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Selters, Evian und andere teure Fluide
Matthias Geißert
TU Darmstadt
Januar 2009
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Die Hauptakteure
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Inkompressible Navier-Stokes Gleichungen
ρ∂tv +ρ(v· ∇)v = µ∆v− ∇q+f, x ∈Rn, t >0, divv = 0, x ∈Rn, t >0, v(x,0) = v0(x), x ∈Rn.
(NS)
Gegeben:
Dichte: ρ Viskosität: µ
Anfangsgeschwindigkeitsfeld: v0, wobeiv0divergenzfrei ist Äußere Kraft: f
Gesucht:
Geschwindigkeitsfeldv(t,·)zum Zeitpunktt >0 Druckq(t,·)zum Zeitpunktt>0
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Physikalische Motivation
Impulserhaltung:
ρ∂tv+ρ(v · ∇)v =µ∆v − ∇q
Massenerhaltung:
∂tρ+divρv =0
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Physikalische Motivation
Impulserhaltung:
ρ∂tv+ρ(v · ∇)v =µ∆v − ∇q
Massenerhaltung:
∂tρ+divρv =0
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Millenium Problem No. 3: Navier-Stokes Equation
Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathe- maticians and physicists believe that an ex- planation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make sub- stantial progress toward a mathematical theorywhich will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations.
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Millenium Prize
In order to celebrate mathematics in the new millennium, The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI) has named seven Prize Problems. The Scientific Advisory Board of CMI selected these problems, focusing on important classic questions that have resisted solution over the years.
The Board of Directors of CMI designated a$7 million prize fund for the solution to these problems, with $1 million allocated to each. During the Millennium Meeting held on May 24, 2000 at the Collège de France, Timothy Gowers presented a lecture entitledThe Importance of Mathematics, aimed for the general public, while John Tate and Michael Atiyah spoke on the problems. The CMI invited specialists to formulate each problem.
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Charles L. Fefferman: Millenium Problem
Existenz von glatten Lösungen von(NS).
Seiµ >0,n=3,f ≡0 undv0∈S(R3)ein divergenzfreies Vektorfeld. Dann existiert eine Lösung
(q,v)∈C∞(R3×[0,∞)), die(NS)genügt und beschränkte Energie hat.
Nicht-Existenz von glatten Lösungen von(NS).
Seiµ >0 undn=3. Dann existiert ein divergenzfreies Vektorfeldv0∈S(R3)und einf ∈S(R3×[0,∞)), so dass keine Lösung(q,v)inC∞([0,∞)×R3)von(NS)mit beschränkter Energie existiert.
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Definition
Eine Lösung(u,p)von(NS)besitzt endliche Energie, falls hu(t,·),u(t,·)iRn =
Z
Rn
|u(t,x)|2dx ≤C, t≥0.
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Milde Lösungen
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Idee zur Konstruktion milder Lösungen
Schreibe(NS)in abstrakter Form
u0(t)−Au(t) =f(u), t >0, u(0) =u0.
Schreibe dieses Problem um in eine Integralgleichung
u(t) =eAtu0+
t
Z
0
eA(t−s)f(u)ds.
Löse die Integralgleichung.
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Idee zur Konstruktion milder Lösungen
Schreibe(NS)in abstrakter Form
u0(t)−Au(t) =f(u), t >0, u(0) =u0.
Schreibe dieses Problem um in eine Integralgleichung
u(t) =eAtu0+
t
Z
0
eA(t−s)f(u)ds.
Löse die Integralgleichung.
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Idee zur Konstruktion milder Lösungen
Schreibe(NS)in abstrakter Form
u0(t)−Au(t) =f(u), t >0, u(0) =u0.
Schreibe dieses Problem um in eine Integralgleichung
u(t) =eAtu0+
t
Z
0
eA(t−s)f(u)ds.
Löse die Integralgleichung.
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Helmholtz-Projektion
Wir definieren:
Lpσ(Rn) :=Cc,σ∞(Rn)nL
p(Rn)n
, Gp(Rn) :=n
g ∈Lp(Rn)n:g =∇qfür einq ∈Wloc1,p(Rn)no .
Dann gilt:
Lp(Rn) =Lpσ(Rn)⊕Gp(Rn).
