folien mathematik I VL 20

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Mathematik I

Vorlesung im Bachelorstudium BAU, EIT, LRT

Prof. Dr. Matthias Gerdts

Institut f ür Angewandte Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Fakult ät f ür Luft- und Raumfahrttechnik

Universit ¨at der Bundeswehr M ¨unchen (UniBw M) matthias.gerdts@unibw.de http://www.unibw.de/ingmathe

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Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts

Funktionen

Inhalt und Ziele der Lehreinheit:

I Uberleitung zur Mathematik II (Analysis)¨

I Darstellung wichtiger Funktionen und deren Eigenschaften

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Funktion

Unter einerFunktionverstehen wir eine Abbildung f : D −→ R

von einemDefinitionsbereich D ⊆ Rin einen Bildbereich (=R).

Wertebereich von f :(=Menge aller Funktionswerte von f auf D) W := {f (x ) | x ∈ D}

Graph von f :

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Funktion

Graph von f :

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Funktion

Graph von f :

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(Affin-)Lineare Funktionen

Eine Funktion f : R −→ R der Form

f (x ) = ax + b (a, b ∈ R)

nennen wiraffin-lineare Funktion.

Definitionsbereich: D = R Wertebereich: W = {ax + b | x ∈ R} = ( R, falls a 6= 0, b, sonst. −b α a b

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(Affin-)Lineare Funktionen

f (x ) = ax + b (a, b ∈ R)

Definitionsbereich: D = R Wertebereich: W = {ax + b | x ∈ R} = ( R, falls a 6= 0, b, sonst. α −b a b

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(Affin-)Lineare Funktionen

f (x ) = ax + b (a, b ∈ R)

Definitionsbereich: D = R Wertebereich: W = {ax + b | x ∈ R} = ( R, falls a 6= 0, b, sonst. −b α a b

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(Affin-)Lineare Funktionen

Beispiel

I Bewegung eines Objektes mit konstanter Geschwindigkeit:

s(t) = vt (t=Zeit, v =Geschwindigkeit, s(t)=zur ¨uckgelegte Strecke)

I Gleichm ¨aßig beschleunigte Bewegung eines Objektes:

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(Affin-)Lineare Funktionen

Beispiel

I Bewegung eines Objektes mit konstanter Geschwindigkeit:

s(t) = vt (t=Zeit, v =Geschwindigkeit, s(t)=zur ¨uckgelegte Strecke)

I Gleichm ¨aßig beschleunigte Bewegung eines Objektes:

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(Affin-)Lineare Funktionen

Eigenschaften affin-linearer Funktionen:1

I Der Graph von f ist eineGerade.

I Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0, b).

I a gibt dieSteigungder Geraden an:

– Im Fall a > 0 w ¨achst die Gerade nach rechts an. – Im Fall a < 0 f ¨allt die Gerade nach rechts ab.

– Im Fall a = 0 verl ¨auft die Gerade parallel zur x-Achse (f ist konstant). I F ¨ur a 6= 0 hat die Gerade genau eineNullstelleim Punkt x = −b_a.

I Der Neigungswinkel α der Geraden (=Winkel zwischen Gerade und x-Achse)

erf ¨ullt tan α = a.

1_{H ¨aufig l ¨asst man das Wort “affin” einfach weg. Streng genommen ist f nur im Fall b = 0 eine lineare Funktion.}

F ür b 6= 0 erhalten wir eine verschobene lineare Funktion, daher der Name “affin-linear”. Eine lineare Funktion erf üllt f (x + y ) = f (x ) + f (y ) und f (cx ) = cf (x ) f ür alle x , y , c ∈ R.

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(Affin-)Lineare Funktionen

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(Affin-)Lineare Funktionen

– Im Fall a = 0 verl ¨auft die Gerade parallel zur x-Achse (f ist konstant).

I F ¨ur a 6= 0 hat die Gerade genau eineNullstelleim Punkt x = −b_a.

