3 Der Divergenzsatz

3.1 Die Transformationsformel

Zur Motivation: Aus der Integralrechnung in einer Ver¨ anderlichen kennt man die Substitutionsregel: Ist ϕ : [α, β] → R stetig differenzierbar, ϕ([α, β]) ⊂ I und f : I → R stetig, so ist

Z

f(x) dx = Z

α

f (ϕ(t)) · ϕ

(t) dt.

Dabei muss man beachten, dass auf der linken Seite der Substitutionsformel die nat¨ urliche Integrationsrichtung je nach Vorzeichen von ϕ

beibehalten oder umge- kehrt wird, dass aber R

b

f (x) dx = − R

a

f (x) dx ist. Ist J = [α, β], so muss man also schreiben:

Z

ϕ(J)

f dµ

= Z

J

(f ◦ ϕ)|ϕ

| dµ

.

Diese Formel soll auf Funktionen von mehreren Ver¨ anderlichen verallgemeinert wer- den.

Als erstes wollen wir sicherstellen, dass Nullmengen bei einer stetig differenzierba- ren Transformation keine Rolle spielen.

1.1. Bilder von Nullmengen

Sei B ⊂ R

offen, A ⊂ B eine (Lebesgue-)Nullmenge und f : B → R

stetig differenzierbar. Dann ist auch f (A) eine Nullmenge.

Beweis: Es reicht, f¨ ur jeden abgeschlossenen Quader Q ⊂ B zu zeigen, dass f (A ∩ Q) eine Nullmenge ist (denn man kann B durch abz¨ ahlbar viele solcher Quader ¨ uberdecken). Da f stetig differenzierbar ist, gibt es zu jedem kompakten Quader Q ⊂ B eine Konstante C > 0, so dass

kDf (x)k

:= sup{kDf (x)(v)k : kvk ≤ 1} ≤ C

f¨ ur alle x ∈ Q ist. Wir halten einen Quader Q und die zugeh¨ orige Konstante C fest. Da Q konvex ist, geh¨ ort zu je zwei Punkten x, y ∈ Q auch die ganze Verbindungsstrecke zu Q (und damit zu B). Aus dem Mittelwertsatz folgt, dass es einen Punkt z auf der Verbindungsstrecke mit

f (y) − f (x) = Df (z)(y − x) gibt. Dann ist aber

1Dieser Satz wurde nicht in der Vorlesung bewiesen!

kf (x) − f (y)k ≤ C · kx − yk.

Sei nun ε > 0 vorgegeben. Es gibt eine Folge (W

) von W¨ urfeln mit A ⊂

∞

[

k=1

W

und

∞

X

k=1

µ

(W

) < ε.

Sei a

der Mittelpunkt von W

= {x : |x − a

| < d

/2}, also d

seine Kantenl¨ ange.

Dann ist µ

(W

) = d

und P

k=1

d

< ε.

Sei |. . .| die Maximumsnorm und k. . .k die euklidische Norm. F¨ ur x ∈ W

ist

|f (x) − f (a

)| ≤ kf (x) − f (a

)k ≤ C · kx − a

k

≤ C · √

n · |x − a

| < C · √ n · d

2 .

Also liegt f (W

) in einem W¨ urfel W

mit Mittelpunkt f (a

) und Seitenl¨ ange ≤ C · √

n · d

. Das bedeutet, dass µ

(W

) ≤ (C · √

n · d

)

ist.

Dann liegt f (A) in S

k

W

und es ist µ

(f (A)) ≤ (C √

n)

· ε. Weil ε beliebig klein gew¨ ahlt werden kann, muss f (A) eine Nullmenge sein.

Unser Ziel ist der Beweis des folgenden Satzes:

1.2. Die Transformationsformel

Sei U ⊂ R

offen, ϕ : U → V ein C

-Diffeomorphismus auf eine offene Menge V ⊂ R

.

1. Eine Funktion f : V → R ist genau dann integrierbar, wenn (f ◦ ϕ) · |det Dϕ| : U → R

integrierbar ist.

2. Ist f : V → R integrierbar, so ist Z

V

f(y) dµ

= Z

U

f ◦ ϕ(x)|det Dϕ(x)| dµ

.

Zun¨ achst betrachten wir die folgende

1.3. Spezielle Transformationsformel

Wie oben sei ϕ : U → V ein C

-Diffeomorphismus. Ist Q ⊂ V ein abgeschlosse- ner Quader, so ist ϕ

(Q) endlich messbar und

µ

(Q) = Z

ϕ⁻¹(Q)

|det Dϕ(x)| dµ

.

Bemerkung: Da ϕ ein Hom¨ oomorphismus ist, ist ϕ

(Q) kompakt und damit endlich messbar. Die stetige Funktion |det Dϕ(x)| ist nat¨ urlich ¨ uber ϕ

(Q) inte- grierbar. Es bleibt also nur die Formel zu zeigen.

1.4. ¨ Aquivalenz von allgemeiner und spezieller Formel

Sei ϕ ein fester C

-Diffeomorphismus. Die Transformationsformel gilt genau dann f¨ ur jede integrierbare Funktion f : V → R , wenn die spezielle Transfor- mationsformel f¨ ur jeden Quader Q ⊂ V gilt.

Beweis:

Gilt die allgemeine Transformationsformel, so ergibt sich die spezielle, indem man f = χ

setzt.

Sei umgekehrt die spezielle Transformationsformel f¨ ur jeden abgeschlossenen Qua- der Q ⊂ V (und damit die allgemeine Formel f¨ ur f = χ

) bewiesen. Da in der allgemeinen Formel beide Seiten linear in f sind, folgt sie sofort f¨ ur Treppenfunk- tionen τ, die außerhalb von V verschwinden.

Ist g ∈ L

, g ≥ 0 und g = 0 außerhalb von V , so gibt es eine Folge (τ

) von Treppenfunktionen, die fast ¨ uberall monoton wachsend gegen g konvergiert, so dass

Z

g dµ

= lim

ν→∞

Z

τ

dµ

ist. Wir k¨ onnen annehmen, dass 0 ≤ τ

≤ g f¨ ur alle ν gilt. Dann verschwinden auch alle τ

außerhalb von V .

