Formale Sprachen und Komplexit¨ at

(1)

Formale Sprachen und Komplexit¨ at

Sommersemester 2019

Berechenbarkeitstheorie: Teil III Unentscheidbarkeit und Reduktionen

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Letzte ¨Anderung der Folien: 11. Juli 2019

Inhalt

Unentscheidbarkeit des Halteproblems Technik der Reduktion

Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP) Unentscheidbarkeit: Weitere Beispiele (vorallem in der Zentral¨ ubung)

TCS | 10 Berechenbarkeitstheorie III | SoSe 2019 2/48 Entscheidb. Halteprob. Reduktionen PCP

Entscheidbarkeit

Definition

Eine Sprache L ⊆ Σ

^∗

heißt entscheidbar, wenn die charakteristische Funktion von L, χ

_L

: Σ

^∗

→ {0, 1} mit

χ

_L

(w) =

1, falls w ∈ L 0, falls w 6∈ L berechenbar ist.

algorithmisch: Der χ

_L

-berechnende Algorithmus terminiert in jedem Fall und liefert ein Ergebnis.

Semi-Entscheidbarkeit

Definition

Eine Sprache heißt semi-entscheidbar falls χ

⁰_L

: Σ

^∗

→ {0, 1} mit χ

⁰_L

(w) =

1, falls w ∈ L

undefiniert, falls w 6∈ L berechenbar ist.

algorithmisch: Der χ

⁰_L

-berechnende Algorithmus terminiert nur, falls w ∈ L, und l¨ auft anderenfalls endlos.

(2)

Satz

Ein Sprache L ist genau dann entscheidbar, wenn L und L jeweils semi-entscheidbar sind.

Beweis:

” ⇒“ Konstruiere aus TM die χ

_L

berechnet zwei TMs die χ

⁰_L

und χ

⁰

L

berechnen (einfach).

” ⇐“ Gegeben TMs M

_L

und M

_L

, die χ

⁰_L

und χ

⁰

L

berechnen.

Konstruiere TM, die χ

_L

berechnet:

Starte mit i = 1.

Simuliere i-Schritte von M

_L

.

Wenn diese akzeptiert, dann akzeptiere mit Ausgabe 1.

Ansonsten simuliere i-Schritte von M

_L

.

Wenn diese akzeptiert, dann akzeptiere mit Ausgabe 0.

Ansonsten erh¨ ohe i um 1 und starte von neuem.

Korollar

Wenn L entscheidbar, dann ist auch L entscheidbar.

Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit

Definition

Eine Sprache L ⊆ Σ

^∗

heißt rekursiv aufz¨ ahlbar, falls L = ∅ oder falls es eine totale berechenbare Funktion f : N → Σ

^∗

gibt, sodass

L = S

i∈N

f (i). Man sagt dann

” f z¨ ahlt L auf“.

Lemma

Die Sprache Σ

^∗

ist rekursiv-aufz¨ ahlbar.

Beweis: Sei |Σ| = b, n ∈ N . Interpretiere w ∈ Σ

^∗

als b + 1-¨ are Zahl.

Konstruiere TM, die n in Bin¨ ardarstellung auf Eingabeband erh¨ alt.

TM erzeugt auf anderem Band die b + 1-¨ are Darstellung der 0 Anschließend z¨ ahlt die TM die Zahl auf dem Eingabeband um 1 herunter und die b + 1-¨ are Zahl um 1 nach oben.

Dies wird wiederholt bis auf dem Eingabeband die 0 steht Dann steht auf dem anderen Band f (n).

Rekursiv aufz¨ ahlbar = semi-entscheidbar

Satz

Eine Sprache ist genau dann rekursiv aufz¨ ahlbar, wenn sie semi-entscheidbar ist.

Beweis:

” ⇒“ Sei f die totale, berechenbare Funktion, die L aufz¨ ahlt.

Dann berechnet der folgende Algorithmus χ

⁰_L

(w):

F¨ ur i = 0, 1, 2, 3, . . . tue wenn f (n) = w dann

stoppe und gebe 1 aus

” ⇐“ . . .

Rekursiv aufz¨ ahlbar = semi-entscheidbar

” ⇐“ Sei M eine TM, die χ

⁰_L

berechnet.

Wenn L = ∅, dann ist L rekursiv-aufz¨ ahlbar.

