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Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Wintersemester 2016/17 4. November 2016

L¨ osungen zu Aufgabenblatt 6

Aufgabe 1 (Resolution)

Sei α = (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (q ∨ r) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r) ∧ ¬r.

(a) Geben Sie M

α

an! (1 Punkt)

(b) Berechnen Sie Res

∗

(M

α

)! (3 Punkte)

Hinweis: Nehmen Sie keine trivialen Klauseln in Res

j

(M

α

) f¨ ur j ≥ 1 auf. Zur Erinnerung:

Eine triviale Klausel ist eine Klausel, die eine Variable und deren Negation enth¨ alt (siehe Defintion 2.38). Beispiel: {p, ¬q, q}. Gem¨ aß Satz 2.40 (iii) k¨ onnen wir auf triviale Klauseln verzichten.

(c) Ist α erf¨ ullbar? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort! (1 Punkt) (d) Falls α unerf¨ ullbar ist, dann geben Sie eine Deduktion f¨ ur die leere Klausel an und zeichnen

Sie einen entsprechenden Resolutionsgraphen! (2 Punkte)

L¨ osung:

(a)

M

α

= {{p, ¬q, r}, {q, r}, {¬p, r}, {q, ¬r}, {¬r}}

(b)

Res

0

(M

α

) = M

α

Res

1

(M

α

) = {{p, ¬q, r}, {q, r}, {¬p, r}, {q, ¬r}, {¬r}, {p, r}, {¬q, r}, {p, ¬q}, {q}, {¬p, q}, {¬p}}

Res

2

(M

α

) = {{p, ¬q, r}, {q, r}, {¬p, r}, {q, ¬r}, {¬r}, {p, r}, {¬q, r}, {p, ¬q}, {q}, {¬p, q}, {¬p}, {r}, {p, q}, {p, ¬r}, {p}, {¬q}}

Res

3

(M

α

) = {{p, ¬q, r}, {q, r}, {¬p, r}, {q, ¬r}, {¬r}, {p, r}, {¬q, r}, {p, ¬q}, {q}, {¬p, q}, {¬p}, {r}, {p, q}, {p, ¬r}, {p}, {¬q},

}

Res

4

(M

α

) = Res

3

(M

α

) Also gilt Res

∗

(M

α

) = Res

3

(M

α

).

1

(2)

(c) Nach Folgerung 2.51 gilt, dass M

α

(und damit α) genau dann erf¨ ullbar ist, wenn Res

∗

(M

α

) erf¨ ullbar ist. Hier enth¨ alt Res

∗

(M

α

) aber die leere Klausel, ist also unerf¨ ullbar. Somit ist auch α nicht erf¨ ullbar.

(d) Es gilt M

α

= {K

1

, K

2

, K

3

, K

4

, K

5

} mit K

1

= {p, ¬q, r}, K

2

= {q, r}, K

3

= {¬p, r}, K

4

= {q, ¬r} und K

5

= {¬r}. Deduktion der leeren Klausel:

K

6

= Res(K

1

, K

2

) = {p, r}

K

7

= Res(K

6

, K

3

) = {r}

K

8

= Res(K

7

, K

5

) = Resolutionsgraph:

Aufgabe 2 (Anwendung der Resolution)

Nachdem K¨ onig Artus zusammen mit seinen Rittern der Tafelrunde eine ganze Weile lang nichts anderes getan hatte, als t¨ aglich zu feiern und zu trinken, fasste er eines Morgens den Entschluss:

” Ich muss endlich losziehen und den heiligen Gral suchen.“ Die Ritter der Tafelrunde beschließen, dass mindestens einer von ihnen K¨ onig Artus bei der Suche nach dem heiligen Gral begleiten muss. M¨ ogliche Begleiter sind die Ritter Lancelot, Parceval, Tristan und Galahad. Nun sind Ritter aber ziemlich eigensinnige Zeitgenossen und so diskutieren sie, wer K¨ onig Artus bei der Suche begleiten soll.

