Existenz und Nicht-Existenz monotoner Größen für geometrische Flüsse : Potenzen von mittlerer und Gaußscher Krümmung

Existenz und Nicht-Existenz monotoner Gr¨ oßen f¨ ur

geometrische Fl¨ usse

Potenzen von mittlerer und Gaußscher Kr¨ ummung

Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)

vorgelegt von

Martin Franzen

an der

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik

Tag der m¨ undlichen Pr¨ ufung: 24. Juli 2015 1. Referent: Oliver Schn¨ urer

2. Referent: Felix Schulze

Konstanzer Online-Publikations-System (KOPS) URL: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:352-0-298036

Abstract

We explore geometric flow equations. Our main results concern flows by powers of the mean curvature and Gauss curvature. Firstly we prove longtime existence for entire graphs under mild assumptions. Secondly for closed hypersurfaces we show the existence and the non-existence of certain monotone quantities that ensure convergence to round points or convergence to spheres at infinity. Thirdly we prove that pinched hypersurfaces shrink to round points using a computer algebra system.

Martin Franzen Universit¨at Konstanz

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik Universit¨atsstraße 10

78464 Konstanz

martinfranzen@yahoo.com http://www.martinfranzen.de

i

Contents

Abstract i

Part 1. Existenz und Nicht-Existenz monotoner Gr¨oßen f¨ur

geometrische Fl¨usse v

Chapter 1. Einleitung vii

1.1. Ein erster ¨Uberblick vii

1.2. Literatur¨uberblick viii

1.3. Resultate und Beweis¨uberblick ix

1.4. Ausblick xii

1.5. Danksagung xiv

Part 2. Entire Graphs Evolving by Powers of the Mean Curvature 1

Chapter 2. Overview 3

2.1. Main Results 3

2.2. Acknowledgments 3

2.3. Geometric preliminaries 3

2.4. Notation 4

Chapter 3. C²-Estimates 7

3.1. Evolution Equations 7

3.2. Local C²-Estimates 7

Chapter 4. Theν-Condition and Coordinate Systems 11

4.1. Theν-condition 11

4.2. Choosing Appropriate Coordinate Systems 15

Chapter 5. Lower Velocity Bounds 19

Chapter 6. Longtime Existence 21

Part 3. When Maximum-Principle Functions Cease to Exist 23

Chapter 7. Overview 25

7.1. Main Results 25

7.2. Acknowledgments 26

7.3. Notation 26

7.4. Contracting and expanding normal velocitiesF_ξ^σ 27 Chapter 8. Definition and motivation of rational MPFs, and MPFs 29

iii

iv CONTENTS

8.1. Linear operator L 31

8.2. α-Conditions 36

Chapter 9. Necessary conditions for the existence of MPFs 43

9.1. Euler’s Theorem on homogeneous functions 43

9.2. No MPFs for normal velocities with 0<homF ≤1 44 9.3. When MPFs cease to exist for normal velocitiesF_ξ^σ 45

Chapter 10. Vanishing functions 59

Chapter 11. Gauss curvature, F₀^σ 65

Chapter 12. Mean curvature,F₁^σ 67

Chapter 13. Norm of the second fundamental form,F₂^σ 73 Chapter 14. Trace of the second fundamental form,F_σ^σ 79

Chapter 15. Outlook 81

Chapter 16. Appendix: Computer program 83

Part 4. Pinched Hypersurfaces Shrink to Round Points 111

Chapter 17. Overview 113

17.1. Main Results 113

17.2. Acknowledgments 114

17.3. Notation 114

Chapter 18. Linear operatorL 117

Chapter 19. Vanishing functions 123

Chapter 20. Shrinking to round points 127

20.1. H³-flow 127

20.2. |A|²-flow 129

20.3. Gauss curvature flow 129

Chapter 21. Outlook 131

Chapter 22. Appendix: Computer program 133

Bibliography 147

Part 1

Existenz und Nicht-Existenz monotoner Gr¨ oßen f¨ ur

geometrische Fl¨ usse

CHAPTER 1

Einleitung

1.1. Ein erster ¨Uberblick

In unseren drei Projekten dieser kumulativen Dissertation untersuchen wir die folgende geometrische Flussgleichung. Sei Mⁿ eine vollst¨andige Mannigfaltigkeit ohne Rand undX0:Mⁿ→Rⁿ⁺¹ eine Einbettung. Nun betrachten wir die Familie von EinbettungenX(·, t) :Mⁿ×[0, T)→Rⁿ⁺¹, welche das folgende Anfangswert- problem l¨ost

(_d

dtX(·, t) =−F(·, t)ν(·, t), X(·,0) =X0(·),

(1.1)

wobei F die Normalengeschwindigkeit und ν die ¨außere Normale sind. F¨ur F = H = λ1+. . .+λn ist dies der weithin bekannte mittlere Kr¨ummungsfluss, f¨ur F =K=λ1·. . .·λn der Gaußkr¨ummungsfluss und f¨ur F =|A|²=λ²₁+. . .+λ²_n der|A|²-Fluss. Hierbei bezeichnenλ1, . . . , λn die Hauptkr¨ummungen.

1.1.1. Projekt I: Entire Graphs Evolving by Powers of the Mean Curvature. Wir untersuchen den H^σ-Fluss (1.1) von konvexen ganzen Graphen f¨urσ >0 imRⁿ⁺¹und zeigen Langzeitexistenz unter wenig restriktiven Vorausset- zungen.

1.1.2. Projekt II: When Maximum-Principle Functions Cease to Ex- ist. Wir untersuchen Flussgleichungen der Form (1.1) f¨ur geschlossene, strikt kon- vexe Fl¨achen imR³. In seiner Habilitationsschrift schl¨agt O. Schn¨urer einen Al- gorithmus vor, um monotone Gr¨oßen (rationale Maximum-Prinzip Funktionen) zu finden. Mit ihrer Hilfe werden f¨ur eine Vielzahl von Normalengeschwindig- keiten Konvergenz zu runden Punkten beziehungsweise Konvergenz gegen Sph¨aren im Unendlichen gezeigt — das bedeutet, dass die Fl¨achen nach einer geeigneten Reskalierung gegen Sph¨aren konvergieren. Wir zeigen, wann nicht-rationale Maxi- mum-Prinzip Funktionen existieren und wann nicht. Unter anderem behandeln wir nahezu alle Potenzen, σ ∈ R, der mittleren Kr¨ummung, F = sgn(σ)H^σ, der Gaußkr¨ummung, F = sgn(σ)K^σ/2 und der Norm der zweiten Fundamentalform, F = sgn(σ)|A|^σ/2.

1.1.3. Projekt III: Pinched Hypersurfaces Shrink to Round Points.

Wir untersuchen das Anfangswertproblem (1.1) f¨ur F = H³ von geschlossenen, strikt konvexen Hyperfl¨achen im R⁴. Mit vergleichbaren monotonen Gr¨oßen wie in R³ zeigen wir Konvergenz zu runden Punkten unter schwachen Pinching Vo- raussetzungen. Der Beweis basiert auf einem Computer Programm. Zum Schluss skizzieren wir eine Erweiterung der Methode auf den|A|²-Fluss und auf den Gauß- kr¨ummungsfluss.

vii

viii 1. EINLEITUNG

1.2. Literatur¨uberblick

Uber geometrische Flussgleichungen der Form (1.1) wird intensiv seit den 1970er¨ Jahren geforscht.

Einer der ersten Artikel stammt hier von William Firey [11]. Er betrachtet den Gaußkr¨ummungsfluss als Modell, das beschreibt, wie konvexe Steine, die in einem Fluss oder an einem Strand aus allen Richtungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit St¨oße erhalten, mit der Zeit schrumpfen. Die Vermutung, dass sich die konvexen Fl¨achen in endlicher Zeit zu einem Punkt zusammenziehen und nach geeigneter Reskalierung zu einer runden Sph¨are konvergieren, wurde nach Vorarbeiten von William Firey [11] und Kaising Tso [32] schließlich von Ben Andrews [3] bewiesen.