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(Affin-)Lineare Funktionen

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(Affin-)Lineare Funktionen

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Quadratische Funktion

f (x ) = ax2+bx + c (a, b, c ∈ R)

nennen wirquadratische Funktionoder

Parabel. Definitionsbereich: D = R Wertebereich: – W = [fs, +∞), falls a > 0, – W = (−∞, fs], falls a < 0. xs = −_2ab fs= 4ac−b 2 4a x1 x2 x y = f (x ) f (x ) = ax2+bx + c

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Quadratische Funktion

f (x ) = ax2+bx + c (a, b, c ∈ R)

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Quadratische Funktion

f (x ) = ax2+bx + c (a, b, c ∈ R)

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Quadratische Funktion

f (x ) = ax2+bx + c (a, b, c ∈ R)

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Quadratische Funktion

Beispiel

I Zur ¨uckgelegte Strecke eines gleichm ¨aßig beschleunigten Objekts: s(t) = s0+v0t + 1 2at 2 t = Zeit s0 = Startposition v0 = Anfangsgeschwindigkeit a = Beschleunigung

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Quadratische Funktion

Eigenschaften quadratischer Funktionen:

I Der Graph von f ist eineParabel, die f ür a > 0 nach oben und f ür a < 0 nach unten ge öffnet ist.

I F ¨ur a 6= 0 ist die x-Koordinate (Abszisse) des Scheitelpunkts von f gegeben durch xs = −_2ab und die y-Koordinate (Ordinate) des Scheitelpunkts von f durch

fs = 4ac−b

2

4a .

I DieNullstellenx1und x2von f sind gegeben durch die quadratische Gleichung

ax2₊_{bx + c = 0, welche die L ¨osungen}

x1,2=

−b ±p

b2_{− 4ac}

2a “Mitternachtsformel”

besitzt.

Abh ¨angig vom Vorzeichen der Diskriminante D = b2_{− 4ac ergeben sich}

–zwei Nullstellen (D > 0),

–eine doppelte Nullstelle (D = 0) oder

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Quadratische Funktion

I F ¨ur a 6= 0 ist die x-Koordinate (Abszisse) des Scheitelpunkts von f gegeben durch xs= −_2ab und die y-Koordinate (Ordinate) des Scheitelpunkts von f durch

fs = 4ac−b

2

4a .

x1,2=

−b ±p

b2_{− 4ac}

besitzt.

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Quadratische Funktion

fs = 4ac−b

2

4a .

x1,2=

−b ±p

b2_{− 4ac}

besitzt.

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Quadratische Funktion

fs = 4ac−b

2

4a .

x1,2=

−b ±p

b2_{− 4ac}

besitzt.

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Polynome

Eine Funktion p : R −→ R der Form

p(x ) = anxn+an−1xn−1+ . . . +a1x + a0 = n X k =0 akxk mit an6= 0

heißtPolynom n-ten Gradesmit denKoeffizienten a0,a1, . . . ,an. Die Polynome 1, x , x2_,_x3_{, . . . ,}_xn_{, . . .}_heißen_{Basispolynome}_oder

Elementarpolynome. Beispiele: I n = 0: konstante Funktionen I n = 1: affin-lineare Funktionen I n = 2: quadratische Funktionen Definitionsbereich: D = R

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Polynome

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Polynome

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Polynome

Basispolynome xn_{f ¨ur n = 0, 1, 2, 3, 5:} -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1 x x**2 x**3 x**5

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Rationale Funktionen

Sind p, q : R −→ R Polynome, so bezeichnet man die Funktion f (x ) = p(x )

q(x ) alsrationale Funktion.

Achtung!

I Rationale Funktionen sind i.a. nicht f ¨ur alle reellen Argumente x definiert und k ¨onnenPolstellenbesitzen.

I Eine Polstelle xsvon f zeichnet sich dadurch aus, dass die Funktion f bei

Ann ¨aherung an xsgegen +∞ oder gegen −∞ strebt.

I Polstellen k ¨onnen nur an denNullstellenvon q auftreten. I Es gibt nur endlich viele Polstellen.

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Rationale Funktionen

Achtung!

(31)

Rationale Funktionen

Achtung!

(32)

Rationale Funktionen

Achtung!

(33)

Rationale Funktionen

Achtung!

I Polstellen k ¨onnen nur an denNullstellenvon q auftreten.

(34)

Rationale Funktionen

Achtung!

(35)

Rationale Funktionen

Einehebbare Polstelleliegt vor, wenn xsNullstelle von p mit Vielfachheit mpund

Nullstelle von q mit Vielfachheit mq≤ mpist.

Beispiel (hebbare Polstelle)

f (x ) =x 3₊_x2_{− x − 1} x + 1 = (x − 1)(x + 1) 2 x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x 2_{− 1.}

xs= −1 ist eine doppelte Nullstelle des Z ¨ahlers und einer einfache Nullstelle des

Nenners.

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Rationale Funktionen

Beispiel (hebbare Polstelle)

f (x ) =x 3₊_x2_{− x − 1} x + 1 = (x − 1)(x + 1) 2 x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x 2_{− 1.}

Nenners.

