Universität Konstanz Alexander Taveira Blomenhofer Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2019
Übungsblatt 9 zur Zahlentheorie
Aufgabe 1. Sei A ein Integritätsring. Fasse für jedes maximale Ideal m von A die LokalisierungAm
=
as|
a∈
A,s∈
A\
m als Unterring des Quotientenkörpers qf(
A)
von Aauf. ZeigeA
=
\mmaximales Ideal vonA
Am.
Aufgabe 2. Sei A ein kommutativer Ring und S
⊆
A multiplikativ. Betrachte die LokalisierungS−1Avon AnachS. Zeige:(a) Für jedes Ideal I von AistS−1I
=
as|
a∈
I,s∈
S ein Ideal des RingesS−1A.(b) Für jedes Primidealpvon Amitp
∩
S=
∅istS−1pein Primideal vonS−1A.(c) Ist I ein Ideal von Aund sindp1, . . . ,pm sowieq1, . . . ,qnPrimideale vonAmit I
=
p1· · ·
pmq1· · ·
qn,wobeipi
∩
S=
∅für allei∈ {
1, . . . ,m}
undqj∩
S6=
∅für allej∈ {
1, . . . ,n}
gelte, so hat manS−1I
=
S−1p1· · ·
S−1pm. (d) Ist Aein Dedekindring, so auchS−1A.Aufgabe 3. SeiR ein kommutativer lokaler Ring und m:
=
R\
R× die Menge seiner Nichteinheiten.(a) Zeige, dass m ein maximales Ideal von R ist und zwar das größte Ideal von R, welches 1 nicht enthält.
(b) Zeige dasLemma von Nakayama: IstM ein endlich erzeugterR-Modul mit M
=
mM,so giltM
=
0.Hinweis:Benutze für (b) den Satz von Cayley-Hamilton.
Abgabebis Mittwoch, den 19. Juni 2019, um 11:44 Uhr in die Zettelkästen neben F411.
