Das Gewicht beträgt ca. 180 g.
2. Berechne in einem gleichseitigen Dreieck mit a = 36 cm die Höhe (h).
Tipp: Eine Skizze kann hilfreich sein!
h2 = a2 – (a
2)2
h2 = (36 cm)2 – (18 cm)2 | h = 31,2 cm
a h a
a 2
a 2
