1 8 Wellenoptik 8.1 Grundlagen

Kapitel 8

8 Wellenoptik 8.1 Grundlagen

Interferenz und Kohärenz

ist die Überlagerung von Teilwellen eines Wellenfelds. Linearkombinationen von Lösungen der Wellengleichung sind wieder Lösungen, d.h. die elektrischen Felder von Teilwellen addieren sich.

Die orts- und zeitabhängige Intensität ergibt sich nach der Addition der Teilwellen proportional zum Quadrat des elektrischen Felds.

Eine Interferenzstruktur (konstruktive Überlagerung oder Auslöschung) erfordert, dass die Phasen der Lichtwellen über einen gewissen räumlichen und zeitlichen Bereich definiert sind. Die

"Interferenzfähigkeit" eines Lichtfelds bezeichnet man als Kohärenz. Der Kohärenzgrad lässt sich quantifizieren (von 0 bis 1). Zueinander phasenstarre Teilwellen entstehen, wenn

- die Lichtquelle phasenstarre Teilwellen aussendet (Laser), oder

- wenn eine Lichtwelle in Teilwellen aufgespalten wird (Doppelspalt, teildurchlässige Spiegel etc)

Die Kohärenzzeit ist die Zeit, in der Teilwellen so weit auseinanderlaufen, dass sich ihre relative Phase um 2p ändert, z.B. mit den Frequenzen f₁ und f₂ = f₁ +Df an den Enden des relevanten Frequenzbereichs. Die während der Kohärenzzeit zurückgelegte Strecke heißt Kohärenzlänge.

 ^{r,t A}  ^{r,t exp(i ) I} ^{r,t ~ E} ^{r,t 2}

E

n

n n

 





 



 

     

f t c c s t f

t f f t

t t

c c

c

c c

D D



 D

D D

D









 D

 D



 D

1

2 2 0

0  p p _{2 1}



Kapitel 8

8.2 Zweistrahlinterferenz

- Fresnel-Spiegel - Doppelspalt

- planparallele Grenzflächen

- Strahlteiler (Michelson-, Sagnac-, Mach-Zehnder-Interferometer)

Fresnel-Spiegel

Licht einer punktförmigen Lichtquelle wird von zwei Spiegeln, die einen kleinen Winkel zueinander haben, abgebildet. Das Licht scheint nun von zwei Punktquellen zu kommen. Das Gleiche lässt sich durch ein Doppelprisma erreichen (Fresnel-Biprisma). Je größer der Winkel, desto enger das

Streifenmuster. Maxima entstehen, wenn für die Wegen von den "virtuellen" Lichtquellen zum Beobachter gilt:

Die Maxima liegen auf Hyperbeln (Orte gleicher Abstandsdifferenz von zwei Punkten)

Laser f = - 100 mm Fresnelspiegel f = 50 mm Projektionsfläche )

ganzzahlig

(m m

s  D

Linse f = - 50 mm1

Linse f = - 100 mm2 He-Ne-Laser

Projektionsfläche

Biprisma nach Fresnel

Kapitel 8

D







 

  D



 D D 

2

oder 2

2 2

2 2

/

 





b d d D

D d l b D l d b

l

Youngsches Doppelspaltexperiment

Licht einer ausgedehnten Quelle trifft auf eine Ebene mit zwei Spalten, die nun als Ausgangspunkte neuer Lichtwellen erscheinen. Sind diese phasengleich, so gilt für die Abstände von den Spalten zum Beobachter:

Beispiel aus der Vorlesung:  = 633 nm (HeNe-Laser), m = 1, d = 0,3 mm, damit sin ≈   0,0021 Abstand der Maxima an der Wand 6,6 m ∙ 0,0021 = 13,9 mm (ca. 14 mm gemessen)

Von einer ausgedehnten Quelle der Größe b sollten die Wegunterschiede zu den Spalten kleiner als eine halbe Wellenlänge sein, damit die Wellen dort noch ungefähr gleichphasig sind:

) ganzzahlig

(

sin m m

d

s    D

Hier kann d² als Kohärenzfläche aufgefasst werden, wobei D der Raumwinkel ist, unter dem die Quelle gesehen wird.

Doppelspaltversuche wurden auch für Elektronen durchgeführt, um deren Wellennatur zu belegen (erstmalig 1959, Claus Jönsson). Solange nicht beobachtet wird, durch welchen Spalt ein individuelles Elektron tritt, verhält es sich wie eine Welle, deren Intensität der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons entspricht und Interferenzerscheinungen zeigt. Wenn der Weg der Elektronen detektiert wird, verschwindet das Interferenzmuster und die Elektronen verhalten sich wie Kügelchen

(Welle-Teilchen-Dualismus).