F¨ur den weithin bekannten mittleren Kr¨ummungsfluss zeigt Gerhard Huisken [21] ebenfalls Konvergenz zu runden Punkten.

1.2.1. Projekt I [12]. Nachdem Gerhard Huisken f¨ur den mittleren Kr¨um- mungsfluss die Frage nach Konvergenz von strikt konvexen Hyperfl¨achen zu run- den Punkten in [21] positiv beantwortet hatte, stellten Klaus Ecker und Gerhard Huisken die Frage nach Konvergenz f¨ur ganze Graphen [10]. Sie zeigen unter bes- timmten Voraussetzungen f¨ur die Asymptotik der Anfangshyperfl¨ache, dass die L¨osungen stets gegen eine selbst¨ahnliche L¨osung konvergieren. Vergleichbare Re- sultate zeigen John Urbas und Oliver Schn¨urer in [29] f¨ur Potenzen der Gaußkr¨um- mung. Wir wiederum orientieren uns in unserem Projekt I [12] in erster Linie an [29]. Weitgehend analog zeigen wir Langzeitexistenz f¨ur Potenzen der mittleren Kr¨ummung unter einer sogenannten ν-Bedingung.

1.2.2. Projekt II[13, 14]. Ein wichtiger Schritt im Beweis von Ben Andrews [3] f¨ur die Konvergenz zu runden Punkten ist der Nachweis der Monotonie der ra- tionalen Gr¨oßew= (a−b)²mithilfe des Maximum-Prinzips — sie ist insbesondere eine symmetrische homogene Funktion der Hauptkr¨ummungenλ₁≡aundλ₂≡b.

Mithilfe solcher monotoner Gr¨oßen zeigt Oliver Schn¨urer [25, 26] f¨ur viele weitere Normalengeschwindigkeiten Konvergenz zu runden Punkten im Fall schrumpfender Hyperfl¨achen (F > 0) und Konvergenz zu Sph¨aren im Unendlichen im Fall ex- pandierender Hyperfl¨achen (F <0), beispielsweise f¨urF =|A|² undF =−1/K.

Die monotonen Gr¨oßen findet Oliver Schn¨urer ¨uber einen Algorithmus, wobei dieser auch gleichzeitig eine erstmalige Charakterisierung dieser Funktionen liefert.

Die hier eingef¨uhrte Definition der Maximum-Prinzip Funktion basiert auf dieser Charakterisierung und erweitert sie auch auf nicht-rationale Funktionen, welche ein bestimmtes asymptotisches Verhalten der Gr¨oßeα:=−^ww^ab haben. Die Definition umfasst so alle bislang bekannten monotonen Gr¨oßen dieser Art. Als ein nicht- rationales Beispiel ist hierw= (a−b)²(a+b)^2σ/(a b)²von Felix Schulze und Oliver Schn¨urer [31] f¨ur den H^σ-Fluss, 1 < σ ≤ 5.17, zu nennen. Weitere Maximum- Prinzip Funktionen finden sich in den Arbeiten von Ben Andrews und Xuzhong Chen [5] und Qi-Rui Li [23] unter anderem zu Potenzen der Gaußkr¨ummung.

In unserer ersten Arbeit zu Maximum-Prinzip Funktionen [13] haben wir uns mit der Frage besch¨aftigt, ob rationale monotone Gr¨oßen f¨ur Potenzen der Gauß- kr¨ummung,F =K^σ/2,σ >2, existieren. Die Antwort fiel entgegen aller Erwartung negativ aus. Aufbauend auf dieser Arbeit besch¨aftigten wir uns im Projekt II [14]

nun systematisch mit der Frage nach der Existenz von Maximum-Prinzip Funktio- nen. Wir erhalten unter anderem f¨ur nahezu alle Potenzen der Gaußkr¨ummung, der mittleren Kr¨ummung und der Norm der zweiten Fundamentalform Antworten.

1.3. RESULTATE UND BEWEIS ¨UBERBLICK ix

1.2.3. Projekt III[15]. Bislang wurden in h¨oheren Dimensionen starke Pin- ching-Bedingungen ben¨otigt, um Konvergenz zu runden Punkten zu zeigen. Wir verweisen hier unter anderem auf die Arbeiten von Felix Schulze [31] und Kaising Tso [32] zu Potenzen der mittleren Kr¨ummung beziehungsweise zu Potenzen der Gaußkr¨ummung. Unter einer starken Pinching Bedingung verstehen wir, dass die Hauptkr¨ummungen (λ_i)_1≤i≤n der Anfangshyperfl¨ache nahe beieinander sind, d.h.

es gilt λ_i/λ_j ≤ 1 +ε f¨ur alle 1 ≤ i, j ≤ n ¨uberall auf der Anfangshyperfl¨ache.

Im R⁴ zeigen wir mit monotonen Gr¨oßen ¨ahnlich wie in R³ Konvergenz runden Punkten unter schwachen Pinching-Bedingungen. Unser Beweis f¨ur den H³-Fluss baut auf den Resultaten von Felix Schulze [31] auf und verwendet ein Computer Programm. Das Programm kann f¨ur die Computeralgebrasysteme Mathematica, Sage undMaple auf www.martinfranzen.deheruntergeladen werden.

1.3. Resultate und Beweis¨uberblick 1.3.1. Projekt I. Unser Hauptresultat lautet

Theorem 1.1. Seienρ >0 und 0< β <1. Sei u₀ ∈C_loc^2,β(Rⁿ)strikt konvex.

Wir setzen voraus, dass f¨ur jedes ε > 0 ein r > 0 existiert, so dass f¨ur Punkte p, q∈graphu0,|ν(p)−ν(q)|< εgilt, falls|p−q|<1und|p|,|q| ≥r(ν-Bedingung).

Dann gibt es eine konvexe Familie

u∈C_loc^1,1;0,1(Rⁿ×[0,∞))∩C_loc^∞ (Rⁿ×(0,∞)),

f¨ur die außerdem H >0 gilt, welche die graphische Formulierung des H^ρ-Flusses (1.1)l¨ost.

Im ersten Teil des Beweises betrachten wir die Funktionw= (−ηαX^α)^ρF e^βvρ. Mithilfe von Evolutionsgleichungen, Maximum-Prinzip und Normalkoordinaten in einem kritischen Punkt erhalten wir die Absch¨atzung

w≤ c w+c,

f¨ur Konstantenc=c(n, ρ, β, G,max−ηαX^α,infF, T). Dies liefert uns a priori eine lokaleC²-Absch¨atzung. Allerdings gilt diese nur unter der Voraussetzung, dass wir eine L¨osung lokal als Graph mit kleinem Gradienten,|Du| ≤G, darstellen k¨onnen.

Im zweiten Teil f¨uhren wir spezielle Koordinatensysteme ein und zeigen so, dass die oben genannte Voraussetzung erf¨ullt ist. Hier erhalten wir auch lokal gleichm¨aßige C¹-Absch¨atzungen.

Im dritten Teil zeigen wir eine untere Absch¨atzungen der Normalengeschwin- digkeit. Dazu verwenden wir eine Harnack-Ungleichung.