Die (stetige) ProjektionP:Lp(Rn)n→Lpσ(Rn)heißt Helmholtz-Projektion.
Insbesondere:
Pg=0, g ∈Gp(Rn).
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Helmholtz-Projektion
Wir definieren:
Lpσ(Rn) :=Cc,σ∞(Rn)nL
p(Rn)n
, Gp(Rn) :=n
g ∈Lp(Rn)n:g =∇qfür einq ∈Wloc1,p(Rn)no . Dann gilt:
Lp(Rn) =Lpσ(Rn)⊕Gp(Rn).
Die (stetige) ProjektionP:Lp(Rn)n→Lpσ(Rn)heißt Helmholtz-Projektion.
Insbesondere:
Pg=0, g ∈Gp(Rn).
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Helmholtz-Projektion
Wir definieren:
Lpσ(Rn) :=Cc,σ∞(Rn)nL
p(Rn)n
, Gp(Rn) :=n
g ∈Lp(Rn)n:g =∇qfür einq ∈Wloc1,p(Rn)no . Dann gilt:
Lp(Rn) =Lpσ(Rn)⊕Gp(Rn).
Die (stetige) ProjektionP:Lp(Rn)n→Lpσ(Rn)heißt Helmholtz-Projektion.
Insbesondere:
Pg=0, g ∈Gp(Rn).
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Helmholtz-Projektion
Wir definieren:
Lpσ(Rn) :=Cc,σ∞(Rn)nL
p(Rn)n
, Gp(Rn) :=n
g ∈Lp(Rn)n:g =∇qfür einq ∈Wloc1,p(Rn)no . Dann gilt:
Lp(Rn) =Lpσ(Rn)⊕Gp(Rn).
Die (stetige) ProjektionP:Lp(Rn)n→Lpσ(Rn)heißt Helmholtz-Projektion.
Insbesondere:
Pg=0, g ∈Gp(Rn).
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Stokes Operator
Setze
Au= ∆u
D(A) :=W2,p(Rn)∩Lpσ(Rn) Dann ist(NS)äquivalent zu
∂tu−Au+P(u· ∇)u = 0, t >0,
u(0) = u0, (ANS)
füru0∈Lpσ(Rn).
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Stokes Operator
Setze
Au= ∆u
D(A) :=W2,p(Rn)∩Lpσ(Rn)
Dann ist(NS)äquivalent zu
∂tu−Au+P(u· ∇)u = 0, t >0,
u(0) = u0, (ANS)
füru0∈Lpσ(Rn).
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Integralgleichung
Löse(ANS)mit Hilfe der Variation der Konstanten Formel u(t) =eAtu0−
Z t
0
eA(t−s)P(u· ∇u) (s)ds, t∈(0,T).
Problem: Wie definiert maneAt?
(Beachte: Aist einunbeschränkterOperator) Lösung: Halbgruppentheorie
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Integralgleichung
Löse(ANS)mit Hilfe der Variation der Konstanten Formel u(t) =eAtu0−
Z t
0
eA(t−s)P(u· ∇u) (s)ds, t∈(0,T).
Problem: Wie definiert maneAt?
(Beachte: Aist einunbeschränkterOperator) Lösung: Halbgruppentheorie
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Integralgleichung
Löse(ANS)mit Hilfe der Variation der Konstanten Formel u(t) =eAtu0−
Z t
0
eA(t−s)P(u· ∇u) (s)ds, t∈(0,T).
Problem: Wie definiert maneAt?
(Beachte: Aist einunbeschränkterOperator) Lösung: Halbgruppentheorie
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Halbgruppen
Es ist bekannt, dassAeine Halbgruppe aufLpσ(Rn) erzeugt.
Insbesondere löst dannu(t) :=eAtu0
u0(t)−Au(t) = 0, t>0, u(0) = u0,
wobeiu0∈Lpσ(Rn).
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Definition (T. Kato, 1984)
Eine Funktionu∈C([0,T);Lnσ(Rn))heißtmilde Lösungvon (ANS), falls
u(t) =eAtu0− Z t
0
eA(t−s)P(u· ∇u) (s)ds, t ∈(0,T).
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Erwartete Ergebnisse
Globale Existenz für kleine Anfangsdaten, lokale Existenz für große Anfangsdaten (Existenzintervall hängt nur von der Norm des Anfangswerts ab),
Eindeutigkeit, glatte Lösungen.