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Rationale Funktionen

Beispiel (hebbare Polstelle)

f (x ) =x 3₊_x2_{− x − 1} x + 1 = (x − 1)(x + 1)2 x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x2− 1.

Nenners.

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Rationale Funktionen

Beispiel (hebbare Polstelle)

f (x ) =x 3₊_x2_{− x − 1} x + 1 = (x − 1)(x + 1)2 x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x2− 1.

xs = −1 ist eine doppelte Nullstelle des Z ¨ahlers und einer einfache Nullstelle des

Nenners.

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Rationale Funktionen

Beispiel (hebbare Polstelle)

f (x ) =x 3₊_x2_{− x − 1} x + 1 = (x − 1)(x + 1)2 x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x2− 1.

Nenners.

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Rationale Funktionen

Beispiel (hebbare Polstelle)

f (x ) =x 3₊_x2_{− x − 1} x + 1 = (x − 1)(x + 1)2 x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x 2_{− 1.}

Nenners.

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Rationale Funktionen

Falls keine hebbaren Polstellen auftreten oder bereits gek ¨urzt wurde: DieOrdnung der Polstelle xsist gleich der Vielfachheit der Nullstelle xsin q.

Ist die Ordnung gerade, so liegt eine Polstelleohne Vorzeichenwechselvor. Ist die Ordnung ungerade, so liegt eine Polstellemit Vorzeichenwechselvor.

(42)

Rationale Funktionen I

Beispiel

Die rationale Funktion f (x ) = 1

x2 besitzt in x = 0 eine Polstelle 2. Ordnung (ohne

Vorzeichenwechsel). 0 200 400 600 800 1000 -1 -0.5 0 0.5 1 1/x**2

(43)

Rationale Funktionen II

Beispiel

Die rationale Funktion f (x ) = 1

(x −2)3 besitzt in x = 2 eine Polstelle 3. Ordnung (mit

Vorzeichenwechsel). -10000 -5000 0 5000 10000 1 1.5 2 2.5 3 1/(x-2)**3

(44)

Rationale Funktionen III

Beispiel

Die rationale Funktion

f (x ) = x + 2

x3₊_x2_{− x − 1} =

x + 2 (x + 1)2_{(x − 1)}

besitzt in x = −1 eine Polstelle 2. Ordnung (ohne Vorzeichenwechsel) und in x = 1 eine Polstelle 1. Ordnung (mit Vorzeichenwechsel).

-100 -50 0 50 100 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (x+2)/(x**3+x**2-x-1)

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Rationale Funktionen IV

Beispiel

Die rationale Funktion

f (x ) = x 2₊_{3x + 2} x3₊_x2_{− x − 1} = (x + 2)(x + 1) (x + 1)2_{(x − 1)} = (x + 2) (x + 1)(x − 1)

besitzt in x = −1 eine Polstelle 1. Ordnung (mit Vorzeichenwechsel) und in x = 1 eine Polstelle 1. Ordnung (mit Vorzeichenwechsel).

-100 -50 0 50 100 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (x**2+3*x+2)/(x**3+x**2-x-1)

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Rationale Funktionen

Gegeben:

f (x ) = p(x )

q(x ) (rationale Funktion)

mit

I p : Polynom n-ten Grades

I q : Polynom m-ten Grades mit m ≤ n

Polynomdivision:( = Teilen mit Rest) f (x ) = p(x )

q(x ) =h(x ) + r (x ) q(x ) mit

I h : Polynom (n − m)-ten Grades

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Rationale Funktionen

Gegeben:

f (x ) = p(x )

q(x ) (rationale Funktion)

mit

I p : Polynom n-ten Grades

I q : Polynom m-ten Grades mit m ≤ n

Polynomdivision:( = Teilen mit Rest) f (x ) = p(x )

q(x ) =h(x ) + r (x ) q(x ) mit

I h : Polynom (n − m)-ten Grades

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Funktionen

Zusammenfassung:

I Sie wissen, wie ein Polynom n-ten Grades aussieht.

I Sie k ¨onnen Nullstellen f ¨ur ein Polynom 2. Grades ausrechnen.

I Sie wissen, was eine rationale Funktion ist und k ¨onnen Polstellen bestimmen und analysieren.

Diese Funktionen sollte man einfach kennen. Geh ¨ort zur All-gemeinbildung!

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Thanks for your Attention!

Questions?

Further information:

matthias.gerdts@unibw.de www.unibw.de/ingmathe