Anderenfalls sei u ∈ L ein Wort.

Wir konstruieren TM M

⁰

, die die L aufz¨ ahlende Funktion berechnet.

Sei n eine Eingabe. Wir interpretieren n als c(x, y).

M

⁰

simuliert y Schritte von M bei Eingabe g(x), wobei g die Σ

^∗

aufz¨ ahlende Funktion sei.

Wenn M nach y Schritten g(x) akzeptiert, dann akzeptiert M

⁰

mit Ausgabe g(x). Anderenfalls, akzeptiert M

⁰

mit Ausgabe u.

Die von M

⁰

berechnete Funktion:

f (n) =







w ∈ L, falls w = g(left(n)) und M akzeptiert w in right(n) Schritten

u ∈ L, sonst

f z¨ ahlt L auf, da f¨ ur jedes Wort w ein x existiert mit g(x) = w und ein y existiert, sodass M mit Eingabe w nach y Schritten akzeptiert.

(3)

Zusammenfassung: ¨ Aquivalente Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften sind ¨ aquivalent:

L ist vom Typ 0.

L ist semi-entscheidbar.

L ist rekursiv-aufz¨ ahlbar.

Es gibt eine Turingmaschine M, die L akzeptiert (d.h.

L(M ) = L).

χ

⁰_L

ist Turing-, WHILE-, GOTO-berechenbar.

Es gibt berechenbare Funktionen, die L als Wertebereich (n¨ amlich die L aufz¨ ahlende Funktion) bzw. als

Definitionsbereich (n¨ amlich χ

⁰_L

) haben.

Rekursiv aufz¨ ahlbar 6= abz¨ ahlbar

Sprache L ist abz¨ ahlbar, wenn es eine totale Funktion f : N → L gibt, sodass S

i∈N

f(i) = L.

Beachte: Abz¨ ahlbarkeit fordert nicht das f berechenbar ist!

G¨ odelisierung von Turingmaschinen

Ziel:

Stelle Turingmaschinenbeschreibung als nat¨ urliche Zahl in Bin¨ ardarstellung dar:

Grund:

Andere Turingmaschinen k¨ onnen die Beschreibung als Eingabe erhalten, erzeugen, usw.

G¨ odelisierung von Turingmaschinen (2)

Sei (Z, Σ, Γ, δ, z

₀

, 2 , E) eine DTM mit Σ = {0, 1} und Γ = {a

₀

, . . . , a

_k

} wobei a

₀

= 2 , a

₁

= #, a

₂

= 0, a

₃

= 1 Z = {z

₀

, . . . , z

_n

}

E = {z

_n

}

F¨ ur δ(z

_p

, a

_i

) = (z

_q

, a

_j

, D) erzeuge Wort ¨ uber Alphabet {0, 1, #}:

w

_p,i,q,j,D

= ##bin(p)#bin(i)#bin(q)#bin(j)#bin(D

_m

)

mit D

_m

= 0, falls D = L, D

_m

= 1, falls D = R, D

_m

= 2, falls D = N Kodierung w

_δ

: Schreibe alle δ-Worte hintereinander.

Schließlich: Kodiere Alphabet {0, 1, #} durch {0 7→ 00, 1 7→ 01, # 7→ 11}.

Wende dies auf w

_δ

an.

Wir bezeichnen mit w

_M

die so kodierte TM M.

(4)

G¨ odelisierung von Turingmaschinen (3)

Nicht jedes Wort ¨ uber {0, 1} entspricht der Kodierung einer Turingmaschine.

Sei M c eine beliebige aber feste Turingmaschine.

Definiere f¨ ur jedes w ∈ {0, 1}

^∗

die zugeh¨ orige TM M

_w

: M

_w

:=

M, wenn w = w

_M

M , c sonst

Spezielles Halteproblem

Definition (Spezielles Halteproblem) Das spezielle Halteproblem ist die Sprache

K := {w ∈ {0, 1}

^∗

| M

_w

h¨ alt f¨ ur Eingabe w}

Unentscheidbarkeit von K

Satz

Das spezielle Halteproblem ist nicht entscheidbar (und damit unentscheidbar).

Beweis:

Annahme: K ist entscheidbar.

Dann ist χ

_K

berechenbar, und es gibt TM M , die χ

_K

berechnet.