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Erwartete Ergebnisse
Globale Existenz für kleine Anfangsdaten, lokale Existenz für große Anfangsdaten (Existenzintervall hängt nur von der Norm des Anfangswerts ab),
Eindeutigkeit, glatte Lösungen.
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Erwartete Ergebnisse
Globale Existenz für kleine Anfangsdaten, lokale Existenz für große Anfangsdaten (Existenzintervall hängt nur von der Norm des Anfangswerts ab),
Eindeutigkeit, glatte Lösungen.
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Bekannte Resultate
u0∈C1(Rn)∩H1(Rn),n=2,3: J. Leray, 1933/34.
u0∈D((−A)14), beschränkte Gebiete: H. Fujita, T. Kato, 1964.
u0∈Ln(Rn): T. Kato ,1984.
u0∈B˙−1+
n p
p,∞ (Rn): M. Cannone, 1997.
u0∈BMO−1: H. Koch, D. Tataru, 2001.
B˙∞,∞−1 (Rn)geht nicht: J. Bourgain, N. Pavlovic, Preprint 2008.
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Bekannte Resultate
u0∈C1(Rn)∩H1(Rn),n=2,3: J. Leray, 1933/34.
u0∈D((−A)14), beschränkte Gebiete: H. Fujita, T. Kato, 1964.
u0∈Ln(Rn): T. Kato ,1984.
u0∈B˙−1+
n p
p,∞ (Rn): M. Cannone, 1997.
u0∈BMO−1: H. Koch, D. Tataru, 2001.
B˙∞,∞−1 (Rn)geht nicht: J. Bourgain, N. Pavlovic, Preprint 2008.
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Globale Existenz
Durch Multiplizieren von(ANS)mituerhalten wir die A-Priori Abschätzung
ku(t)kL2(Rn)≤ ku0kL2(Rn)
für allet>0, für die die Lösung existiert.
Falln=2:
Lösung existiert füru0∈L2(R2)nach T. Kato.
Mittels A-Priori Abschätzung lässt sich die Lösung immer weiter fortsetzen⇒globale Lösungen.
Falln=3:
Lösung existiert füru0∈L3(R3)nach T. Kato.
A-Priori Abschätzung ist nicht gut genug, um die Lösung zu kontrollieren6⇒globale Lösungen.
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Globale Existenz
Durch Multiplizieren von(ANS)mituerhalten wir die A-Priori Abschätzung
ku(t)kL2(Rn)≤ ku0kL2(Rn)
für allet>0, für die die Lösung existiert.
Falln=2:
Lösung existiert füru0∈L2(R2)nach T. Kato.
Mittels A-Priori Abschätzung lässt sich die Lösung immer weiter fortsetzen⇒globale Lösungen.
Falln=3:
Lösung existiert füru0∈L3(R3)nach T. Kato.
A-Priori Abschätzung ist nicht gut genug, um die Lösung zu kontrollieren6⇒globale Lösungen.
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Globale Existenz
Durch Multiplizieren von(ANS)mituerhalten wir die A-Priori Abschätzung
ku(t)kL2(Rn)≤ ku0kL2(Rn)
für allet>0, für die die Lösung existiert.
Falln=2:
Lösung existiert füru0∈L2(R2)nach T. Kato.
Mittels A-Priori Abschätzung lässt sich die Lösung immer weiter fortsetzen⇒globale Lösungen.
Falln=3:
Lösung existiert füru0∈L3(R3)nach T. Kato.
A-Priori Abschätzung ist nicht gut genug, um die Lösung zu kontrollieren6⇒globale Lösungen.
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Schwache Lösungen
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Schwache Lösungen
Definition (J. Leray, 1934)
u∈L∞(R+;L2(Rn))mit∇u∈L2(R+;L2(Rn))heißtschwache Lösungvon(NS)falls:
(Gleichung im (sehr) schwachen Sinne erfüllt).
s
Z
0
hu, ∂tϕ+ ∆ϕ−u· ∇ϕiRn =hu(s,·), ϕ(s,·)iRn− hu0, ϕ(0,·)iRn,
s≥0, ϕ∈Cc∞([0,∞;Cc,σ∞(Rn)n) (starke Energie-Ungleichung). Fürs1≥0,s>s1gilt
1
2ku(s,·)k2L2(Rn)+
s
Z
s1
k∇u(t,·)k2L2(Rn)dt ≤ 1
2ku(s1,·)k2L2(Rn).
