detA= X p∈Sn σ(p)ap(1),1

Determinanten spezieller Matrizen

Die Determinante einiger spezieller n×n-Matrizen Al¨aßt sich unmittelbar angeben.

Dreiecksmatrix (aj,k = 0 f¨ur j <k oder j >k):

detA=a1,1· · ·an,n

Blockdiagonalmatrix (Null bis auf quadratische Diagonalbl¨ocke A_k,k):

detA=Y

k

detA_k,k

Unit¨are und orthogonale Matrix: (A⁻¹ =A^∗):

|detA|= 1

bzw. detA∈ {−1,1}f¨ur a_j,k ∈Rund A⁻¹ =A^t

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Beweis

(i) Obere Dreiecksmatrix:

Wegen detA= detA^t gen¨ugt es, eine obere Dreiecksmatrix zu betrachten.

Permutationp von (1, . . . ,n) ungleich der Identit¨at

=⇒ ∃kmitp(k)>k(k = min{`: p(`6=`)}) =⇒ a_p(k),k = 0

=⇒ detA= X

p∈Sn

σ(p)a_p(1),1· · ·a_p(n),n=a_1,1· · ·a_n,n

(ii) Blockdiagonalmatrix:

betrachte zun¨achst eine Aufteilung in zwei Diagonalbl¨ocke der Gr¨oßen₁ und n2

a_p(1),1· · ·a_p(n),n6= 0 nur f¨ur

p(1),· · · ,p(n₁)≤n₁ ∧ p(n₁+ 1),· · · ,p(n)≥n₁+ 1

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=⇒ Produktform der Determinante:

detA= X

p∈Sn

σ(p) (a_p(1),1· · ·a_p(n1),n1)(a_p(n1+1),n1+1· · ·a_p(n),n) =

= X

q∈Sn1

σ(q)a_q(1),1· · ·a_q(n1),n1 X

r∈Sn2

σ(r)a_n1+r(1),n1+1· · ·a_n1+r(n2),n

= detA1,1detA2,2

Induktion mit Abspaltung von jeweils einem Diagonalblock =⇒ Aussage f¨ur eine Aufteilung in mehr als zwei Bl¨ocke

(iii) Orthogonale und unit¨are Matrix:

Vertauschbarkeit von komplexer Konjugation mit Summen und Produkten, detA= detA^t und det(AB) = detAdetB =⇒

1 = detE = det (A^∗A) = detA^∗detA

= detA^tdetA= detAdetA=|detA|² A reell =⇒ detA∈ {−1,1}

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Beispiel

Determinanten der Matrizen A=





1 4 6

0 −2 5

0 0 3



, B =





1 2 0 3 4 0 0 0 5



, C =





1 −2 2

−2 1 2

2 2 1





A: Dreiecksmatrix =⇒ detA=a_1,1a_2,2a_3,3 = 1·(−2)·3 =−6 B: Blockdiagonalmatrix

1 2 3 4

= 1·4−2·3 =−2, =⇒ detB = (−2)·5 =−10 C/3: orthogonal =⇒ |detC|= 3³|det(C/3)|= 27

Sarrus-Regel

1 −2 2

−2 1 2

2 2 1

= 1·1·1 + (−2)·2·2 + 2·(−2)·2

−2·1·2−2·2·1−1·(−2)·(−2) =−27

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