Konstruiere M

⁰

:

1 M⁰ l¨asstM ablaufen

2 Wenn M mit 0 auf dem Band endet, dann akzeptiertM⁰

3 Wenn M mit 1 auf dem Band endet, dann l¨auftM⁰ in eine Endlosschleife.

start M

”Band1 = 0?“

stop Endlosschleife

ja nein

Unentscheidbarkeit von K (2)

start M

”Band1 = 0?“

stop Endlosschleife

ja nein

TuringmaschineM⁰ Zur Erinnerung:

M berechnetχ_K wobeiK:

K:={w∈ {0,1}^∗|M_wh¨alt f¨ur Eingabew}

Betrachte nun M

⁰

auf der Eingabe w

_M⁰

: Es gilt M

⁰

h¨ alt f¨ ur Eingabe w

_M⁰

g.d.w. M angesetzt auf w

_M⁰

gibt 0 aus g.d.w. χ

_K

(w

_M⁰

) = 0

g.d.w. w

_M⁰

6∈ K

g.d.w. M

⁰

h¨ alt nicht f¨ ur Eingabe w

_M⁰

(5)

Unentscheidbarkeit von K (3)

M

⁰

h¨ alt f¨ ur Eingabe w

_M⁰

⇐⇒ M

⁰

h¨ alt nicht f¨ ur Eingabe w

_M⁰

Widerspruch!

Annahme war falsch!

K ist nicht entscheidbar, sondern unentscheidbar.

Diagonalisierungsargument

w

₁

w

₂

w

₃

w

₄

. . . w

_D

M

_w₁

ja nein ja . . . . . . . . . M

_w₂

nein nein ja . . . . . . . . . M

_w₃

ja nein ja . . . . . . . . . M

_w₄

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M

_w_D

nein ja nein . . . . . . ??

Spalten: alle Worte ¨ uber {0, 1}: w

₁

, w

₂

, . . . Zeilen: alle TMs M

_w₁

, M

_w₂

, . . ..

Eintrag in Zeile i und Spalte j: ja, wenn M

_w_i

Bei Eingabe w

_j

akzeptiert, nein sonst.

Diagonalsprache: L

_D

= {w

_i

| M

_w_i

h¨ alt nicht f¨ ur Eingabe w

_i

} Sei w

_D

die TM-Beschreibung von TM M

_w_D

, die χ

_L_D

berechnet.

Reduktion

Hilfsmittel, um Unentscheidbarkeit nachzuweisen

Statt Unentscheidbarkeit von Sprache L von Grundauf neu zu beweisen, zeige:

Wenn man L entscheiden k¨ onnte, dann k¨ onnte man auch L

₀

entscheiden.

Wenn L

₀

bereits als unentscheidbar gezeigt, folgt L ist unentscheidbar.

Reduktion (Definition)

Definition (Reduktion (einer Sprache auf eine andere)) Sei L

₁

⊆ Σ

^∗₁

und L

₂

⊆ Σ

^∗₂

Sprachen.

Dann sagen wir L

₁

ist auf L

₂

reduzierbar (geschrieben L

₁

≤ L

₂

), falls es eine totale und berechenbare Funktion f : Σ

^∗₁

→ Σ

^∗₂

gibt, sodass f¨ ur alle w ∈ Σ

^∗₁

gilt: w ∈ L

₁

⇐⇒ f (w) ∈ L

₂

Satz

Wenn L

₁

≤ L

₂

und L

₂

entscheidbar (bzw. semi-entscheidbar) ist, dann ist auch L

₁

entscheidbar (bzw. semi-entscheidbar).

Beweis (nur entscheidbar, semi-entscheidbar analog):

Sei f die L

₁

≤ L

₂

bezeugende (und berechenbare) Funktion.

Da L

₂

entscheidbar, ist χ

_L₂

berechenbar. Damit ist auch χ

_L₁

(w) := χ

_L₂

(f (w)) berechenbar. Offensichtlich gilt χ(L

₁

)(w) :=

1, w ∈ L

₁

0, w 6∈ L

₁

=

1, f (w) ∈ L

₂

0, f (w) 6∈ L

₂

= χ

_L₂

(f (w))

(6)

Unentscheidbarkeit

Mit Kontraposition folgt:

Lemma

Sei L

₁

≤ L

₂

und L

₁

ist unentscheidbar.