Der vierte Teil besteht aus dem eigentlichen Beweis der Langzeitexistenz. Zu- n¨achst approximieren wir die Anfangsdaten durch kompakte Hyperfl¨achen. Und f¨ur den kompakten Fall wissen wir aufgrund eines Resultats von F. Schulze, [30], dass eine L¨osung existiert. Wir verwenden nun Sph¨aren als Barrieren, um die L¨osungen in C⁰ zu kontrollieren, und erhalten dieC²-Absch¨atzungen. Die strikte Parabolizit¨at von (1.1) wird durch die unteren Absch¨atzungen der Normalenge- schwindigkeit sichergestellt. Schaudertheorie und Krylov-Safonov-Absch¨atzungen liefern uns h¨ohere Regularit¨at der L¨osungen. Nach Arcel`a-Ascoli gibt es nun eine Teilfolge, welche gegen eine L¨osung von (1.1) konvergiert. F¨ur t > 0 konvergiert die Teilfolge sogar in glatter Weise.

x 1. EINLEITUNG

1.3.2. Projekt II. Unser wichtigstes Resultat ist

Theorem1.2 (Maximum-Prinzip Funktionen). Wir betrachten Flussgleichun- gen (1.1) f¨ur geschlossene, strikt konvexe Fl¨achen im R³. Dann k¨onnen wir ¨uber die Existenz und Nicht-Existenz von Maximum-Prinzip Funktionen die folgenden Aussagen treffen.

F = sgn(σ)K^σ/2 MPF F = sgn(σ)H^σ MPF F = sgn(σ)|A|^σ MPF

σ >2 @ σ≥5.98 @ σ≥9.9 @

σ= 2 ∃[3] σ∈(5.17,5.98) offen σ∈(8.15,9.9) offen σ∈(1,2) ∃[5] σ∈(1,5.17] ∃ [31] σ∈(1,8.15] ∃ [5]

σ∈(0,1] @ σ∈(0,1] @ σ∈(0,1] @

σ∈(−2,0) ∃ [23] σ∈(−1,0) ∃ σ∈(−1,0) ∃

σ=−2 ∃ [26] σ=−1 ∃ [26] σ=−1 ∃

σ <−2 @ σ <−1 @ σ <−1 @

Nachdem bereits f¨ur eine Vielzahl von Normalengeschwindigkeiten mithilfe von Maximum-Prinzip Funktionen Konvergenz zu runden Punkten oder Konvergenz zu Sph¨aren im Unendlichen gezeigt werden konnte, lag die Vermutung nahe, dass sich diese Methode auf viele weitere Normalengeschwindigkeiten ausweiten ließe.

Die Frage ist also, wann Maximum-Prinzip Funktionen existieren und wann nicht.

Insbesondere k¨onnen wir dies nun f¨ur nahezu alle Potenzen der Gaußkr¨ummung, der mittleren Kr¨ummung und der Norm der zweiten Fundamentalform beantworten.

Im ersten Teil des Beweises betrachten wir f¨ur symmetrische homogene Funk- tionenw, die von den Hauptkr¨ummungenλ1≡aundλ2≡babh¨angen, den linearen OperatorLw≡dt^dw−F^ijw;ij in einem kritischen Punkt, also in einem Punkt mit wi= 0,i= 1,2, wobeiF^ij die Ableitungen nach der zweiten Fundamentalform und w;ij die zweiten kovarianten Ableitungen sind. Wir zeigen, dass Lw in konstante Terme Cw(a, b) undGradienten-TermeEw(a, b) undGw(a, b) zerf¨allt

Lw=Cw+Ew·h²_11;1+Gw·h²_22;2. (1.2)

F¨ur Maximum-Prinzip Funktionen nehmen wir an, dass wir die Nicht-Positivit¨at vonLwnur erreichen k¨onnen, indem wir die Nicht-Positivit¨at der konstanten Terme und der Gradienten-Terme fordern. Bislang l¨asst sich das Verhalten der kovarianten Ableitungen der zweiten Fundamentalform h11;1 und h22;2 nicht ausreichend kon- trollieren.

Im zweiten Teil des Beweises verwenden wir Eulers Satz ¨uber homogene Funk- tionen, um zun¨achst die Nicht-Existenz von Maximum-Prinzip Funktionen f¨ur kon- trahierende Normalengeschwindigkeiten mit 0< homF ≤1 zu zeigen. Anschlie-

1.3. RESULTATE UND BEWEIS ¨UBERBLICK xi

ßend benutzen wir ebenfalls Eulers Satz, um die konstanten Terme und die Gradien- ten-Terme einfacher und zwar in den den Gr¨oßenα=:−^ww^a_b undβ:= ^F_F^a

b auszudr¨u- cken.

Im dritten Teil betrachten wir Normalengeschwindigkeiten der Form F_ξ^σ(a, b) =

(

sgn(σ)· a^ξ+b^ξσ/ξ

, falls ξ6= 0, sgn(σ)·(a b)^σ/2, falls ξ= 0.

(1.3)

Wir leiten nun Bedingungsgleichungen f¨ur die Existenz von Maximum-Prinzip Funk- tionen in Abh¨angigkeit vonξundσunter Verwendung der inαundβausgedr¨uckten konstanten Terme und Gradienten-Terme her. Die zentrale Idee dabei ist, die konstanten Terme und die Gradienten-Terme in einer ε-Umgebung des Punktes (a, b) = (0,1) zu betrachten. F¨ur Potenzen der Gaußkr¨ummung,F₀^σ, der mittleren Kr¨ummung,F₁^σ, und der Norm der zweiten Fundamentalform,F₂^σ, liefern die resul- tierenden notwendigen Bedingungen bereits fast alle noch zu zeigenden Aussagen

¨

uber Maximum-Prinzip Funktionen in Theorem 1.2.

Im vierten und f¨unften Teil des Beweises besch¨aftigen wir uns noch mit den F¨allenF₁^σ,σ≥5.98, und analog dazu mit den F¨allenF₂^σ,σ≥9.9. Wir verwenden hier ein weiteres Mal die Gr¨oßeα. Sie ist f¨ur Maximum-Prinzip Funktionen auf dem positiven Quadranten stets strikt positiv. Außerdem verwenden wir Funktionen, deren konstante Terme auf dem positiven Quadranten verschwinden, sogenannte Vanishing Funktionen. Das f¨ur Vanishing Funktionen eindeutigeαnimmt f¨urσ >

3 + 2√

2 ≈ 5.83 strikt negative Werte an. Nehmen wir nun die Existenz einer Maximum-Prinzip Funktion an, k¨onnen wir abσ >5.98 zeigen, dass derenαstets unterhalb eines teilweise negativenαeiner Vanishing Funktion liegt, was dann auf den gew¨unschten Widerspruch f¨uhrt.

1.3.3. Projekt III. Das wichtigste Resultat ist hier

Theorem 1.3. Sei M₀ ⊂ R⁴ eine glatte geschlossene, strikt konvexe Hy- perfl¨ache. Außerdem habeM0 ein Pinching von2, d.h. f¨ur ihre Hauptkr¨ummungen (λi)_1≤i≤3 gelte

λ_i/λ_j ≤2

f¨ur alle1≤i, j≤3auf ganzM0. Dann gibt es eine glatte Familie von Hyperfl¨achen (Mt)_0≤t≤T, welche das Anfangswertproblem (1.1)f¨urF =H³ l¨ost, so dass Mt f¨ur t%T gegen einen runden Punkt konvergiert.

Zentral f¨ur den Beweis sind die beiden Gr¨oßen ϕ=(a−b)²+ (a−c)²+ (b−c)²

(a+b+c)² , and ψ=

(a−b)²

(a b)² +(a−c)²

(a c)² +(b−c)² (b c)²

H³²

,

welche symmetrisch und homogen in den Hauptkr¨ummungenλ1≡a,λ2≡b,λ3≡c sind. Die erste Gr¨oße ist inspiriert durch eine Gr¨oße in G. Huisken [21]. Die zweite Gr¨oße ist das h¨oherdimensionale Analogon einerVanishing Funktion.