Wir haben schon gezeigt, dass R

V

τ

(y) dµ

= R

U

τ

◦ ϕ(x)|det Dϕ(x)| dµ

ist.

Die Folge der integrierbaren Funktionen g

:= (τ

◦ ϕ) · |det Dϕ| konvergiert fast

¨ uberall monoton wachsend gegen (g ◦ϕ)·|det Dϕ|. Da die Folge der Integrale wegen der schon bewiesenen Transformationsformel f¨ ur Treppenfunktionen gegen R

g dµ

konvergiert und damit insbesondere beschr¨ ankt bleibt, folgt aus Levi’s Satz von der monotonen Konvergenz, dass (g ◦ ϕ) · |det Dϕ| uber ¨ U integrierbar ist und die Integrale R

U

g

(x) dµ

gegen R

U

g ◦ϕ(x)|det Dϕ(x)| dµ

konvergieren. Damit ist die allgemeine Transformationsformel f¨ ur g bewiesen.

Da jede integrierbare Funktion in der Form f = f

− f

als Differenz von zwei po- sitiven integrierbaren Funktionen geschrieben werden kann, brauchen wir im allge- meinen Fall nur eine integrierbare Funktion f ≥ 0 zu betrachten, die außerhalb von V verschwindet. Dann gibt es Funktionen g, h ∈ L

, die ≥ 0 sind und außerhalb von V verschwinden, so dass f = g − h ist. Die allgemeine Transformationsformel folgt nun f¨ ur f aus der Linearit¨ at des Integrals. Und dass aus der Integrierbarkeit der Funktion (f ◦ ϕ) · |det Dϕ| auch die Integrierbarkeit von f folgt, erh¨ alt man aus den obigen Betrachtungen, indem man ϕ durch ϕ

ersetzt.

2Auch dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgef¨uhrt!

1.5. G¨ ultigkeit f¨ ur Permutationen der Koordinaten

Ist ϕ eine Permutation der Koordinaten, so gilt die spezielle (und damit auch die allgemeine) Transformationsformel.

Beweis: Sei σ ∈ S

eine Permutation und ϕ(x

, . . . , x

) = (x

, . . . , x

).

Dann ist |det Dϕ(x)| ≡ 1. Es ist also nur zu zeigen, dass µ

(Q) = µ

(ϕ

(Q)) f¨ ur jeden Quader Q gilt. Das ist aber trivial.

1.6. Verkettung von Transformationen

Gilt die spezielle Transformationsformel f¨ ur ϕ : U → V und f¨ ur ψ : V → W , so gilt sie auch f¨ ur ψ ◦ ϕ : U → W .

Beweis: Es wurde schon gezeigt, dass aus der speziellen auch die allgemeine Transformationsformel folgt. Ist Q ⊂ W ein abgeschlossener Quader, so ist A :=

ψ

(Q) eine endlich messbare kompakte Teilmenge von V . Die stetige Funktion

|det Dψ(y)| ist ¨ uber A integrierbar, also auch χ

· |det Dψ| uber ¨ R

, und es gilt:

µ

(Q) = Z

ψ⁻¹(Q)

|det Dψ(y)| dµ

= Z

V

χ

(y)|det Dψ(y)| dµ

= Z

U

χ

◦ ϕ(x)|det Dψ(ϕ(x))| · |det Dϕ(x)| dµ

= Z

U

χ

◦ (ψ ◦ ϕ)(x)|det D(ψ ◦ ϕ)(x)| dµ

= Z

(ψ◦ϕ)⁻¹(Q)

|det D(ψ ◦ ϕ)(x)| dµ

Damit ist alles gezeigt.

Schließlich brauchen wir noch die folgende Aussage:

1.7. Vom Lokalen zum Globalen

Jeder Punkt x ∈ U besitze eine offene Umgebung W ⊂ U , so dass die spezi- elle Transformationsformel f¨ ur ϕ|

: W → ϕ(W ) gilt. Dann gilt die spezielle Transformationsformel auch f¨ ur ϕ : U → V .

Beweis: Das System W aller offenen Kugeln in U mit rationalem Mittelpunkt

und rationalem Radius ist abz¨ ahlbar, und jede offene Teilmenge W ⊂ U ist Ver-

einigung solcher Kugeln. Nun sei W

= {W

: j ∈ N } das Teilsystem derjenigen

Kugeln aus W , die in einer offenen Menge W enthalten sind, auf der die speziel-

le (und damit auch die allgemeine) Transformationsformel gilt. Dann ist W

eine

abz¨ ahlbare offene ¨ Uberdeckung von U , und die Transformationsformel gilt auch

f¨ ur alle Einschr¨ ankungen ϕ|

, j ∈ N . Weil ϕ ein Diffeomorphismus ist, stellen die Mengen V

:= ϕ(W

) eine ¨ Uberdeckung von V dar.

Sei Q ⊂ V ein abgeschlossener Quader. Wir setzen A

:= Q ∩ V

und A

:=

(Q ∩ V

) \ (A

∪ . . .∪ A

). Dann sind alle Mengen A

messbar, und Q ist disjunkte Vereinigung der A

.

Nun gilt:

Z

ϕ⁻¹(Q)

|det Dϕ(x)| dµ

=

∞

X

j=1

Z

ϕ⁻¹(Aj)

|det Dϕ(x)| dµ

=

∞

X

j=1

Z

Wj

χ

◦ ϕ(x)|det Dϕ(x)| dµ

=

∞

X

j=1

Z

ϕ(Wj)

χ

(y) dµ

=

∞

X

j=1

µ

(A

) = µ

(Q).

Das war zu zeigen.

Beim Beweis der Transformationsformel setzen wir nun alle Bausteine zusam- men:

Sei x

∈ U . Es gen¨ ugt zu zeigen, dass es eine offene Umgebung U

von x

in U gibt, so dass die spezielle Formel f¨ ur ϕ|

gilt. Wir f¨ uhren Induktion nach n. Der Induktionsanfang ergibt sich aus der Substitutionsregel (mit U

= U ).

