Differenzialrechnung (Kapitel 8) Umfang 1. Du weisst, welche Ausdr¨ucke mit den Symbolen ∞ und −∞ definiert sind und
kannst in diesen F¨allen das Symbol f¨ur das Resultat angeben. Beispiele:
• −∞+ 5 =−∞
• (−∞)2 =∞
2. Du kannst das asymptotische Verhalten von ganzrationalen Funktionen (d. h. Poly- nomfunktionen) anhand des Leitkoeffizienten untersuchen. Beispiel:
• lim
x→∞(5x2−2x4 + 8) = lim
x→∞(−2x4) =−2· ∞4 =−∞
3. Du kannst gebrochenrationale Funktionen f(x) = p(x)
q(x) = amxm+am−1xm−1+· · ·+a1x+a0
bnxn+bn−1xn−1+· · ·+b1x+b0
in eine der folgenden drei Kategorien einteilen und so ihr asymptotisches Verhalten beschreiben.
• Wenn der Grad des Z¨ahlerpolynoms p(x) kleiner als der Grad des Nennerpo- lyoms ist, w¨achst q(x) schneller als p(x) und es gilt
lim
|x|→∞
p(x) q(x) = 0
⇒die x-Achse (y= 0) ist die Asymptote
• Wenn das Z¨ahlerpolynom p(x) und das Nennerpolyom den gleichen Gradm = n haben, dann w¨achstp(x)
”gleich schell wie“ q(x). Somit gilt:
lim
|x|→∞
p(x) q(x) = am
bm
⇒Die Gerade y= am bm
ist die Asymptote
• Wenn der Grad des Z¨ahlerpolynoms p(x) gr¨osser als der Grad des Nenner- polyoms ist, w¨achst p(x) schneller als q(x). In diesem Fall muss eine Poly- nomdivision durchgef¨uhrt werden, um das Quotientenpolynom g(x) und den asymptotisch vernachl¨assigbaren Restr(x) zu bestimmen:
lim
|x|→∞
p(x)
q(x) = lim
|x|→∞ g(x) +r(x)
= lim
|x|→∞g(x)
⇒Die Gerade bzw. Kurve y=g(x) ist die Asymptote.
4. Du weisst, dass Exponentiafunktionen (mit einer Basisa >1) asymptotisch schneller wachsen als Potenzfunktionen und kannst damit Grenzwerte der Form
• lim
|x|→∞
ax
xr • lim
|x|→∞
xr ax
bestimmen.
5. Du weisst, dass Logarithmusfunktionen (mit einer Basis a >1) asymptotisch lang- samer wachsen und kannst damit Grenzwerte der Form
• lim
x→0
loga(x)
xr • lim
x→0
xr
loga(x) • lim
x→∞
loga(x)
xr • lim
x→∞
xr loga(x) bestimmen.
6. Du kannst das asymptotische Verhalten von zusammengesetzten Funktionen unter- suchen, in denen trigonometrische Funktionen vorkommen.
