Asymptotische Methoden in der Wellenmechanik
Carsten Henkel Wintersemester 2018/19
Ubungsblatt 3¨ Abgabe: 28. November 2018
Aufgabe 3.1– Zur Euler-Konstante (10 Punkte)
Die Euler-Konstante ist definiert als der Grenzwert (log ist der nat¨urliche Loga- rithmus)
= lim
N!1
(
logN +
XN n=1
1 n
)
⇡0.5772. . . (3.1) Zeigen Sie, dass man auch ¨uber die Asymptotik der folgenden Integrale finden kann
= lim
x&0
8<
:logx+
Z1 x
dt t e t
9=
; (3.2)
=
Z1 0
dt t
⇢ 1
1 +t e t (3.3)
Aufg. 6.5 aus C. M. Bender & S. A. Orszag, “Advanced mathematical methods for scientists and engineers” (McGraw-Hill 1978).
Aufgabe 3.2– G¨ultigkeit der gleichm¨aßig asymptotischen N¨aherung (8 Punkte) Untersuchen Sie die Pr¨azision der asymptotischen N¨aherung f¨ur die Bessel- Funktionen, die in der Vorlesung vorgestellt wurde.
1. Sch¨atzen Sie den Term ab, der in der Differentialgleichung f¨ur die Koordinaten-Transformationx7!y(x)vernachl¨assigt wurde.
2. Vergleichen Sie die gleichm¨aßige N¨aherung mit dem asymptotischen Ver- halten der Bessel-Funktionen am Ursprung und im Unendlichen. Unter- suchen Sie, f¨ur welche Drehimpulsquantenzahlen n die f¨uhrenden Terme
¨ubereinstimmen. Was kann man ¨uber die n¨achsth¨oheren Ordnungen sagen?
Aufgabe 3.3– Nichtlineare Schr¨odingergleichung (II) (8 Punkte)
Die nichtlineare Schr¨odingergleichung aus Aufgabe 2.3 untersuchen wir hier f¨ur ein lineares Potential. Wir betrachten also die Verallgemeinerung von Langer’s Analyse auf ein wechselwirkendes Quantengas. Die Aufgabe bezieht sich auf die Arbeiten
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“Asymptotic formula for the condensate wave function of a trapped Bose gas” von Dionisios Margetis [Phys. Rev. A61 (2000) 055601] und
“Excitations at the border of a condensate” von Abdoulaye Diallo und Carsten Hen- kel [J. Phys. B48 (2015) 165302; arXiv:1504.03164].
In geeigneten Einheiten lautet die Gleichung f¨ur die kollektive Wellenfunktion des Systems
d2
dx2 x +| (x)|2 = 0 (3.4)
wobei wir o.B.d.A. annehmen, dass (x) reell und positiv ist. (i) Machen Sie eine Skizze des Potentials.
(ii) Das asymptotische Verhalten wird durch die Formeln
x! 1: (x)⇠p
2 Ai( x) (3.5)
x!+1: (x)⇠p
x
1 c1
x3 c2
x3 +O(xn) (3.6) beschrieben. (Die Relation “⇠” bedeutet: “asymptotisch gleich”.) Tragen Sie dieses Verhalten in Ihre Skizze ein. Warum ist der Vorfaktor in Gl.(3.5) nicht beliebig?
Die Koeffizienten in der Reihe (3.6) wurden von Margetis berechnet:
c1 = 1
8, c2 = 73
128, c3 = 10 657 1024 , c4 = 13 912 277
32 768 , c5 = 8 045 883 943
262 144 , c6 = 14 518 450 612 315 4 194 304 , . . .
(3.7)
(iii) ¨Uberlegen Sie, ob Sie daraus feststellen k¨onnen, ob die Reihe eine konvergente oder eine asymptotische ist.
(iv) Wenn man sich f¨ur kollektive Anregungen des Quantengases interessiert, muss man die folgenden gekoppelten Gleichungen (benannt nach Bogoliubov und de Gennes) l¨osen:
d2f
dx2 +h3| (x)|2 xif =!g d2g
dx2 +h| (x)|2 xig =!f (3.8) wobei ! 0 die Anregungsfrequenz ist. Skizzieren Sie die Potentiale, die auf der linken Seite auftreten und geben Sie die n¨achsten Koeffizienten der asymptotischen Reihe
x 1 : | (x)|2 x⇠ 1
4x2 +. . . (3.9)
an.
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