Wir nehmen nun an, dass n ≥ 2 und die Behauptung schon f¨ ur n − 1 bewiesen ist. Weil Dϕ(x

) 6= 0 ist und eine Permutation der Koordinaten nichts ausmacht, k¨ onnen wir annehmen, dass ∂ϕ

∂x

(x

) 6= 0 ist. Wir setzen dann ψ(x

, . . . , x

) := (ϕ

(x

, . . . , x

), x

, . . . , x

).

Weil det J

(x

) 6= 0 ist, ist ψ lokal invertierbar. Nach ¨ Ubergang zu geeigneten kleineren Umgebungen (die wir wieder mit U und V bezeichnen) setzen wir

%(y) := ϕ ◦ ψ

(y) und erhalten folgendes kommutative Diagramm:

U V

W ϕ

ψ % = ϕ ◦ ψ

Dabei ist W eine geeignete offene Menge. Weil einerseits % ◦ ψ(x

, . . . , x

) = ϕ(x

, . . . , x

) = (ϕ

(x), . . . , ϕ

(x)) und andererseits

% ◦ ψ(x

, . . . , x

) = %(ϕ

(x), x

, . . . , x

) ist, folgt:

%(y

, . . . , y

) = (y

, %

(y), . . . , %

(y)).

ϕ = % ◦ ψ setzt sich also aus Abbildungen zusammen, von denen jede mindestens eine Komponente festl¨ asst. Weil Permutationen der Koordinaten keine Rolle spie- len, k¨ onnen wir o.B.d.A. annehmen, dass ϕ(x

, . . . , x

) = (x

, ϕ

(x), . . . , ϕ

(x)) ist. Wir schreiben:

ϕ(t, z) = (t, ϕ

(z)),

wobei ϕ

eine Abbildung von U

:= {z : (t, z) ∈ U } nach R

ist. F¨ ur die Funktionalmatrix von ϕ gilt dann:

J

(t, z) =











1 0 · · · 0

∗

.. . J

(z)

∗









 .

Also ist det J

(t, z) = det J

(z). Nun sei Q ⊂ V ein abgeschlossener Quader. F¨ ur A := ϕ

(Q) gilt dann:

Q

= (ϕA)

= {y : (t, y) ∈ ϕ(A)}

= {y : ∃ z mit (t, z) ∈ A und ϕ(t, z) = (t, y)}

= {y : ∃ z ∈ A

mit ϕ

(z) = y} = ϕ

(A

).

Nach Induktionsvoraussetzung ist µ

(ϕ

(A

)) =

Z

ϕ_t(At)

1 dµ

= Z

At

|det Dϕ

(z)| dµ

. Daraus folgt:

µ

(Q) = Z

R

µ

(Q

) dt (Cavalieri)

= Z

R

µ

(ϕ

(A

)) dt

= Z

R

Z

At

|det Dϕ

(z)| dµ

(z) dt

= Z

A

|det Dϕ(z, t)| dµ

(Cavalieri)

= Z

ϕ⁻¹(Q)

|det Dϕ(z, t)| dµ

.

Damit ist die Transformationsformel bewiesen.

1.8. Beispiele

A. Ebene Polarkoordinaten

Die ebenen Polarkoordinaten sind durch die Abbildung f : R

× (0, 2π) → R

mit

(x, y) = f (r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ) gegeben. Bekanntlich ist det J

(r, ϕ) = r.

Ist nun etwa K := {(r, ϕ) ∈ R

: a ≤ r ≤ b und α ≤ ϕ ≤ β}, mit 0 < a < b und 0 < α < β < 2π, sowie g stetig auf f (K), so ist

Z

f(K)

g(x, y) dµ

(x, y) = Z

α

Z

g(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ.

Wir k¨ onnen nat¨ urlich auch ¨ uber Mengen integrieren, die die positive x-Achse treffen, denn diese Achse ist eine Nullmenge.

B. R¨ aumliche Polarkoordinaten

F¨ ur r > 0, 0 < ϕ < 2π und −π/2 < θ < π/2 sind die r¨ aumlichen Polarkoor- dinaten (Kugelkoordinaten, sph¨ arische Koordinaten) gegeben durch

F

(r, ϕ, θ) := (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ).

Hier ist ϕ der Winkel gegen¨ uber der positiven x-Achse (in der x-y-Ebene gemessen) und θ der Winkel gegen die x-y-Ebene.

Als Funktionaldetermi- nante erhalten wir det J

(r, ϕ, θ) = r

cos θ. Offensichtlich ist r

cos θ > 0 im ganzen Definitionsbereich von F

.

Ist K = {(r, ϕ, θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ ϕ ≤ β und γ ≤ θ ≤ δ}, so ist Z

F_sph(K)

g(x, y, z) dµ

(x, y, z) = Z

γ

Z

Z

g(r, ϕ, θ)r

cos θ dr dϕ dθ.

Als Volumen der 3-dimensionalen Einheitskugel erhalten wir z.B.:

µ

(B

(0)) = Z

B1(0)

1 dµ

= Z

0

Z

−π/2

Z

r

cos θ dϕ dθ dr

= 2π · Z

0

Z

−π/2

r

cos θ dθ dr = 4π · Z

0

r

dr = 4 3 π.

3Es sei auch hier noch einmal daran erinnert, dass die Kugelkoordinaten in der Literatur nicht einheitlich definiert werden!

3.2 Glatte Hyperfl¨ achen

Unter einem Parametergebiet verstehen wir ein beschr¨ anktes Gebiet P ⊂ R

, bei dem jeder Randpunkt von P auch ein Randpunkt von P ist. Durch die Rand- bedingung werden gewisse pathologische F¨ alle ausgeschlossen:

Parametergebiet kein Parametergebiet

s

Hier geht es schief!