Dann ist auch L

₂

unentscheidbar.

Das ist die Richtung, die wir meistens brauchen:

L

₁

sei eine bekannt unentscheidbare Sprache

Reduziere L

₁

auf L

₂

durch Angabe einer berechenbaren Funktion f mit w ∈ L

₁

⇐⇒ f(w) ∈ L

₂

.

Damit folgt, dass L

₂

unentscheidbar ist.

Halteproblem

Definition (Halteproblem)

Das (allgemeine) Halteproblem ist definiert als H := {w#x | TM M

_w

h¨ alt f¨ ur Eingabe x}

Satz

Das allgemeine Halteproblem ist unentscheidbar.

Beweis: Wir reduzieren das spezielle Halteproblem auf das allgemeine Halteproblem, und zeigen daher K ≤ H . Sei f(w) = w#w. Dann gilt

w ∈ K

g.d.w. M

_w

h¨ alt f¨ ur Eingabe w g.d.w. w#w ∈ H

g.d.w. f(w) ∈ H

f kann durch eine TM berechnet werden. Damit gilt K ≤ H und damit folgt aus K unentscheidbar auch H unentscheidbar.

Halteproblem bei leerer Eingabe

Definition

Das Halteproblem auf leerem Band ist die Sprache H

₀

= {w | M

_w

h¨ alt f¨ ur die leere Eingabe}

Satz

Das Halteproblem auf leerem Band ist unentscheidbar.

Beweis: Wir reduzieren H auf H

₀

: Sei f (w

_M

#x) = w

_M_0,x

, wobei TM M

_0,x

erst x auf das Band schreibt, sich dann wie M verh¨ alt.

w

_M

#x ∈ H

g.d.w. M

_w

h¨ alt f¨ ur Eingabe x

g.d.w. M

_0,x

h¨ alt f¨ ur die leere Eingabe g.d.w. w

_M_0,x

∈ H

₀

g.d.w. f (w

_M

#x) ∈ H

₀

Funktion f kann durch eine TM berechnet werden. Daher gilt H ≤ H

₀

. Da H unentscheidbar, ist H

₀

unentscheidbar.

Der Satz von Rice

Von Henry Gordon Rice im Jahr 1953 ver¨ offentlicht.

Satz von Rice

Sei R die Klasse aller Turingberechenbaren Funktionen. Sei S eine beliebige Teilmenge, sodass ∅ ⊂ S ⊂ R. Dann ist die Sprache

C(S) = {w | die von M

_w

berechnete Funktion liegt in S}

unentscheidbar.

Der Satz zeigt:

Fast alle interessanten Eigenschaften von TMs sind algorithmisch nicht entscheidbar.

Z.B. folgt, dass die Sprache

L = {w | M

_w

berechnet eine konstante Funktion}

nicht entscheidbar ist.

(7)

Beweis des Satzes von Rice

Sei Ω(x) = ⊥ f¨ ur alle x.

Zeige:

1

H

₀

≤ C(S) f¨ ur den Fall Ω 6∈ S.

In diesem Fall folgt aus der Unentscheidbarkeit von H

₀

die Unentscheidbarkeit von C(S)

2

H

₀

≤ C(R \ S) falls Ω ∈ S.

In diesem Fall folgt aus der Unentscheidbarkeit von H

₀

die Unentscheidbarkeit von C(R \ S) und damit auch die Unentscheidbarkeit von C(S), denn C(S) = C(R \ S) und

∀L : L entscheidbar ⇐⇒ L entscheidbar.

Wir beweisen nur 1), da 2) komplett analog geht.

Beweis des Satzes von Rice (2)

Fall: Ω 6∈ S. Da ∅ ⊂ S, gibt es q ∈ S, die von einer TM Q berechnet wird.

Konstruktion einer TM M

^∗

: F¨ ur TM M und Eingabe y:

1

M

^∗

simuliert M auf leerer Eingabe.

2

Wenn M anh¨ alt, dann simuliert M

^∗

die TM Q mit Eingabe y.

Sei f die Funktion, die aus Beschreibung w f¨ ur TM M

_w

, die Beschreibung f (w) von M

_w^∗

erstellt.