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Idee zur Konstruktion schwacher Lösungen
Formales Multiplizieren von(NS)mituund part.
Integration liefern dieEnergie-Gleichung:
1
2ku(s,·)k2L2(Rn)+
s
Z
0
k∇u(t,·)k2L2(Rn)dt = 1
2ku0k2L2(Rn), s>0.
Verwende Approximation zur Konstruktion einer schwachen Lösung.
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Idee zur Konstruktion schwacher Lösungen
Formales Multiplizieren von(NS)mituund part.
Integration liefern dieEnergie-Gleichung:
1
2ku(s,·)k2L2(Rn)+
s
Z
0
k∇u(t,·)k2L2(Rn)dt = 1
2ku0k2L2(Rn), s>0.
Verwende Approximation zur Konstruktion einer schwachen Lösung.
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Erwartete Eigenschaften
Dieses Verfahren liefert
Globale Existenz schwacher Lösungen
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Bekannte Resultate
R3: schwache Lösungen, J. Leray, 1934.
Gebiete: „schwache“ Lösungen, E. Hopf, 1951.
beschränkte Gebiete inR2,R3: A. A. Kiselev, O. A.
Ladyzhenskaya, 1957-69.
Rn, beschränke Gebiete:geeigenteschwache Lösungen, L. Caffarelli, R. Kohn, L. Nirenberg, 1982.
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Die Serrin-Bedingung
Definition
Eine schwache Lösunguvon(NS)genügt der Serrin-Bedingung, fallsu ∈Lp(R+;Lq(Rn))mit
n q + 2
p ≤1.
Grenzfall: q =n: u∈L∞(R+;Ln(Rn)).
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Die Serrin-Bedingung
Definition
Eine schwache Lösunguvon(NS)genügt der Serrin-Bedingung, fallsu ∈Lp(R+;Lq(Rn))mit
n q + 2
p ≤1.
Grenzfall: q =n: u∈L∞(R+;Ln(Rn)).
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Bekannte Resultate: Eindeutigkeit
Eindeutigkeit fürn=2,3 falls eine Lösung regulär genug, J. Leray, 1933/34.
Eindeutigkeit fürn=2: J. L. Lions, G. Prodi, 1959.
Serrin-Bedingung mitq>nimpliziert Eindeutigkeit,Rn: C. Foias, 1961.
Serrin-Bedingung mitq>nimpliziert Eindeutigkeit, 2≤n≤4, Gebiete: J. Serrin, 1963.
Serrin-Bedingung impliziert Eindeutigkeit:
W. von Wahl, 1983, K. Masuda, 1984,
H. Sohr, W. von Wahl, 1984, H. Kozono, H. Sohr, 1998.
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Eindeutigkeit schwacher Lösungen
Falln=2: schwache Lösungen sind eindeutig Falln=3: Eindeutigkeit in
L∞(R+;L3(R3)), aber schwache Lösungen nur in
L∞(R+;L2(R3)).
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Eindeutigkeit schwacher Lösungen
Falln=2: schwache Lösungen sind eindeutig Falln=3: Eindeutigkeit in
L∞(R+;L3(R3)), aber schwache Lösungen nur in
L∞(R+;L2(R3)).
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Weitere Eigenschaften schwacher Lösungen
Schwache Lösungenu(t,·)inR3sind regulär für f.a. t >0:
J. Leray, 1934.
Schwache Lösungenu(t,·)für beschränkte Gebiete inR3 sind regulär für f.a. t>0: M. Shinbrot, S. Kaniel, 1966.
Schwache Lösungenu(t,·)für glatte Gebiete inR3sind regulär für f.a. t >0: J. G. Heywood, 1988.
Geeigenete Schwache Lösungenusind regulär bis auf eine MengeE ⊂R+×Ω,Ω =R3oderΩbeschränkt mit P1(E) =0,
V. Scheffer, 1976,
L. Caffarelli, R. Kohn, L. Nirenberg, 1982, F. Lin, 1998.