P

Definition

Sei n ≥ 2 und P ⊂ R

ein Parametergebiet. Unter einem (glatten) parame- trisierten Hyperfl¨ achenst¨ uck uber ¨ P verstehen wir eine stetig differenzier- bare Abbildung ϕ : P → R

, f¨ ur die gilt:

1. ϕ ist injektiv.

2. rg J

(u) = n − 1 f¨ ur alle u ∈ P .

3. Ist u

∈ P und u

∈ P eine Folge mit lim

ν→∞

ϕ(u

) = ϕ(u

), so ist auch

ν→∞

lim u

= u

.

Bemerkungen:

1. Die Menge S := ϕ(P ) heißt die Spur des Fl¨ achenst¨ ucks. Manchmal be- geht man aus Bequemlichkeit etwas Notationsmissbrauch und nennt S ein Fl¨ achenst¨ uck. Damit verzichtet man nat¨ urlich auf Information.

2. Ist n = 2, so ist P = I ein offenes Intervall und es liegt ein stetig differen- zierbarer, ebener Weg ϕ : I → R

vor. Es ist ϕ injektiv, ϕ(t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ I. Man spricht dann von einem glatten Weg. Durch die dritte Bedingung werden Situationen wie die folgende ausgeschlossen:

Sei ϕ : (−π/2, +π/4) → R

definiert durch

ϕ(t) := (cos(2t) cos t, cos(2t) sin t).

Im Parameterintervall ist ϕ injektiv, der Nullpunkt ist das Bild von t = −π/4.

Außerdem kann man leicht nachrechnen, dass ϕ

(t) nirgends verschwindet.

Setzen wir aber t

:= −π/4 und t

:= π/4 − 1/ν, so konvergiert ϕ(t

) gegen

(0, 0) = ϕ(t

), nicht aber (t

) gegen t

.

Definition

Eine Menge H ⊂ R

heißt eine glatte Hyperfl¨ ache, falls es zu jedem Punkt x

∈ H eine Umgebung U = U (x

) ⊂ R

, ein Parametergebiet P ⊂ R

, ein glattes parametrisiertes Hyperfl¨ achenst¨ uck ϕ : P → R

mit ϕ(P ) = H ∩ U und einen Parameter u

∈ P mit ϕ(u

) = x

gibt.

Ist H eine glatte Hyperfl¨ ache und ϕ : P → H∩U eine lokale Parametrisierung, so ist S := ϕ(P ) = H ∩ U eine offene Teilmenge von H in der vom R

auf H induzierten Relativtopologie, und ϕ

: S → P stetig, also ϕ ein Hom¨ oomorphismus: Ist n¨ amlich (x

) eine Folge in S, die gegen einen Punkt x

∈ S konvergiert, so gibt es Parameter u

, u

∈ P mit ϕ(u

) = x

und ϕ(u

) = x

. Die Bedingung (3) f¨ ur parametrisierte Fl¨ achenst¨ ucke hat zur Folge, dass ϕ

(x

) = u

gegen ϕ

(x

) = u

konvergiert.

Die Stetigkeit von ϕ

bedeutet, dass ϕ offene Teilmengen von P auf offene Teil- mengen von S abbildet.

2.1. Satz (Niveaumengen sind glatte Hyperfl¨ achen)

Sei B ⊂ R

offen, f : B → R eine stetig differenzierbare Funktion und M = {x ∈ B : f (x) = 0}. Ist ∇f (x) 6= 0 in jedem Punkt x ∈ M, so ist M eine glatte Hyperfl¨ ache.

Beweis: Sei x

= (x

, . . . , x

) ∈ M . O.B.d.A. sei f

(x

) 6= 0. Dann gibt es nach dem Satz ¨ uber implizite Funktionen Umgebungen U = U (x

, . . . , x

) ⊂ R

und V = V (x

) ⊂ R und eine stetig differenzierbare Funktion g : U → V , so dass (U × V ) ∩ M = {(x

, . . . , x

, x

) ∈ U × V : x

= g(x

, . . . , x

)} ist.

Dann wird durch

ϕ(u

, . . . , u

) := (u

, . . . , u

, g(u

, . . . , u

))

eine lokale Parametrisierung ϕ : U → (U × V ) ∩ M definiert. Es ist offensichtlich, dass ϕ die Eigenschaften eines parametrisierten Fl¨ achenst¨ ucks erf¨ ullt.

Es gilt in gewisser Weise auch die Umkehrung:

2.2. Jede glatte Hyperfl¨ ache ist lokal eine Niveaufl¨ ache

Sei H ⊂ R

eine glatte Hyperfl¨ ache. Dann gibt es zu jedem Punkt x

∈ H eine offene Umgebung U = U (x

) ⊂ R

und eine stetig differenzierbare Funktion f : U → R , so dass gilt:

1. U ∩ H = f

(0).

2. ∇f(x) 6= 0 f¨ ur x ∈ U ∩ H.

Beweis: Sei U = U (x

) ⊂ R

eine offene Umgebung und ϕ : P → S = U ∩ H eine Parametrisierung mit ϕ(u

) = x

. Weil rg J

(u

) = n − 1 ist, k¨ onnen wir o.B.d.A. annehmen, dass die ersten n − 1 Zeilen der n × (n − 1)-Matrix J

(u

) linear unabh¨ angig sind.

Wir benutzen nun die Projektionen π

: R

→ R

und π

: R

→ R mit π

(x

, . . . , x

) := (x

, . . . , x

) und π

(x

, . . . , x

) := x

.

Dann ist offensichtlich det J

(u

) 6= 0. Nach dem Satz von der Umkehrabbildung gibt es also offene Umgebungen U

(u

) ⊂ P ⊂ R

und U

(π

◦ ϕ(u

)) ⊂ R

, so dass π

◦ ϕ : U

→ U

ein Diffeomorphismus ist.

Sei ψ := (π

◦ ϕ)

: U

→ U

die Umkehrabbildung. Wir k¨ onnen nun g : U

→ R definieren durch g(y

) := π

◦ ϕ ◦ ψ(y

), f¨ ur y

= (y

, . . . , y

) ∈ U

.

