Asymptotische Methoden in der Wellenmechanik
Carsten Henkel Wintersemester 2018/19
Ubungsblatt 6¨ Abgabe: 30. Januar 2019
Aufgabe 6.1– GREENsche Funktion und ein Brennpunkt (11 Punkte)
(i) Die (kausale) GREENsche Funktion f¨ur die skalare HELMHOLTZ-Gleichung r2U +k2U = 0 ist G(r) = eikr
4⇡r (6.1)
Geben Sie mit Hilfe des GREENschen Theorems eine L¨osung der Helmholtz- Gleichung an, wenn das Feld U und seine Ableitungen auf einer Fl¨ache gegeben sind.
(ii) Zur Veranschaulichung l¨osen Sie die HELMHOLTZ-Gleichung im Halbraum z >0f¨ur den Fall, dass das Feld auf der Fl¨achez = 0die Werte
U(x, y,0) = e±i(x2+y2)/w2, rU(x, y,0) = ikˆzU(x, y,0)
annimmt. Werten Sie die Integrale mit der Methode der station¨aren Phase aus und interpretieren Sie die station¨aren Punkte mit Hilfe der geometrischen Optik.
K¨onnen Sie eine N¨aherung f¨ur das Feld in der N¨ahe des Brennpunkts angeben?
(iii) Die asymptotische N¨aherung f¨ur kleine Wellenl¨angen f¨uhrt f¨ur eine ¨ahnliche Randbedingung auf das ”elliptisch-umbilische Beugungsintegral“
E(x, y, z) = 1 2⇡
Z
dsdt exp i[s3 3st2 z(s2+t2) xs yt] (6.2) wobei die Koordinaten so gew¨ahlt sind, dass im Ursprung ein Brennpunkt vorliegt.
Zeigen Sie, dass das Interferenzmuster f¨ur festes z die Symmetrie eines gleichseiti- gen Dreiecks in derxy-Ebene hat.
Hinweis.Spielen Sie mit komplexen Koordinaten, etwax+ iy, und erinnern Sie sich, wie Dre- hungen in der komplexen Ebene erzeugt werden k¨onnen.
Aufgabe 6.2– Interferometrie mit Neutronen (9 Punkte)
Sie kennen aus der klassischen Mechanik das Problem der Wurfparabel. Derartige Bahnen treten auch f¨ur ultrakalte Neutronen im Schwerefeld auf und wurden be- reits als Beitrag zur “Quanten-Gravitation” angepriesen. Berechnen Sie die Phase
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der Propagatoren K(A, B) undG(A, B;E) aus der Vorlesung f¨ur eine Parabel mit H¨oheH und horizontalem AbstandLzwischen Wurf- und AuftreffpunktA undB, indem Sie das klassische Wirkungsintegral auswerten. K¨onnen Sie zwei Bahnen mit verschiedenen Wurf-Winkeln finden, die die Punkte A und B gemeinsam haben?
Berechnen Sie den Unterschied in der Energie bei fester Laufzeit (K(A, B)) und den Unterschied in der Laufzeit bei fester Energie (G(A, B;E)), sowie die entsprechen- den Phasenunterschiede. Ist es m¨oglich, dass solche Parabeln ein Strahlenb¨undel am Auftreffpunkt fokussieren (¨uber geeignete Anfangsbedingungen nachdenken)?
Das Bild wurde f¨ur eine monochromatische Punktquelle und verschiedene An- stellwinkel gerechnet. Sie erkennen eine Kaustik. K¨onnen Sie f¨ur diese eine Glei- chung finden?
Typische Zahlenwerte f¨ur “ultrakalte Neutronen” (bitte recherchieren) liegen bei Energien im Bereich 1 K, r¨aumliche Dimensionen bei 1. . .10 cm. Die Experimente werden auf der Erde durchgef¨uhrt.
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