Im ersten Teil des Beweises berechnen wir ¨ahnlich wie inR³den linearen Oper- atorLw. Er zerf¨allt in einenkonstanten Term C(a, b, c) und aufgrund der weiteren

xii 1. EINLEITUNG

Dimension in nun vier Gradienten-Terme E(a, b, c),R(a, b, c),S(a, b, c),T(a, b, c).

In einem kritischen Punkt vonwerhalten wir Lw=C+E·h²_12;3

+ h22;1

h_33;1 >

R11 R12

R12 R22

h22;1

h_33;1

+ h11;2

h_33;2 ^>

S11 S12

S12 S22

h11;2

h_33;2

+ h11;3

h22;3

>

T11 T12

T₁₂ T₂₂

h11;3

h22;3

.

Im zweiten Teil des Beweises zeigen wir zun¨achst, dass die Absch¨atzung ϕ≤ h := 1/8 unter dem H³-Fluss erhalten bleibt, falls M₀ ein Pinching von 2 hat.

Da der 2-gepinchte Kegel in der Menge ϕ≤henthalten ist, wissen wir nun, dass ein Pinching von 2 unter dem Fluss erhalten bleibt. Als N¨achstes zeigen wir auf der Menge ϕ ≤h, dass ψ in einem r¨aumlichen Maximum nicht-wachsend und so f¨ur alle Zeiten beschr¨ankt bleibt. Die Monotonie vonϕ und von ψ zeigen wir je- weils mithilfe des Maximum-Prinzips und unter Verwendung unseres Computer Pro- gramms. Konvergenz zu runden Punkten folgt nun direkt aus der Beschr¨anktheit vonψund [31, Theorem A.1] von F. Schulze und O. Schn¨urer.

Wir verwenden das Computer Programm zum einen, um sehr aufwendige al- gebraische Umformungen durchzuf¨uhren, und zum anderen, um eine Monte-Carlo Methode anwenden zu k¨onnen. Neben Mathematica und Maple stellen wir das Computer Programm auch f¨ur das nicht-kommerzielle Computeralgebrasystem Sage zur Verf¨ugung. Das Computer Programm kann aufwww.martinfranzen.deherun- tergeladen werden.

1.4. Ausblick

1.4.1. Projekt I. Der Fokus dieses Projektes I lag auf einer monotonen Gr¨oße wie w = (−ηαX^α)^ρF e^βvρ, mit deren Hilfe wir C²-Absch¨atzungen f¨ur die Lang- zeitexistenz beweisen konnten.

Eine interessante Frage, die sich daran anschließt, ist die Frage nach dem Verhalten einer L¨osung f¨ur große Zeiten. Eine naheliegende Vermutung ist, dass L¨osungen f¨ur positive Potenzen der mittleren Kr¨ummung, wie im Fall des mittleren Kr¨ummungsflusses [10], gegen selbst¨ahnliche L¨osungen konvergieren — wobei die Existenz selbst¨ahnlicher L¨osungen ebenfalls noch zu zeigen w¨are.

1.4.2. Projekt II. War eine Maximum-Prinzip Funktion bekannt, so konnte bislang immer Konvergenz zu runden Punkten oder Konvergenz gegen Sph¨aren im Unendlichen gezeigt werden. Ein Beweis zur Allgemeing¨ultigkeit dieser Aussage steht allerdings noch aus.

Falsch ist die Aussage, dass bei Nicht-Existenz einer Maximum-Prinzip Funk- tion auch automatisch keine Konvergenz zu Sph¨aren in Unendlichen gilt. F¨ur negative Potenzen der Gaußkr¨ummung beweist C. Gerhardt [18] Konvergenz zu Sph¨aren im Unendlichen, obwohl es dort außer f¨ur negative Potenzen nahe Null keine Maximum-Prinzip Funktionen gibt. Die Aussage wiederum, dass bei Nicht- Existenz einer Maximum-Prinzip Funktion auch automatisch Konvergenz zu run- den Punkten gilt, scheint zu stimmen — zumindest f¨ur kleine positive Potenzen

1.4. AUSBLICK xiii

der Gaußkr¨ummung. Hier konnte B. Andrews [2, 4] zeigen, dass L¨osungen nicht notwendigerweise zu runden Punkten konvergieren m¨ussen. Wir wissen, dass hier auch keine Maximum-Prinzip Funktionen existieren k¨onnen.

Sicher l¨asst sich also bisher nur sagen, dass die Verwendung von Maximum- Prinzip Funktionen ein starkes Werkzeug zum Zeigen von Konvergenz zu runden Punkten und von Konvergenz zu Sph¨aren im Unendlichen f¨ur viele Normalenge- schwindigkeiten ist.

Um dies auch f¨ur weitere Normalengeschwindigkeiten zeigen k¨onnen, schlagen wir im Folgenden M¨oglichkeiten vor, die Methode der Maximum-Prinzip Funktio- nen weiter auszubauen.

1. Linearer Operator. Die Aufsplittung in konstante Terme undGradienten- Terme, um die Nicht-Positivit¨at des linearen Operators auf dem positiven Quad- ranten zu zeigen, ist offensichtlich hinreichend. Wir bezweifeln jedoch, dass sie notwendig ist. Um diese Bedingung abschw¨achen zu k¨onnen, m¨ussten wir die kovarianten Ableitungen der zweiten Fundamentalform ausreichend kontrollieren k¨onnen. Hier w¨are ein Ansatz, die Evolutionsgleichungen von Gr¨oßen wie |∇H|² und|∇A|² zu betrachten.

2. Pinching. Statt f¨ur eine einzige Funktion die Nicht-Positivit¨at des linearen Operators auf dem gesamten positiven Quadranten zu zeigen, m¨ochten wir ¨ahnlich wie in [8] Folgen von monotonen Gr¨ossen konstruieren, um so ein beliebig großes Pinching zu erhalten. Vorstellbar ist eine solche Vorgehensweise, da jede strikt konvexe Anfangshyperfl¨ache ein Pinching hat.

3. α-Bedingung. Die Erweiterung der rationalen Funktionen auf nicht-rationale Funktionen, welche derα-Bedingung gen¨ugen, war ein wichtiger Schritt. Allerdings m¨ochten wir nicht ausschließen, dass es beispielsweise analytische Funktionen gibt, mit deren Hilfe wir Konvergenz zu runden Punkten und zu Sph¨aren im Unendlichen zeigen k¨onnen.

1.4.3. Projekt III. Unser Computer Programm erm¨oglicht es uns, unter schwachen Pinching Bedingungen Konvergenz zu runden Punkten (F > 0) zu zeigen. Auch sieht es so aus, als ob sich die Methode auch auf expandierende Normalengeschwindigkeiten (F <0) ¨ubertragen ließe.

F¨ur h¨oherdimensionale F¨alle,Rⁿ⁺¹,n≥4, wird der Rechenaufwand schnell so groß, dass wir nicht daran glauben, die hier benutzte Methode weiter anwenden zu k¨onnen.