Weil ϕ : P → S ein Hom¨ oomorphismus ist, gibt es eine offene Menge B ⊂ R

, so dass ϕ(U

) = B ∩ S ist. F¨ ur y = (y

, y

) ∈ B gilt dann:

y ∈ S ⇐⇒ y ∈ ϕ(U

)

⇐⇒ ∃ u ∈ U

mit y

= π

◦ ϕ(u) und y

= π

◦ ϕ(u)

⇐⇒ ∃ u ∈ U

mit y

= ψ

(u) und y

= g (ψ

(u))

⇐⇒ y

∈ U

und y

= g(y

).

U e := (U

× R ) ∩ B ist eine offene Umgebung von x

= (π

◦ ϕ(u

), π

(x

)), und f : U e → R mit f (y

, y

) := y

− g(y

) ist eine stetig differenzierbare Funktion mit

∇f (y

, y

) = −∇g(y

), 1

6= (0, 0). Außerdem ist

f

(0) = {(y

, y

) ∈ U e : y

= g(y

)} = U e ∩ S.

2.3. Beispiele

A. Sei h > 0, r > 0, B := {(x, y, z) ∈ R

: |z| < h}, f : B → R definiert durch

f(x, y, z) := x

+ y

− r

und S := f

(0). Weil ∇f (x, y, z) = (2x, 2y, 0) 6=

(0, 0, 0) f¨ ur (x, y, z) ∈ S ist, ist S eine glatte (Hyper-)Fl¨ ache, ein Zylinder- mantel der H¨ ohe 2h mit Radius r.

Ist c ∈ R , so ist P

:= (c, c + 2π) × (−h, h) ein Parametergebiet und ϕ : P

→ R

mit

ϕ(u, v) := (r cos u, r sin u, v) eine glatte Parametrisierung, denn die Spalten von

J

(u, v) =





−r sin u 0 r cos u 0 0 1



 .

sind offensichtlich immer linear unabh¨ angig. Dass ϕ die Bedingungen (1) und (3) der Definition eines parametrisierten Fl¨ achenst¨ ucks erf¨ ullt, kann man sich leicht ¨ uberlegen. Ist etwa ϕ(u

, v

) = ϕ(u

, v

), so muss v

= v

und (cos u

, sin u

) = (cos u

, sin u

) sein. Letzteres ist auf (0, 2π) nur m¨ oglich, wenn u

= u

ist.

Leider deckt eine einzelne derartige Parametrisierung nicht die ganze Fl¨ ache S ab, es fehlt immer ein Streckenst¨ uck, das man als

” Klebekante“ interpretieren kann.

x

y z

c

Im Falle c = 0 wird der Zylinder entlang der Linie {(r, 0, z) : |z| ≤ h}

zusammengeklebt. Zwar kann man ϕ auf P stetig differenzierbar fortsetzen, aber dort ist ϕ nicht mehr injektiv. Benutzt man eine zweite Parametrisierung mit dem Definitionsbereich P

, c 6= 0, so wird S durch ϕ(P

) und ϕ(P

)

¨ uberdeckt.

B. Sei f : R

\ {0} → R definiert durch f (x

, . . . , x

) := x

+ · · · + x

− 1. Dann ist S

= f

(0) = {x ∈ R

: kxk = 1} die (n −1)-dimensionale Sph¨ are. Sie ist eine glatte Hyperfl¨ ache, weil ∇f (x) = 2x 6= 0 in jedem Punkt x ∈ S

gilt. Im Falle n = 2 erh¨ alt man den Einheitskreis.

Im Falle n = 3 sei P := (0, 2π) × (−π/2, π/2) und

ϕ(u, v) := (cos u cos v, sin u cos v, sin v).

Dann ist

ϕ(u, v) = cos v e

+ sin v e

, mit e

:= (cos u, sin u, 0) und e

= (0, 0, 1).

Dabei ist ke

k = ke

k = 1 und e

e

= 0.

r

s r

Dies ist die von den r¨ aumlichen Polar- koordinaten herr¨ uhrende Parametrisie- rung.

Die linke und die rechte Seite von P werden zu einem L¨ angenkreis zusam- mengeklebt, die untere und die obere Seite von P ergeben den S¨ udpol und den Nordpol.

Ist ϕ(u

, v

) = ϕ(u

, v

), so bilde man zun¨ achst auf beiden Seiten das Skalar- produkt mit e

. Dann erh¨ alt man sin v

= sin v

. Subtrahiert man sin v

e

= sin v

e

auf beiden Seiten der Ausgangsgleichung, so erh¨ alt man die Gleichung cos v

e

= cos v

e

. ¨ Ubergang zur Norm liefert cos v

= cos v

(weil der Co- sinus auf (−π/2, +π/2) positiv ist). Wie beim Zylinder folgt nun v

= v

. Also muss auch e

= e

und deshalb u

= u

sein. Das Folgenkriterium verifiziert man ¨ ahnlich.

C. Sei α : (a, b) → R

eine stetig differenzierbare Abbildung, α(t) = (f (t), g(t)), f(t) > 0 auf (a, b). Außerdem sei α eine glatte Parametrisierung (im Sinne eines glatt parametrisierten Kurvenst¨ ucks). Dann wird durch

ϕ(u, v) := (f(u) cos v, f (u) sin v, g(u))

ein glattes Fl¨ achenst¨ uck parametrisiert, die durch α bestimmte Rotations- fl¨ ache. Die ¨ Uberpr¨ ufung der Details sei dem Leser ¨ uberlassen.

Definition

Sei H ⊂ R

eine glatte Hyperfl¨ ache, x

∈ H. Ein Vektor v ∈ R

heißt Tangenti- alvektor an H im Punkte x

, falls es ein ε > 0 und einen stetig differenzierbaren Weg α : (−ε, ε) → R

gibt, so dass gilt:

1. Die Spur von α liegt ganz in H.

2. Es ist α(0) = x

und α

(0) = v.