Dann gilt: w ∈ H

₀

= ⇒ M

_w

h¨ alt auf leerer Eingabe

= ⇒ M

_w^∗

berechnet q

= ⇒ die von M

_w^∗

berechnete Funktion liegt S

= ⇒ f(w) ∈ C(S)

und ebenso: w 6∈ H

₀

= ⇒ M

_w

h¨ alt nicht auf leerer Eingabe

= ⇒ M

_w^∗

berechnet Ω

= ⇒ die von M

_w^∗

berechnete Funktion liegt nicht in S

= ⇒ f(w) 6∈ C(S)

Da f berechenbar und w ∈ H

₀

⇐⇒ f (w) ∈ C(S) und somit H

₀

≤ C(S).

Das Postsche Korrespondenzproblem

Motivation

Das Postsche Korrespondenzproblem ist ein einfaches aber unentscheidbares Problem

Wird h¨ aufig verwendet, um es auf andere Probleme zu reduzieren und deren Unentscheidbarkeit zu zeigen Vorgeschlagen von Emil Post im Jahr 1946

Definition des Postschen Korrespondenzproblems

Definition (Postsches Korrespondenzproblem)

Gegeben sei ein Alphabet Σ und eine Folge von Wortpaaren K = {(x

₁

, y

₁

), . . . , (x

_k

, y

_k

)} mit x

_i

, y

_i

∈ Σ

⁺

. Das Postsche

Korrespondenzproblem (PCP) ist die Frage, ob es f¨ ur die gegebene Folge K eine Folge von Indizes i

₁

, . . . , i

_m

mit i

_j

∈ {1, . . . , k} gibt, sodass x

_i₁

· · · x

_i_m

= y

_i₁

· · · y

_i_m

gilt.

(8)

PCP ist wie ein Domino-Spiel

Spielsteinarten: ( x

₁

y

_n

, . . . , x

_k

y

_k

)

Gesucht: Aneinandereihung der Spielsteine, sodass oben wie unten dasselbe Wort abgelesen werden kann. Dabei d¨ urfen beliebig (aber endlich) viele Spielsteine verwendet werden.

Beispiel:

Sei K = ( a

aba

, baa

aa

, ab

bb

)

I = (1, 2, 3, 2) ist eine L¨ osung, da a

aba baa

aa ab bb

baa aa

= abaaabbaa

PCP-Beispiel

Instanz K = ( ab

bba

, ba

baa

, ba

aba

, bba

b

)

Die k¨ urzeste L¨ osung ben¨ otigt 66 Paare:

(2, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 3, 1, 4, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 4, 2, 4, 4, 4, 3, 1, 3, 1, 4, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 4, 4, 3, 1, 4, 4, 3, 4, 4, 3, 4, 2, 4, 1, 4, 4, 3).

Unentscheidbarkeit von PCP

Beweis in 2 Schritten:

1

MPCP ≤ PCP

MPCP ist das Modifzierte Postsche Korrespondenzproblem:

Nur L¨ osungen zul¨ assig, die mit dem ersten Spielstein x

₁

y

₁

beginnen

2

H ≤ MPCP

Damit folgt aus der Unentscheidbarkeit von H die

Unentscheidbarkeit von MPCP und damit die Unentscheidbarkeit von PCP.

Modifziertes PCP

Definition (Modifiziertes Postsches Korrespondenzproblem) Gegeben sei ein Alphabet Σ und eine Folge von Wortpaaren K = {(x

₁

, y

₁

), . . . , (x

_k

, y

_k

)} mit x

_i

, y

_i

∈ Σ

⁺

. Das Modifizierte Postsche Korrespondenzproblem (MPCP) ist die Frage, ob es f¨ ur die gegebene Folge K eine Folge von Indizes 1, i

₂

, . . . , i

_m

mit i

_j

∈ {1, . . . , k} gibt, sodass x

_i₁

· · · x

_i_m

= y

_i₁

· · · y

_i_m

gilt.

(9)

MPCP ≤ PCP

Lemma MPCP ≤ PCP

Beweis: Gesucht: f mit: K MPCP-l¨ osbar g.d.w. f (K) PCP-l¨ osbar.