Stattdessen m¨ochten wir uns ¨ahnlich wie im FallR³auf Kontrollm¨oglichkeiten der zweiten Fundamentalform konzentrieren. Mit dem von uns gefundenen n- dimensionalen Analogon einer Vanishing Funktion

w=X

i<j

(λi−λj)² (λiλj)² F²

hoffen wir mit Integralabsch¨atzungen wie in [21], Konvergenz zu runden Punkten zeigen zu k¨onnen — insbesondere f¨ur alle Potenzen gr¨oßer als Eins der Gaußkr¨um- mung, der mittleren Kr¨ummung und der Norm der zweiten Fundamentalform.

xiv 1. EINLEITUNG

1.5. Danksagung Ich hatte eine gute Zeit in Konstanz.

Mein Dank gilt dabei insbesondere der Arbeitsgruppe Differentialgeometrie

• Oliver Sch¨urer, f¨ur die Betreuung meiner Dissertation und die Freiheit bei Wahl und Bearbeitung der Projekte

• Eva Dutt, f¨ur ihre Unterst¨utzung als Sekret¨arin

• Ben Lambert, f¨ur das Verbessern meines britischen Englischs

• Mathew Langford, f¨ur das Verbessern meines australischen Englischs

• Matthias Makowski, f¨ur seine Hilfe bei der Einarbeitung in das Gebiet der geometrischen Flussgleichungen

• Marcello Sani, f¨ur die Zeit als Mitpromovend und Mitbewohner

• Sebastian Wenzel, f¨ur die Zeit als Mitpromovend und B¨urokompagnon Ich bedanke mich bei

• Felix Schulze (UC London), f¨ur die Korrektur der Dissertation

Dem Fachbereich Mathematik und Statistik m¨ochte ich danken, insbesondere

• Gisela Cassola, f¨ur ihre Unterst¨utzung als Fachbereichssekret¨arin

• Robert Denk, f¨ur das Seminar ¨uber den mittleren Kr¨ummungsfluss

• Rainer Janßen, f¨ur das L¨osen eines fast jeden Problems als Fachbereichs- referent

Meinen Kooperationspartnern spreche ich einen besonderen Dank aus f¨ur die Zusammenarbeit rund um Computeralgebrasysteme

• Ferdinand Kuhl (M¨onchengladbach)

• Markus Schweighofer (Konstanz)

• Martin Westerholt-Raum (ETH Z¨urich/MPI Bonn/CTH G¨oteborg) Des Weiteren bedanke ich mich f¨ur die Finanzierung seitens

• der DFG als Mitglied des Schwerpunktprogramms 1489 — Algorithmische und Experimentelle Methoden in Algebra, Geometrie und Zahlentheorie

• des Fachbereichs Mathematik und Statistik W¨ahrend meines mathematischen Werdegangs

• FU Berlin, 2003–2005, Vordiplom bei Klaus Ecker

• Li`ege, 2005–2006, Erasmus

• Freiburg, 2006–2011, Diplom bei Ernst Kuwert

• Konstanz, 2011–2015, Promotion bei Oliver Schn¨urer

habe ich viel Unterst¨utzung erfahren, f¨ur die ich mich an dieser Stelle herzlich bedanken m¨ochte, bei meiner Partnerin Barbara Stekeler, bei meiner Familie, An- nelie Klima-Franzen, Ulrich Franzen, und Isabel Franzen, und bei Barbaras Familie, Brigitte Stekeler und Bernd Stekeler.

Zum Schluss bedanke ich mich ebenso bei meinen Freunden, die bislang noch nicht genannt wurden, Andreas Borgs, Sebastian Mosch, David Reinhaus, Hannes Rollin, Felix Jachan und Ananda Lahiri.

Part 2

Entire Graphs Evolving by Powers

of the Mean Curvature

CHAPTER 2

Overview

2.1. Main Results We consider the geometric evolution equation

d

dtX=−H^ρν, (2.1)

where ρ > 0. For ρ = 1 this is the well-known mean curvature flow. We show longtime existence for strictly convex graphical solutions fulfilling theν-condition.

Our main theorem is

Theorem2.1 (Entire graphs). Letρ >0. Letu0∈C_loc^2,β(Rⁿ)be strictly convex for some 0< β <1. Assume that for every ε >0 there exists r >0 such that for pointsp, q∈graphu0,|ν(p)−ν(q)|< εif|p−q|<1and|p|,|q| ≥r (ν-condition).

Then there exists a convex, strictly mean convex solution u∈C_loc^1,1;0,1(Rⁿ×[0,∞))∩C_loc^∞(Rⁿ×(0,∞)) to (2.2)— the graphical formulation of (2.1).

In [21], G. Huisken proved existence for closed, convex hypersurfaces forρ= 1.

These surfaces stay convex and contract to a point in finite time. F. Schulze [30]

generalized these results toρ >0. In the graphical setting K. Ecker and G. Huisken studied existence and asymptotic behavior forρ= 1 [10].

Our proof closely follows [29] — a paper with the working titleGauss curvature flows near cones by O. Schn¨urer and J. Urbas. In chapter 3.2, however, we study a different test function to show localC²-estimates.

The rest of the paper is organized as follows. We first state geometric preli- maries and some notation. Then we list the evolution equations needed in Section 3.2. There we apply the maximum principle to get upper velocity bounds which imply local C²-estimates. In Section 4 we explore the ν-condition and a special family of coordinate systems suitable for the local C²-estimates. For the lower bounds we use a Harnack inequality, see Section 5. Eventually we prove longtime existence.

2.2. Acknowledgments

We would like to thank O. Schn¨urer for discussions and support.

2.3. Geometric preliminaries

Theorem2.2 (Graphs for convex sets, [29]). Let Ω∈Rⁿ⁺¹ be an open convex unbounded set, ∅ 6= Ω 6= Rⁿ⁺¹. Assume that ∂Ω ∈ C_loc² and that the principal curvatures of∂Ωare everywhere strictly positive. Then there exists a rotation R of Rⁿ⁺¹, an open convex setU ⊂Rⁿ andu∈C_loc² (U)such that graphu|^U =R(∂Ω).

3

4 2. OVERVIEW

Proof. We may assume that 0∈Ω. For allk∈Nwe find pointsyk ∈Ω such that |yk| ≥k. We may assume that _|y^yk

k| converges toz∈Sⁿ and, after a rotation, thatz=en+1= (0, . . . ,0,1). Letπdenote the orthogonal projection ofRⁿ⁺¹onto Rⁿ× {0}. We identifyRⁿ× {0}andRⁿ. DefineU :=π(Ω).

Letx∈∂Ω and ν(x) be the outer unit normal to Ω at x. Thenνⁿ⁺¹(x)<0 for otherwise the strict convexity of ∂Ω contradicts yk ∈ Ω for k large enough.

Hence every line{a} ×R, a∈Rⁿ, intersects ∂Ω at most once. None of these lines is completely contained in Ω as Ω 6=Rⁿ⁺¹ and νⁿ⁺¹(x)<0 for any x∈ ∂Ω. As νⁿ⁺¹(x)<0 forx∈∂Ω,x+en+1∈Ω and henceπ(x)∈U. We conclude that∂Ω can be written as graphu|^U withu∈C_loc² (U).

2.4. Notation

Let Ω ⊂ Rⁿ. A function u : Ω → R is said to be convex if its epigraph {(x, y) ∈ Rⁿ ×R : y > u(x)} is a convex set. We say that a convex function u: Ω → R is strictly convex if its HessianD²u= (u_ij) has positive eigenvalues.

A functionu: Ω×[0,∞)→R is said to be (strictly) convex, ifu(·, t) is (strictly) convex for eacht.

We say that a functionusolving a parabolic equation is inC²ifu(·, t) is inC² for everyt. The spaceC^2;1 denotes those functions, where in addition all first time derivatives are continuous.

We use Greek indices running from 1 ton+ 1 for tensors in (n+ 1)-dimensional Euclidean space. It should not cause any problems that we also use H^ρ to denote the normal velocity and that β also appears in section 3.2. Latin indices refer to quantities on hyperspaces and run from 1 ton. The Einstein summation convention is used to sum over pairs of upper and lower indices unless we write explicit sums.

We raise and lower indices of tensors with the respective metrics or its inverses. A dot indicates a time derivative, e.g. ˙u.

In Euclidean space we will only use coordinate systems which differ from the standard coordinate system by a rigid motion. Therefore its metric is given by (¯g_αβ) = diag(1, . . . ,1) and the Codazzi equations imply that the first covariant derivative of the second fundamental form is completely symmetric. We use X = X(x, t) to denote the embedding vector of a manifoldM_t intoRⁿ⁺¹ and _dt^dX = ˙X for its total time derivative. It is convenient to identify M_t and its embedding in Rⁿ⁺¹. An embedding induces a metric (g_ij).