2.4. Charakterisierung von Tangentialvektoren

Sei H ⊂ R

eine glatte Hyperfl¨ ache, x

∈ H. Es sei U = U (x

) ⊂ R

eine offene Umgebung, so dass gilt:

a) Es gibt eine stetig differenzierbare Funktion f : U → R mit f

(0) = U ∩ H und ∇f(x) 6= 0 f¨ ur alle x ∈ U ∩ H.

b) Es gibt ein Parametergebiet P ⊂ R

und eine stetig differenzierbare Pa- rametrisierung ϕ : P → R

mit ϕ(u

) = x

und ϕ(P ) = U ∩ H.

Dann sind die folgenden Aussagen ¨ uber einen Vektor v ∈ R

¨ aquivalent:

1. v ist ein Tangentialvektor an H im Punkte x

. 2. v

∇f (x

) = 0.

3. Es gibt einen Vektor w ∈ R

mit v = w · J

(u

)

.

Beweis: (1) = ⇒ (2): Sei v ein Tangentialvektor an H in x

, also α(0) = x

und α

(0) = v. Dann ist f ◦ α(t) ≡ 0, also 0 = ∇f(x

)

α

(0) = ∇f (x

)

v.

(2) = ⇒ (3): Weil ∇f (x

) 6= 0 ist, hat der Raum der zu ∇f(x

) orthogonalen Vektoren die Dimension n − 1. Und der Raum Im Dϕ(x

) besitzt ebenfalls die Dimension n − 1 (= rg J

(u

)).

Weil f ◦ ϕ(u) ≡ 0 ist, ist 0 = ∇(f ◦ ϕ)(u

) = ∇f(x

) · J

(u

) (Kettenregel). Ist also ein Element v = w · J

(u

)

von Im Dϕ(u

) gegeben, so ist

∇f(x

)

v = ∇f(x

) · v

= ∇f (x

) · J

(u

) · w

= 0.

Daher sind die beiden betrachteten Vektorr¨ aume gleich und aus (2) folgt (3).

(3) = ⇒ (1): Es gebe einen Vektor w ∈ R

mit v = w · J

(u

)

= Dϕ(u

)(v).

Dann definiere man α : (−ε, ε) → R

durch α(t) := ϕ(u

+ tw). Offensichtlich liegt die Spur von α in H, es ist α(0) = x

und α

(0) = Dϕ(u

)(w) = v. Also ist v ein Tangentialvektor an H in x

.

Aus dem Satz ergibt sich, dass die Menge der Tangentialvektoren an eine glatte Hy- perfl¨ ache H ⊂ R

in einem Punkt x

∈ H einen (n − 1)-dimensionalen Vektorraum bildet.

Definition

Sei H eine glatte Hyperfl¨ ache im R

. Den Vektorraum T

(H) der Tangentialvek- toren an H in x nennt man den Tangentialraum von H in x.

Bemerkung: Die anschauliche

” Tangentialebene“ in einem Punkt x

∈ H ist der

affine Raum x

+ T

(H).

2.5. Beispiel

Die Sph¨ are S

= {x : kxk = 1} ist die Nullstellenmenge von f(x) := kxk

− 1 = x

x − 1.

F¨ ur x

∈ S

ist

T

(S

) = Ker Df (x

) = {v ∈ R

: ∇f (x

)

v = 0} = {v : x

v = 0}.

Definition

Unter einem glatt berandeten Gebiet verstehen wir ein Parametergebiet Ω ⊂ R

, dessen Rand eine glatte Hyperfl¨ ache ist.

2.6. Theorem

Sei Ω ⊂ R

ein glatt berandetes Gebiet. Dann gibt es zu jedem Punkt x

∈ ∂Ω eine zusammenh¨ angende offene Umgebung U = U (x

) ⊂ R

und eine differen- zierbare Funktion h : U → R , so dass gilt:

1. U ∩ Ω = {x ∈ U : h(x) < 0}.

2. ∇h(x) 6= 0 f¨ ur x ∈ U .

3. U ∩ ∂Ω = {x ∈ U : h(x) = 0}.

Beweis: Sei x

∈ ∂Ω. Als glatte Hyperfl¨ ache sieht ∂Ω in der N¨ ahe von x

wie ein Graph aus. O.B.d.A. kann man eine offene Umgebung U = U (x

) ⊂ R

, ein Gebiet V ⊂ R

, ein offenes Intervall I und eine differenzierbare Funktion g : V → I finden, so dass gilt:

U ∩ ∂Ω = {(y

, y

) ∈ V × I : y

= g(y

)}.

Sei h : U → R definiert durch h(y

, y

) := y

− g (y

). Dann setzen wir U

:= {y ∈ U : h(y) < 0},

U

:= {y ∈ U : h(y) > 0}

und U

:= {y ∈ U : h(y) = 0} = U ∩ ∂Ω.

∂ Ω U

U

Man kann annehmen, dass I = (a, b) ist und dass es ein ε > 0 gibt, so dass a + ε ≤ g(y

) ≤ b − ε f¨ ur y

∈ V gilt. Dann sind U

und U

Gebiete, und wir haben eine disjunkte Zerlegung

U = U

∪ U

∪ (U ∩ ∂Ω).

Indem man notfalls h durch −h ersetzt, kann man annehmen, dass es einen Punkt x

∈ U

∩ Ω gibt. Wir zeigen, dass dann U

⊂ Ω ist.

Sei x

∈ U

ein weiterer Punkt. Der kann nicht in ∂Ω liegen. Wir nehmen an, dass x

in R

\ Ω liegt. Es gibt einen stetigen Weg α : [0, 1] → U

, der x

mit x

innerhalb von U

verbindet.

Sei

t

:= sup{t ∈ [0, 1] : α(t) ∈ Ω}.

Dann ist 0 < t

< 1, und α(t

) muss in Ω liegen. Weil der Weg in U

verl¨ auft, kann er ∂Ω nicht treffen, aber α(t

) ∈ Ω kann auch nicht gelten. Das ist ein Widerspruch.