Lancelot:

” Wenn Parceval nicht geht und Tristan nicht geht, dann geh’ ich auch nicht.“

Parceval:

” Ich gehe nur, wenn Tristan oder Galahad mitgehen.“

Tristan:

” Wenn Parceval nicht geht, dann gehe ich auch nicht.“

Galahad:

” Ich gehe nur, wenn Parceval nicht mitkommt. Wenn Tristan geht, dann will ich auch mit.“

(a) Modellieren Sie die Aussagen der Ritter als aussagenlogische Formeln und geben Sie f¨ ur jede Formel die zugeh¨ orige(n) Klausel(n) an. (4 Punkte)

2

(3)

(b) Zeigen Sie mit Hilfe der Resolutionsmethode, dass die vier Ritter nur zufrieden sind, wenn Galahad als einziger K¨ onig Artus bei der Suche nach dem heiligen Gral begleitet. Zeichnen Sie einen Resolutionsgraphen, um die Ableitung zu verdeutlichen.

Hinweise:

– Die Ableitung wird Ihnen nur dann gelingen, wenn Sie neben den Aussagen der Ritter noch eine weitere Aussage verwenden, die im Text versteckt ist.

– Am einfachsten ist es, wenn Sie Satz 2.13 nutzen. Hierzu m¨ ussen Sie die Hypothese

” Galahad begleitet als einziger K¨ onig Artus“ negieren und die entsprechende Klausel der Klauselmenge hinzuf¨ ugen. Aus dieser erweiterten Klauselmenge leiten Sie dann

die leere Klausel ab. (6 Punkte)

L¨ osung:

(a) Wir verwenden die Aussagenvariablen x

L

, x

P

, x

T

, x

G

f¨ ur die Aussage, dass L(ancelot), P(arceval), T(ristan) bzw. G(alahad) K¨ onig Artus begleiten.

Formal lauten die Aussagen dann:

Lancelot: (¬x

P

∧ ¬x

T

) → ¬x

L

≡ ¬(¬x

P

∧ ¬x

T

) ∨ ¬x

L

≡ x

P

∨ x

T

∨ ¬x

L

Klausel: K

1

= {¬x

L

, x

P

, x

T

}

Parceval: x

P

→ (x

T

∨ x

G

) ≡ ¬x

P

∨ x

T

∨ x

G

Klausel: K

2

= {¬x

P

, x

T

, x

G

}

Tristan: ¬x

P

→ ¬x

T

≡ x

P

∨ ¬x

T

Klausel: K

3

= {x

P

, ¬x

T

}

Galahad: (x

G

→ ¬x

P

) ∧ (x

T

→ x

G

) ≡ (¬x

G

∨ ¬x

P

) ∧ (¬x

T

∨ x

G

) Klauseln: K

4

= {¬x

P

, ¬x

G

} und K

5

= {¬x

T

, x

G

}

(b) Im Text steht, dass mindestens einer der Ritter K¨ onig Artus begleiten soll, also x

L

∨ x

P

∨ x

T

∨ x

G

Daraus entsteht die Klausel K

6

= {x

L

, x

P

, x

T

, x

G

}.

Die Hypothese lautet, dass nur Galahad K¨ onig Artus begleitet, also

¬x

L

∧ ¬x

P

∧ ¬x

T

∧ x

G

Wir negieren die Hypothese:

¬(¬x

L

∧ ¬x

P

∧ ¬x

T

∧ x

G

) ≡ x

L

∨ x

P

∨ x

T

∨ ¬x

G

Damit haben wir als weitere Klausel K

7

= {x

L

, x

P

, x

T

, ¬x

G

}.

Eine Deduktion der leeren Klausuel ist:

K

8

= Res(K

6

, K

7

) = {x

L

, x

P

, x

T

} K

9

= Res(K

1

, K

8

) = {x

P

, x

T

} K

10

= Res(K

2

, K

5

) = {¬x

P

, x

G

} K

11

= Res(K

9

, K

3

) = {x

P

} K

12

= Res(K

4

, K

10

) = {¬x

P

} K

13

= Res(K

11

, K

12

) =

3

(4)

4

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