We will consider hypersurfacesM that can be represented as graphufor some functionu: Rⁿ →R. Let us useui to denote partial derivatives ofu. Using the Kronecker delta δ¨, we have uiδ^ijuj ≡ uiuⁱ =|Du|². The induced metric (gij) of graphuand its inverse g^ij

are given by

gij=δij+uiuj and g^ij =δ^ij− uⁱu^j 1 +|Du|², respectively.

We choose (ν^α) to be the downwards directed unit normal vector toMt. IfMt

is locally represented as graphu, we get (ν^α) = (Du,−1)

p1 +|Du|².

2.4. NOTATION 5

The embedding also induces a second fundamental form (hij). In the graphical setting it is given in terms of partial derivatives by h_ij = u_ij/p

1 +|Du|². We denote its inverse by ˜h^ij.

We write Latin indices, sometimes preceded by semicolons, e.g. h_ij;k, to indi- cate covariant differentiation with respect to the induced metric. SettingX_;ij^α :=

X_,ij^α −Γ^k_ijX_k^α, where a comma indicates partial derivatives, the Gauss formula is X_;ij^α =−hijν^α,

and the Weingarten equation is

ν_;i^α=h^k_iX_k^α≡hilg^lkX_k^α.

The eigenvalues of h_ij with respect to g_ij are the principal curvatures of the hypersurface and are denoted by λ₁, . . . , λ_n. A hypersurface is called convex if it is contained in the boundary of a convex body. It is called strictly convex if it is convex and all principal curvatures are strictly positive.

The mean curvature is the sum of the principal curvatures H =λ₁+. . .+λ_n=h_ijg^ij.

For graphical solutions, the initial value problem for the mean curvature flows (2.1) can be rewritten as follows







˙ u=p

1 +|Du|²

div

√ Du 1+|Du|²

ρ

inRⁿ×(0,∞),

u(·,0) =u0 inRⁿ.

(2.2)

It is a parabolic equation if and only ifuis strictly mean convex.

Let us also define the Gauss curvature K = ^deth_detg^ij

ij = λ1· · ·λn. We define F^ij:= _∂h^∂F

ij =ρH^ρ−1g^ij.

For tensors A and B, A_ij ≥ B_ij means that (A_ij−B_ij) is positive definite.

Finally, we usecto denote universal, estimated constants.

In order to compute evolution equations, we use the Gauss equation and the Ricci identity for the second fundamental form

R_ijkl=h_ikh_jl−h_ilh_jk,

h_ik;lj =h_ik;jl+h^a_kR_ailj+h^a_iR_aklj.

CHAPTER 3

C

-Estimates

3.1. Evolution Equations

Recall, e.g. [16, 17, 21, 26], that for a hypersurface moving according to d

dtX^α=−H^ρν^α≡ −F ν^α, we have

d

dtX^α−F^ijX_;ij^α = F^ijhij−F ν^α, d

dtF−F^ijF;ij =F F^ijh^k_ihkj.

We define η_α := (0, . . . ,0,1), ˜v := −η_αν^α, v := ˜v⁻¹ and obtain the following evolution equation

d

dtv−F^ijv;ij =−vF^ijh^k_ihkj−21

vF^ijvivj. 3.2. Local C²-Estimates

The idea is to use special coordinate systems to prove local a priori estimates on some sphere ∂B_r(0). Standard techniques as in F. Schulze [30] then imply a priori estimates inB_r(0).

We obtain local a priori estimates similar to [7, 19, 24]. For hypersurfaces which can be represented as a graph with small gradient, we get the following local C²-estimates.

Theorem3.1 (LocalC²-estimates I). Letρ >0,T >0,G >0, and(M_t)_t∈[0,T]

be a family of complete strictly convexC⁴-hypersurfaces solving (2.1). Pick a coor- dinate system such that eachM_t⁻:=M_t∩{xⁿ⁺¹≤0}can be written asgraphu(·, t) in some domain with|Du(·, t)| ≤Gin M_t⁻. If M₀⁻ is bounded, β =β(n, ρ)≥1 is large andG=G(n, ρ, β)>0 is small enough, then

(−ηαX^α)^ρF e^βvρ

is bounded in M_t⁻ by the maximum of c=c(n, ρ, β, G,max−ηαX^α) and its value att= 0.

We omit the proof as it is similar to the proof of the following theorem that allows also to localize in time.

Theorem 3.2 (Local C²-estimates II). Let ρ > 0, T > 0, G > 0, and (Mt)_t∈[0,T] be a family of complete strictly convex C⁴-hypersurfaces solving (2.1).

Pick a coordinate system such that each M_t⁻ :=M_t∩ {xⁿ⁺¹ ≤ 0} can be written

7

8 3. C²-ESTIMATES

as graphu(·, t) in some domain with |Du(·, t)| ≤ G in M_t⁻. If M₀⁻ is bounded, β=β(n, ρ)>1 is large andG=G(n, ρ, β)>0 is small enough, then

t^ρ(−η_αX^α)^ρF e^βvρ is bounded byc=c(n, ρ, β, G,max−ηαX^α,infF, T).

Proof. Letτ >0. We want to apply the parabolic maximum principle to

˜

w:=t(−ηαX^α)F^τe^βv in [

0≤t≤T

M_t⁻.

Consider a point (x0, t0)∈M_t⁻₀ such that ˜w(x0, t0)≥w(x, t) for all 0˜ ≤t≤t0 and x∈M_t⁻. We may assume thatt0>0 and ˜w(x0, t0)>0. Choose new coordinates aroundx₀∈M_t⁻

0such thatg_ij(x₀, t₀) =δ_ijandh_ij(x₀, t₀) is diagonal withh₁₁≥h_ii fori= 2, . . . , n. As in [16], we may consider

w:= logt+ log(−ηαX^α) + logF^τ+βv

instead of ˜w. We obtain at (x0, t0) due to the parabolic maximum-principle 0≤w˙ =1

t +−ηαX˙^α

−η_αX^α+τ F˙ F +βv,˙

(3.1) 0 =wi= −ηαX_i^α

−η_αX^α+τF;i

F +βvi, 0≥w;ij =−η_αX_;ij^α

−η_αX^α +τF;ij

F +βv;ij−ηαX_i^αηγX_j^γ

(−η_αX^α)² −τF;iF;j

F² , 0≤w˙ −F^ijw_;ij.

Due to the diagonal form ofF^ij(x0, t0) and according to section 3.1 we get 0≤1

t +1

v F^ijhij−F 1

−η_αX^α +τ 1

FF F^ijh²_ij +β −vF^ijh²_ij−21

v X

i

Fⁱⁱv²_i

!

+X

i

Fⁱⁱ

−η_αX_i^α

−ηαX^{α 2}

+1 τ

X

i

Fⁱⁱ

−ηαX_i^α

−η_αX^α +βv_i ²

by (3.1).

We have strict convexity, thus 0≤1

t +1

v F^ijh_ij−F 1

−ηαX^α+ (τ−βv)F^ijh²_ij +

1

τβ²−2β1 v

v⁴|Du|²F^ijh²_ij+

1 + 1 τ

|Du|²

(−η_αX^α)²trF^ij + 21

τβv² |Du|²

−ηαX^αF^ijh_ij,

3.2. LOCALC²-ESTIMATES 9

where we have assumedτ≤ ¹2β and have used that |ηαX_i^α|=|ui| ≤ |Du| ≤v and vi=−v²(−ηαν^α_i) =v²ηαh^k_iX_k^α=v²hiiηαX_i^α. Observe thatv≥1. We obtain

ΛF^ijh²_ij ≡

−τ+βv

1 +

2− 1 τβv

v²|Du|²

F^ijh²_ij

≤1

t +1 +_τ²βv²|Du|²

−ηαX^α F^ijhij+ 1 +_τ¹

|Du|² (−ηαX^α)² trF^ij. Set ¯w:=t(−ηαX^α)h11e^βv and letF =H^ρ, hence

Λ ¯w≤nt(−η_αX^α)e^βv

tρF +n 1 + ²_τβv²|Du|²

t(−η_αX^α)e^βv

−ηαX^α +n² 1 + ¹_τ

|Du|²t²(−ηαX^α)e^2βv t(−ηαX^α)²h11e^βv

≤c(|Du|, T, β, n, τ)

¯

w +c(|Du|, T, β,max−ηαX^α,infF, n, ρ, τ).