F¨ ur w = a

₁

· · · a

_n

∈ Σ

⁺

sei:

¯

w=#a1#a2#· · ·#an# w=a´ 1#a2#· · ·#an# w=#a` 1#a2#· · ·#an

Sei f x

₁

y

₁

, . . . , x

_k

y

_k

= x ¯

₁

` y

₁

| {z }

(x⁰₁,y₁⁰)

, x ´

₁

` y

₁

| {z }

(x⁰₂,y₂⁰)

, . . . , x ´

_k

` y

_k

| {z }

(x⁰_k+1,y_k+1⁰ )

, $

#$

| {z }

(x⁰_k+2,y⁰_k+2)

1, i

2

, . . . , i

m

L¨ osung f¨ ur K ⇒ 1, i

2

+1, . . . , i

m

+1, . . . , k+2 L¨ osung f¨ ur f(K).

i

1

, . . . , i

m

L¨ osung f¨ ur f(K) ⇒ i

1

, i

2

− 1, . . . , i

_m−1

− 1 L¨ osung f¨ ur K

F¨ur L¨osungen muss gelten:i1= 1, xim

yim

=

$

#$

und

xij

yij

= ´xj(r)

` yj(r)

f¨ur2≤ij≤im−1 TCS | 10 Berechenbarkeitstheorie III | SoSe 2019 33/48 Entscheidb. Halteprob. Reduktionen PCP

H ≤ MPCP

Lemma H ≤ MPCP.

Beweis:

m#w mit Turingmaschinenbeschreibung m und Eingabe w Erstelle MPCP-Instanz K = f(m#w), so dass TM M

_m

auf Eingabe w genau dann anh¨ alt, wenn K l¨ osbar.

Sei M

_m

= (Z, Σ, Γ, δ, z

₀

, 2 , E).

Alphabet f¨ ur das MPCP Γ ∪ Z ∪ {#}.

Idee L¨ osung des MPCP simuliert Transitionsfolge der TM.

Erstes Wortpaar (mit dem jede L¨ osung anfangen muss):

x

₁

y

₁

=

#

#z

₀

w#

Weitere Paare lassen sich in Gruppen von Regeln aufteilen Kopierregeln, Transitionsregeln, L¨ oschregeln, Abschlussregeln

H ≤ MPCP: Kopierregeln

a a

f¨ ur alle a ∈ Γ ∪ {#}

H ≤ MPCP: Transitionsregeln

za z

⁰

c

falls δ(z, a) = (z

⁰

, c, N ) za

cz

⁰

falls δ(z, a) = (z

⁰

, c, R) bza

zbc

⁰

falls δ(z, a) = (z

⁰

, c, L) f¨ ur alle b ∈ Γ #za

#z

⁰

2 c

falls δ(z, a) = (z

⁰

, c, L) z#

z

⁰

c#

falls δ(z, 2 ) = (z

⁰

, c, N ) z#

cz

⁰

#

falls δ(z, 2 ) = (z

⁰

, c, R) bz#

z

⁰

bc#

falls δ(z, 2 ) = (z

⁰

, c, L) f¨ ur alle b ∈ Γ

(10)

H ≤ MPCP: L¨ oschregeln und Abschlussregeln

L¨ oschregeln:

az

_e

z

_e

f¨ ur alle a ∈ Γ, z

_e

∈ E z

_e

a

z

_e

f¨ ur alle a ∈ Γ, z

_e

∈ E

Abschlussregeln:

z

_e

##

#

f¨ ur alle z

_e

∈ E

H ≤ MPCP: Korrespondenz

Wenn T M akzeptierenden Lauf hat, dann gibt es Folge K

₀

` K

₁

` . . . ` K

_n

,

wobei K

₀

= z

₀

w und K

_n

= uz

_e

v f¨ ur ein z

_e

∈ E.

Dann hat das MPCP eine L¨ osung, die oben und unten das Wort

#K

₀

#K

₁

# · · · #K

_n

#K

_n+1

# · · · #K

_m

##

erzeugt, wobei K

_m

= z

_e

und jedes K

_i

mit n + 1 ≤ i ≤ m jeweils aus K

_i−1

entsteht durch L¨ oschen eines der benachbarten Zeichen von z

_e

in u

⁰

z

_e

v

⁰

entsteht.