Analog zeigt man, dass U

⊂ R

\ Ω ist. Aber dann ist U

= U ∩ Ω.

Man nennt h eine lokale Randfunktion. Diese Randfunktion ist nicht eindeutig bestimmt.

2.7. Satz

Sei Ω ein glatt berandetes Gebiet. Sind h

, h

zwei lokale Randfunktionen auf ei- ner Umgebung U eines Punktes x

∈ ∂ Ω, so gibt es eine differenzierbare Funktion λ auf U , so dass gilt:

1. λ > 0 auf U . 2. h

= λ · h

auf U .

3. ∇h

(x) = λ(x) · ∇h

(x) auf U ∩ ∂Ω.

Beweis: Durch eine Koordinatentransformation kann man erreichen, dass x

= 0 und h

= x

ist. F¨ ur festes x = (x

, . . . , x

) ∈ U ist

g(t) := h

(x

, . . . , x

, t)

eine differenzierbare Funktion, die bei t = 0 verschwindet. Dann folgt:

h

(x

, . . . , x

, x

) = g(x

) − g(0) = Z

0

g

(s) ds

= x

Z

0

g

(tx

) dt (mit Substitution ϕ(t) = tx

)

= h

(x

, . . . , x

) · λ(x

, . . . , x

), wobei λ(x

, . . . , x

) :=

Z

∂h

∂x

(x

, . . . , x

, tx

) dt eine differenzierbare Funktion ist (Satz ¨ uber Parameterintegrale).

Offensichtlich ist λ = h

/h

> 0 auf U \ ∂Ω. Weil h

auf ∂Ω verschwindet und

∇h

(x) = λ(x) · ∇h

(x) + h

(x) · ∇λ(x)

ist, ist sogar ∇h

(x) = λ(x) · ∇h

(x) auf U ∩ ∂Ω. Das zeigt aber, dass λ auf ∂ Ω nicht verschwinden kann. Aus Stetigkeitsgr¨ unden muss λ ≥ 0 auf ganz U gelten.

Also ist λ > 0 auch auf U ∩ ∂Ω.

2.8. Existenz (und Eindeutigkeit) der ¨ außeren Normale

Sei Ω ⊂ R

ein glatt berandetes Gebiet und x

∈ ∂ Ω. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten normierten Vektor N = N(x

) und ein ε > 0, so dass gilt:

1. N

v = 0 f¨ ur alle v ∈ T

(∂ Ω).

2. x

+ t · N liegt f¨ ur −ε < t < 0 in Ω und f¨ ur 0 < t < ε in R

\ Ω.

Beweis: Es gibt eine Umgebung U = U (x

) ⊂ R

und eine lokale Randfunktion auf U , also eine stetig differenzierbare Funktion h : U → R , so dass gilt:

U ∩ ∂Ω = {x ∈ U : h(x) = 0} und U ∩ Ω = {x ∈ U : h(x) < 0}.

Außerdem kann man annehmen, dass ∇h(x) 6= 0 auf U ist.

Ist v ∈ T

(∂ Ω) tangential zu ∂Ω, so gibt es einen stetig differenzierbaren Weg α : (−ε, ε) → ∂ Ω mit α(0) = x

und α

(0) = v. Dann ist h ◦ α(t) ≡ 0, also

0 = (h ◦ α)

(0) = ∇h(α(0))

α

(0) = ∇h(x

)

v.

Das bedeutet, dass ∇h(x

) auf dem Tangentialraum senkrecht steht. Wir setzen N(x

) := ∇h(x

)

k∇h(x

)k ,

sowie %(t) := h(x

+ t · N(x

)). Dann ist %(0) = h(x

) = 0 und %

(0) =

∇h(x

)

N(x

) = k∇h(x

)k > 0. Also w¨ achst % in der N¨ ahe von t = 0 streng monoton. Daraus folgt: Es gibt ein ε > 0, so dass %(t) < 0 f¨ ur −ε < t < 0 und

%(t) > 0 f¨ ur 0 < t < ε ist. Das bedeutet:

x

+ t · N(x

) ∈ Ω f¨ ur −ε < t < 0 und x

+ t · N(x

) ∈ R

\ Ω f¨ ur 0 < t < ε.

Der Raum aller Vektoren v ∈ R

, die in x

auf ∂Ω senkrecht stehen, ist 1- dimensional. Weil der Vektor N(x

) normiert sein und nach außen zeigen soll, ist er eindeutig bestimmt.

Wir nennen N(x

) den ¨ außeren (Einheits-)Normalenvektor von ∂ Ω in x

. Er legt eine

” transversale Orientierung“ des Randes fest.

Die ” innere Orientierung“ des Randes im Punkte x

wird durch die Anordnung der Elemente a

, . . . , a

einer Basis von T

(∂Ω) festgelegt. Sie ist so zu w¨ ahlen, dass det N(x

), a

, . . . , a

> 0 ist.

Eine Basis von T

(∂Ω), also eine innere Orientierung des Randes, gewinnt man durch eine lokale Parametrisierung des Randes. Ist ϕ : P → S ⊂ ∂Ω eine solche Parametrisierung und ϕ(u

) = x

, so ist {ϕ

(u

), . . . , ϕ

(u

)} eine Basis von T

(∂Ω).

2.9. Beispiele

A. Sei Ω ⊂ R

ein glatt berandetes Gebiet, x

∈ ∂Ω und α : (−ε, ε) → R

eine lokale Parametrisierung des Randes in der N¨ ahe von x

mit α(0) = x

, sowie N der ¨ außere Normalenvektor in x

. Die Parametrisierung α liefert die ” richtige“ Orientierung des Randes, wenn det(N, α

(0)) > 0 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Basis {N, α

(0)/kα

(0)k} durch eine (positive) Drehung aus {e

, e

} hervorgeht. Und das ist wiederum genau dann der Fall, wenn das Gebiet Ω

” links“ vom Rand liegt und die ¨ außere Normale N nach

” rechts“ zeigt.

s

N

x

α

(0) Ω

B. Im R

ist es n¨ utzlich, sich des Vektorproduktes zu bedienen.