If we fix β large enough and then assume G is sufficiently small, so that the Λ- term becomes bigger than 1, ¯wis bounded. Due to ¹_nF^τ ≤h₁₁≤nF^τ for τ = ¹_ρ, t^τ1(−η_αX^α)^τ1H^ρe^βvτ1 is bounded and the claim follows.

CHAPTER 4

The ν -Condition and Coordinate Systems

4.1. Theν-condition

We define a class of hypersurfaces for which oscillations of the normal decay at infinity.

Definition 4.1 (ν-condition, [29]). The oscillation of the normal of aC¹-hy- persurface M ⊂Rⁿ⁺¹ is said to decay at infinity if for every ε >0, there exists r=r(ε)>0 such that for allp, q∈M\Br(0) such that|p−q|<1, we have

|ν(p)−ν(q)|< ε,

whereν denotes a continuous choice of the unit normal vector. We say that such a hypersurfaceM fulfills the ν-condition.

LetM ⊂Rⁿ⁺¹ be as above. ThenM is said to fulfill a uniformν-condition for ε >0 if for allp, q∈M such that |p−q|<1, we have|ν(p)−ν(q)|< ε.

A functionu∈C_loc¹ (Rⁿ) is said to fulfill a (uniform)ν-condition (forε >0) if graphuis a hypersurface that fulfills the (uniform) ν-condition (forε >0).

Remark4.2 (ν-condition and examples). A hypersurface which is close to the cone given by the graph of the function k :R² → R, x 7→max{x¹,−x¹, x²,−x²} does not fulfill theν-condition. The function u: Rⁿ →R, u(x) =|x|² fulfills the ν-condition.

Let u ∈ C¹(Rⁿ). Then for each (x, u(x)) there exists a rotated coordinate system such thatM = graphucan be written as a graph with small gradient in some neighborhood of (x, u(x)). Ifufulfills theν-condition and if|x|is sufficiently large, this neighborhood contains a ball of large radius. So for each pair of points p, q ∈ M with |p−q| ≥ 1, there exists a sequence p = p1, . . . , pk = q, pi ∈ M, such that|pi−pi−1|<1 andk ≤2|p−q|. Hence we could replace the condition

|p−q|<1 in Definition 4.1 by |p−q| < Rfor any fixedR >0 without changing the meaning of theν-condition for entire graphs.

Lemma 4.3 (Spheres acting as barriers for graphs). Let T > 0, ρ > 0, and u∈C_loc^2;1(Rⁿ×(0, T))∩C_loc⁰ (Rⁿ×[0, T])be a convex solution to (2.2). Assume that u ≥ 0. Let ε, rε > 0. Then there exist δ, rδ, depending only on (ε, rε, T, ρ, n), such that

sup

B_rε(0)×[0,T]

u≤ε if sup

B_rδ(0)×{0}

u≤δ.

Proof. The radius of a sphere evolving by (2.1) is given by r(t) = r(0)^ρ+1−(ρ+ 1)(n−1)^ρt_ρ+1¹

.

11

12 4. THE ν-CONDITION AND COORDINATE SYSTEMS

Assume without loss of generality thatrε>0 is so big that there exists a positive solutionhto

h+ε

2 ρ+1

−(ρ+ 1)(n−1)^ρT _ρ+1¹

=p

h²+r²_ε.

This means that a sphere of radiush+^ε₂ and center (0, h+ε) at time t= 0, which evolves according to (2.1) contains ∂B_rε((0, ε)) at t = T. It acts as a barrier if graphulies below it at t= 0. Hence it suffices to choose (δ, r_δ) = ^ε₂, h+^ε₂

.

Figure 1. Spheres acting as barriers

According to the proof of Lemma 4.3 we immediately get the following gener- alization which is independent of a graphical representation for all times.

Lemma 4.4 (Spheres acting as barriers). Let T >0, ρ >0. Let(Mt)0≤t≤T be a continuous family of complete convex hypersurfaces. Assume that it is smooth for t >0 and fulfills (2.1). Let Ωt denote the closed convex bodies such thatMt=∂Ωt

for all 0 ≤ t < T. Let ε, rε > 0. Then there exist (δ, rδ, h), depending only on(ε, r_ε, T, ρ, n), such that M_t∩(B_rε(0)×[0, ε])can be written as graphu|^Brε(0)

with0≤u≤ε inBr_ε(0) if B_h+^ε

2((0, h+ε))⊂Ω₀⊂

xⁿ⁺¹≥0 .

We will control the representation as a graph for hypersurfaces that fulfill the ν-condition.

Lemma 4.5 (Preserving the ν-condition, [29]). Let M ⊂Rⁿ⁺¹ be a complete convex hypersurface of class C¹ which fulfills the ν-condition. Let r ≥ 2 > 1 ≥ ε >0. Then there exists R >0 sufficiently large, depending only on r, ε and the ν-condition, such that for every x∈M with |x| > R, after a suitable rotation, a neighborhood of the origin ofM−x={y∈Rⁿ:y+x∈M} can be represented as graphu|^Br(0) with 0≤u≤ε inBr(0).

Proof. We assume without loss of generality that M −x is contained in xⁿ⁺¹≥0 . Locally, M −x can be represented as a graph. Due to the con- vexity ofM, we find a maximal open set such that there exists a functionu, which is convex and of classC¹, such that graphu⊂M −x. Let Ω be the subset, where

|Du|<^ε_r ≤ ¹2. Observe thatDu(0) = 0 and 0∈Ω.

4.1. THE ν-CONDITION 13

We claim that for|x|sufficiently large,Br(0)⊂Ω. Otherwise considerx0∈∂Ω with minimal |x0|. Pick points 0 =p0, p1, . . . , pk=x0,|pi|<|x0|,|pi−pi+1|< ¹₂ andk≤2r+ 1. Notice that|(pi, u(pi))−(pi−1, u(pi−1))|<1. We may assume that

|ν(p)−ν(q)|< δ for any fixedδ >0 andp, q∈graphu|^B|x0|(0) with|p−q|<1 by choosingR=R(δ, r)>0 sufficiently large. Induction yields

kδ≥ |ν(0)−ν((x₀, u(x₀)))|=

(0,−1)−(Du(x₀),−1) q

1 +_r^ε22

≥

ε r

q 1 + ^ε_r²2

≥ 1 2 ε r. We obtain (2r+ 1)δ≥ ¹2

ε

r which is impossible for δ >0 sufficiently small. Hence

|Du|<^ε_r inB_r(0).

The Lemma follows by integration.

The following Corollary shows that theν-condition is preserved during the flow.

Corollary4.6 (Preserving theν-condition). LetT >0, ρ >0. Let(M_t)_0≤t≤T be a continuous family of complete convex hypersurfaces which is smooth for t >0 and fulfills (2.1)there. Assume that M₀ fulfills the ν-condition. Then M_t fulfills the ν-condition for every0≤t≤T.

Proof. We want to apply Lemma 4.4 to a translated and rotated coordinate system forrε>0 big andε >0 small. According to Lemma 4.5, we can fulfill the assumption of Lemma 4.4 if the origin corresponds to a point outsideBRforR >0 sufficiently large before the change of coordinates. Hence we can apply Lemma 4.4.