H ≤ MPCP: Korrespondenz (2)

Obere Folge hinkt der unteren um eine Konfiguration hinterher oben: #K

₁

#K

₂

# · · · #K

_i

#

unten: #K

₁

#K

₂

# · · · #K

_i

#K

_i+1

# Verl¨ angerung, um die n¨ achste:

Kopierregel anwenden bis in die N¨ ahe des Zustands Dann ¨ Uberf¨ uhrungsregel anwenden

Kopierregel anwenden zum Vervollst¨ andigen

Ab K

_n

: L¨ oschregeln anwenden, um die Symbole auf dem Band zu l¨ oschen.

Untere Folge hat z

_e

# stehen, dann Abschlussregel anwenden.

Umgekehrte Richtung

Jede L¨ osung f¨ ur das MPCP erzeugt eine akzeptierende Konfigurationsfolge.

Schließlich pr¨ ufe, dass f berechenbar ist.

Daher folgt: m#w ∈ H ⇐⇒ M P CP f (m#w) l¨ osbar

(11)

Unentscheidbarkeit PCP und MPCP

Satz

Das Postsche Korrespondenzproblem (sowie das modifizierte Postsche Korrespondenzproblem) ist unentscheidbar.

Beweis: Da H unentscheidbar ist und H ≤ MPCP ≤ PCP gilt, folgt, dass MPCP als auch PCP unentscheidbar sind.

01-PCP

Lemma (Unentscheidbarkeit des 01-PCP)

Das Postsche Korrespondenzproblem ¨ uber dem Alphabet Σ mit

|Σ| = 2 (01-PCP) ist unentscheidbar.

Beweis:

Reduziere PCP auf 01-PCP Sei Σ = {0, 1}.

Sei K = (x

₁

, y

₁

), . . . , (x

_k

, y

_k

) eine Instanz des PCP ¨ uber dem Alphabet {a

₁

, . . . , a

_j

}.

Sei f(ε) = ε, f(a

_i

) = 10

ⁱ

, f (a

_i

w) = f(a

_i

)f(w) und f (K) = (f (x

₁

), f (y

₁

)), . . . , (f (x

_k

), f (y

_k

)).

Dann ist f (K) eine Instanz des 01-PCPs und offensichtlich gilt: i

₁

, . . . , i

_n

ist eine L¨ osung f¨ ur K g.d.w. i

₁

, . . . , i

_n

ist eine L¨ osung f¨ ur f(K).

f ist Turingberechenbar und daher folgt PCP ≤ 01-PCP

PCP mit un¨ arem Alphabet

Lemma

Das PCP f¨ ur un¨ are Alphabete ist entscheidbar.

Beweis:

Alle Spielsteine von der Form a

ⁿ

a

^m

.

Wenn f¨ ur alle (x

_i

, y

_i

): |x

_i

| < |y

_i

|, dann gibt es keine L¨ osung.

Wenn f¨ ur alle (x

_i

, y

_i

): |x

_i

| > |y

_i

|, dann gibt es keine L¨ osung.

Wenn (x

_i

, y

_i

) = (a

ⁿ

, a

^n+r

) und (x

_j

, y

_j

) = (a

^m+s

, a

^m

) mit s, r ≥ 0, dann ist das PCP immer l¨ osbar:

Die L¨ osung ist i, . . . , i

| {z }

s-mal

, j, . . . , j

| {z }

r-mal

, denn:

oben a

s·n+r·(m+s)

und unten a

s·(n+r)+r·m

. Daher oben wie unten (sn + rm + rs)-viele a’s

Anzahl k der Spielsteinarten beschr¨ anken

PCP mit k-vielen verschiedenen Spielsteinarten:

k = 1 oder k = 2: als entscheidbar gezeigt, im Jahr 1982 k ≥ 5: als unentscheidbar gezeigt im Jahr 2015

(vorher war k ≥ 7 bekannt (1996) k = 3, 4: unbekannt

(12)

PCP semi-entscheidbar

PCP ist semi-entscheidbar:

Probiere alle Folgen von i-Spielsteinen aus.

L¨ asse i wachsen.

Findet L¨ osung, wenn eine existiert, in endlich vielen Schritten, aber nichtterminiert, wenn keine L¨ osung existiert.

Universelle Turingmaschine

Da H ≤ PCP folgt auch, dass H semi-entscheidbar ist.

Daher: Es gibt Turingmaschine U, die die sich bei Eingabe w#x so verh¨ alt wie M

_w