Sind v, w zwei linear unabh¨ angige Vektoren des R

, so ist die Zuordnung a 7→ det(a, v, w)

eine Linearform 6= 0. Deshalb gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor u, so dass det(a, v, w) = a

u f¨ ur alle a ∈ R

gilt. Diesen Vektor u nennt man das Vektorprodukt von v und w und bezeichnet ihn mit v × w. Allgemein ist also

a

(v × w) = det(a, v, w) f¨ ur alle a ∈ R

.

Setzt man f¨ ur a nacheinander die Einheitsvektoren e

, e

, e

ein, so erh¨ alt man die drei Komponenten des Vektors v × w und damit die Gleichung

v × w = det(e

, v, w), det(e

, v, w), det(e

, v, w)

= (v

w

− v

w

, v

w

− v

w

, v

w

− v

w

).

Aus den Eigenschaften der Determinante folgt:

Das Vektorprodukt ist bilinear, es ist w × v = −v × w und v

(v × w) = w

(v × w) = 0.

Ist {a

, a

, a

} eine positiv orientierte Orthonormalbasis des R

(also eine

ON-Basis mit det(a

, a

, a

) = 1), so gilt:

a

× a

= a

, a

× a

= a

und a

× a

= a

.

Das folgt daraus, dass v = (a

v)a

+ (a

v)a

+ (a

v)a

f¨ ur jeden Vektor v ∈ R

gilt.

Ist nun Ω ⊂ R

ein glatt berandetes Gebiet, x

∈ ∂ Ω, ϕ : P → R

eine lokale Parametrisierung des Randes und ϕ(u

) = x

, so bilden die Vektoren ϕ

(u

) und ϕ

(u

) eine Basis von T

(∂Ω). Das Vektorprodukt ϕ

(u

) × ϕ

(u

) steht in x

auf ∂Ω senkrecht. Kann man die Parametrisierung so w¨ ahlen, dass ϕ

(u

) × ϕ

(u

) und N(x

) in die gleiche Richtung zeigen (was der Fall ist, wenn det(N, ϕ

, ϕ

) > 0 ist), so ist

N(x

) = ϕ

(u

) × ϕ

(u

) kϕ

(u

) × ϕ

(u

)k .

Andernfalls unterscheiden sich die beiden Vektoren um das Vorzeichen.

3.3 Integration auf Hyperfl¨ achen

Wir brauchen zun¨ achst etwas Lineare Algebra:

Seien a

, . . . , a

∈ R

irgendwelche Vektoren (n ≥ 3). Durch λ(w) := det(w, a

, . . . , a

)

wird eine Linearform λ auf dem R

definiert. Daher gibt es genau einen Vektor z (der mit a

× . . . × a

bezeichnet wird), so dass λ(w) = w

z ist. Also gilt:

w

(a

× . . . × a

) = det(w, a

, . . . , a

).

Insbesondere ist dann a

(a

× . . . × a

) = 0 f¨ ur i = 1, . . . , n − 1, und a

× . . . × a

= 0, falls die Vektoren linear abh¨ angig sind.

Wir benutzen die a

als Spalten einer Matrix:

A := (a

, . . . , a

).

F¨ ur k = 1, . . . , n sei A

die quadratische Matrix, die aus A entsteht, indem man die k-te Zeile streicht. Der Laplace’sche Entwicklungssatz besagt dann:

det(w, a

, . . . , a

) =

n

X

k=1

(−1)

w

· det(A

).

Setzt man f¨ ur w die Basisvektoren e

, . . . , e

ein, so gewinnt man die Komponenten von a

× . . . × a

:

(a

× . . . × a

)

= e

(a

× . . . × a

)

=

n

X

k=1

(−1)

δ

· det(A

) = (−1)

det(A

).

Daraus folgt:

ka

× . . . × a

k

=

n

X

i=1

(a

× . . . × a

)

=

n

X

i=1

(det A

)

.

Im Falle n = 3 gewinnt man wieder das im vorigen Abschnitt eingef¨ uhrte Vektor- produkt.

Definition

Ist A := (a

, . . . , a

) ∈ M

( R ), so heißt G

= G(a

, . . . , a

) := det(A

· A) = det

a

a

i, j = 1, . . . , n − 1

die Gram’sche Determinante von A bzw. von a

, . . . , a

.

3.1. Satz

G

= ka

× . . . × a

k

.

Beweis: Wenn die Vektoren a

, . . . , a

linear abh¨ angig sind, verschwindet die rechte Seite. Ist etwa a

= P

j=1

λ

a

, so ist auch a

a

= P

j=1

λ

a

a

f¨ ur i = 1, . . . , n − 2, also G

= 0.

Seien nun die Vektoren linear unabh¨ angig und N := a

× . . . × a

ka

× . . . × a

k

der Einheitsvektor, der auf dem von ihnen erzeugten Unterraum senkrecht steht.

Dann ist

|det(N, a

, . . . , a

)| = |N

(a

× . . . × a

)|

= ka

× . . . × a

k.

Ist B := N

, a

, . . . , a

∈ M

( R ), so ist B

B =

1 0 0 A

A

und daher

ka

× . . . × a

k

= det(B )

= det(B

B ) = det(A

A) = G

.

3.2. Satz

1. Sei A ∈ M

( R ) und B ∈ M

( R ). Dann ist G

= det(B)

· G

. 2. Seien a

, a

∈ R

linear unabh¨ angig und ∠ (a

, a

) der (positive) Winkel

zwischen a

und a

. Dann ist

ka

× a

k = ka

k · ka

k · sin ∠ (a

, a

)

der Fl¨ acheninhalt des von a

und a

aufgespannten Parallelogramms.

Beweis: 1) Es ist

G

= det (AB)

· (AB)

= det B

· (A

· A) · B

= det(B) · det(A

· A) · det(B) = det(B)

· G

.

2) Sei α = ∠ (a

, a

). Dann ist