Now convexity ensures that|Du(x)| ≤2_r^ε

ε for|x| ≤ ^r2^ε. Hence for all 0≤t ≤T the normals of graphu|^B_{rε/2 (0)} are close to−en+1 and the claim follows.

For initial data with bounded gradient that fulfill theν-condition, solutions are unique.

Lemma 4.7 (Uniqueness of solutions). Let ρ > 0 and 0 < T ≤ ∞. Let u0 ∈ C_loc¹ (Rⁿ) be strictly convex. Assume that u0 fulfills the ν-condition and sup_Rn|Du0|<∞. Let

u₁, u₂∈C_loc^2;1(Rⁿ×(0, T))∩C_loc⁰ (Rⁿ×[0, T)) be two strictly convex solutions to (2.2). Thenu₁=u₂.

Proof. By decreasingT if necessary, we may assume without loss of generality that T < ∞ and u1, u2 ∈ C^2;1(Rⁿ×(0, T]). According to Corollary 4.6, both solutions fulfill the ν-condition for any t ∈ [0, T]. The proof of that Corollary implies also that sup_i∈{1,2}sup_x∈Rnsup_t∈[0,T]|Dui(x, t)|<∞.

Assume that sup_Rn×(0,T]u1−u2 = ε > 0. According to Lemma 4.4 and the uniform gradient bound, the supremum is attained. Hence there exists (x0, t0)∈ Rⁿ×(0, T] such that (u1−u2)(x0, t0) =εand sup_Rn×{t}u1−u2< εfor anyt < t0. This, however, contradicts the maximum principle for compact domains.

The following Lemma 4.8 ensures in particular that for computing the distance to embedded tangent planes it suffices to minimize the distance to the embedded tangent plane over a compact set ifu(x)→ ∞for|x| → ∞.

Lemma4.8 (Distance to embedded tangent planes, [29]). Let u∈C_loc² (Rⁿ)be strictly convex,M = graphu. Assume thatu(x)→ ∞for|x| → ∞. LetR >0and

14 4. THE ν-CONDITION AND COORDINATE SYSTEMS

x0 ∈BR(0). Denote by TxM the embedded tangent plane T(x,u(x))M. Define the compact setK by

K:=∂BR(0)∪ {x∈Rⁿ\BR(0) :u(x)≤u(x0)}. Then

inf

Rⁿ\BR(0)dist (TxM,(x0, u(x0))) = inf

K dist(TxM,(x0, u(x0))).

Note that this expression is positive and continuous in x0.

The assumptionu(x)→ ∞ for|x| →is not necessary. We have included it as it makes it easier to write down the definition forK.

Proof. We will first reduce this question to a one-dimensional question. Let x ∈ Rⁿ\(BR(0)∪K). As the tangent planes Tx₀M and TxM are not parallel, they intersect in ann−1-dimensional plane. We may assume that this is invariant under translations by the vectors e2, . . . , en. Hence Du(x) is proportional to e1. Observe that all points, where Du is proportional to e1, lie on a C¹-curveγ. We project the situation orthogonally to the x¹, xⁿ⁺¹

-plane. Then the boundary of the projection ofM is given by the projection of graphu|^γ. It suffices to show that dist (T_xM,(x₀, u(x₀))) decreases if we movexalongγtowardsx₀. Hence it suffices to consider a two dimensional situation as shown in Figure 2. We do not introduce new notations for the projected objects.

Figure 2. Distance to embedded tangent planes

In Figure 2, x0 = 1 and x=−2. It shows the tangent plane and normal di- rection to graphuatxusing a thick line and at the shifted point using a thin line.

Dashed lines indicate the distance to the respective tangent lines. The geomet- ric situation, especially u(x) > u(x0), ensures that the dotted line that connects (x0, u(x0)) and (x, u(x)) and the part of graphu that connects these two points lie in the same quadrant of the ”thick coordinate system” atx0. Hence shiftingx towardsx0 decreases the distance considered as long asxis outsideK.

Positivity and continuity of the infima considered are clear.

4.2. CHOOSING APPROPRIATE COORDINATE SYSTEMS 15

Corollary4.9 (Disjointness of normal images). Let0< Tex≤ ∞,ρ >0. Let u∈C_loc^2;1(Rⁿ×(0, T_ex))∩C_loc⁰ (Rⁿ×[0, T_ex))

be a strictly convex solution to (2.2). Assume that u(·,0) fulfills the ν-condition.

Let R > r >0. Then there exists T =T(M0, r, R)>0 with T → ∞ as R → ∞ such that Du(B_r(0), t)∩Du

Rⁿ⁺¹\B_R(0),0

=∅ for all 0 ≤t ≤min{T, T_ex}. This is equivalent to disjointness of the respective normal images.

Proof. LetM0:= graphu(·,0). Fix |x|> R, |y|< r. The distance between the embedded tangent plane TxM0 and (y, u(y)) is positive. The considerations above, Lemma 4.3-Corollary 4.6, ensure that u(z, t)−u(z,0) is bounded for every t∈[0, T] in terms of especiallyRandTifzis close tox. If that distance corresponds to a distance which is smaller than the distance between the embedded tangent plane TxM0 and (y, u(y)), due to convexity we get ν(y, t) 6= ν(x,0) and hence Du(y, t) 6= Du(x,0). This establishes a lower bound on t such that Du(y, t) 6= Du(x,0). The Corollary follows as the estimates are uniform in randR.

4.2. Choosing Appropriate Coordinate Systems

Let us describe a family of coordinate systems that is suitable for the interior C²-estimates. Although a solution (Mt)_0≤t≤T to _dt^dX = −H^ρν is not known to exist at this stage, some of the following conditions involve the prospective solution Mt. This is then to be understood in the sense of a priori estimates, i.e. it has to be ensured that any graphical solution to _dt^d =−H^ρν which exists on the time interval [0, T] fulfills these properties.

Definition 4.10 ((R, T, G, H)-coordinate systems, [29]). LetR >0, T >0, G > 0, H > 0. Let u0 ∈ C_loc² (Rⁿ) and (Mt)_0≤t≤T be a strictly convex solu- tion to (2.1). Then a family of coordinate systemscsp and corresponding coordi- nates x˜¹, . . . ,x˜ⁿ⁺¹

p, p ∈ Sⁿ, is a family of (R, T, G, H)-coordinate systems for (M_t)_0≤t≤T if the following conditions are fulfilled.

(i) cspand the original coordinate system ofRⁿ⁺¹differ by a rotation about some point in Rⁿ⁺¹.

(ii) We denote the orthogonal projection of Mt∩

˜

xⁿ⁺¹<0 to

˜

xⁿ⁺¹= 0 by Ω_p,t and require also that S

0≤t≤TΩ_p,t =: Ω_p is bounded and Ω_p,t ∩ ({λp:λ >0} ×R) 6= ∅, where the expressions on the right-hand side refer to quantities in the original coordinate system.

(iii)

[

p,t

Mt∩

˜

xⁿ⁺¹_p <0 ⊂(Rⁿ\BR(0))×R,

where the expressions on the right-hand side refer once more to quantities in the original coordinate system.

(iv) In the coordinate systemcsp, for each 0≤t≤T, the setMt∩

˜

xⁿ⁺¹ <0 can be written as graph ˜u(·, t)|^Ωp,t, where ˜u∈C^2;1(Ωp×[0, T]) is strictly convex.

(v) In Ωp,t, we have the gradient estimatekDu˜kL^∞ ≤G.

(vi) Define Up:= graph ˜u|^{˜u<−H}. Then there exists a constantr≥Rsuch that graphu|^∂Br(0)⊂ [

p∈Sⁿ

Up.