Kapitel 8

Michelson-Interferometer

Intensität der Lichtwege ist gleich (je eine Reflexion und Transmission durch den Strahlteiler)

Mach-Zehnder- Interferometer Sagnac-

Interferometer

Detektor

Detektor Detektor

   

    

p 











 t t ^s

I D



 D D







 











 cos ~ 1 cos mit 2

cos

~ _{1 2} ^{2 gemittelt}

Für eine feste Wegdifferenz wirkt das Interferometer wie ein wellenlängenabhängiger Spiegel, für eine feste Wellenlänge wirkt es wie ein ortsabhängiger Spiegel. Wenn die Länge eines Arms des Spektrometers verändert wird, kann dies durch Beobachten der Beugungsmaxima sehr genau

verfolgt werden.

Für feste Wellenlänge und Wegdifferenz kann beobachtet werden, ob sich in einem der Arme die Lichtgeschwindigkeit ändert, indem z.B. eine Probe mit anderem Brechungsindex eingebracht wird.

Beim Michelson-Morley-Experiment (1887) wurde ein Interferometer unterschiedlich relativ zur Bewegung der Erde orientiert, um unterschiedliche Lichtgeschwindigkeiten aufgrund der

Ätherhypothese zu beobachten.

Durch Interferenz gegenläufiger Laserstrahlen detektiert das Sagnac-Interferometer

Drehbewegungen (Flugzeugnavigation mit drei senkrecht zueinander stehenden Interferometern).

ST ST

ST = Strahlteiler S = Spiegel

ST

S

S

S S

S

S S

ST

Kapitel 8

Laser

Linse f = 300 mm

transparenter Schirm Planspiegel 1

Planspiegel 2 mit Motorvorschub

und Getriebe

teildurchlässige Spiegel

mit Aufweitungssysstem

Interferenzringe von rotem Laserlicht am Michelson-Interferometer (oben) und beim Durchgang von weißem Licht durch ein Glimmerplättchen (unten).

Kapitel 8

Planparallele Grenzflächen

Die Überlagerung von an parallelen Grenzflächen reflektierten Strahlen führt zu Interferenz- Erscheinungen, z.B.

- Außen- und Innenfläche einer Seifenblase - Ölfilm auf Wasser

- ebene und gewölbte Glasplatte (Newtonringe) oder Dia mit Deckglas

Fresnel-Formel für senkrechten Einfall mit E-Feld senkrecht zur Einfallsebene (s. Kapitel 6):

Für den Übergang ins optisch dichtere Medium dreht sich die Richtung des E-Felds um, d.h. es findet ein Phasensprung um p bzw. 180º statt.

Für das E-Feld parallel zur Einfallsebene scheint es genau umgekehrt zu sein:

Also kein Phasensprung bei senkrechtem Einfall?

Dieser Widerspruch entsteht dadurch, dass sich für die reflektierte Welle die "Blickrichtung" ändert. Auch der E-Feldvektor parallel zur Einfalls- ebene kehrt seine Richtung um, wenn der Einfallswinkel kleiner als der Brewster-Winkel ist (was bei senkrechtem Einfall mit a = 0 gegeben ist).

Für den Übergang ins optisch dünnere Medium findet kein Phasensprung statt.

) 2 ( ) 1 (

) 2 ( ) 1 (

n n

n n E E

E R



 





) 1 ( ) 2 (

) 1 ( ) 2 (

||

||

n n

n n E E

E R



 

Beispiel Newtonringe: Dort, wo sich die Glasplatten berühren und der Weg 0 ist, beobachtet man ein Intensitätsminimum, d.h. destruktive Interferenz, weil nur ein Teilstrahl einen Phasensprung erleidet

Kapitel 8

8.3 Vielstrahlinterferenz

Fabry-Perot-Interferometer

- plan geschliffene Platte mit reflektierenden Belägen, oder - zwei einseitig verspiegelte parallele Platten (durchstimmbar)

In beiden Fällen wird ein einfallender Lichtstrahl mehrfach an den Grenzflächen teils reflektiert, teils transmittiert. Für bestimmte Wellenlängen gibt es konstruktive Interferenz zwischen den Teilstrahlen, die das Interferometer verlassen. Für einfallendes Licht mit einem breiten Spektrum besteht das

transmittierte Spektrum aus Linien, die um so schmaler sind, je mehr Reflexionen beitragen, d.h. wenn das Reflexionsvermögen R groß ist (ohne Herleitung):  

R d n

R f c









 

 p 2

1

Hier ist d der Abstand der reflektierenden Flächen und n ist der Brechungsindex.

Transmittierte Wellenlängen ergeben sich aus:

 

d n m c

d m n f c

f d f

n m c f c

m d n

m m

d n s

m m m

m     



 



 D

 



 

 

 









 D

 1 2

2 2

2

ganzzahlig

2

1

m 





Das Verhältnis von freiem Spektralbereich Df und Linienbreite f kennzeichnet das Interferometer. Diese Größe heißt Finesse:

R R f

F f



 

D

1 p



Anwendungen des F.-P.-Interferometers:

z.B. als Filter oder als Laser-Resonator (Laserdiode).