Technische Universit¨at Graz SS 2021
Institut f¨ur Angewandte Mathematik Blatt 2
Univ.–Prof. Dr. O. Steinbach 23.3.2021
Dipl.–Ing. Mario Gobrial
Numerische Mathematik 3
6. Betrachtet wird das Robin–Randwertproblem
−∆u(x) = f(x) f¨urx∈Ω, ∂
∂nxu(x) +u(x) =g(x) f¨urx∈∂Ω.
Man stelle eine Variationsformulierung zur Bestimmung vonu∈H1(Ω) auf und untersu- che diese auf ihre eindeutige L¨osbarkeit.
7. Betrachtet wird das Dirichlet–Problem
−u00(x)−κ2u(x) = f(x) f¨urx∈(0,1), u(0) =u(1) = 0.
F¨ur welche κ ∈ R+ existiert keine eindeutige L¨osung? Unter welchen Voraussetzungen existiert in diesem Fall ¨uberhaupt eine L¨osung, wie kann diese bestimmt werden?
8. Gegeben sei eine gleichm¨assige Unterteilung von Ω = (0,1) in n finite Elemente τ` = (x`−1, x`), ` = 1, . . . , n. Sei Xh = span{ϕk}n−1k=1 ⊂ H01(0,1) der Raum der st¨uckweise linearen stetigen Basisfunktionenϕk(x). Man bestimme die SteifigkeitsmatrixKh mit den Eintr¨agen
Kh[`, k] = Z 1
0
ϕ0k(x)ϕ0`(x)dx f¨urk, `= 1, . . . , n−1.
9. F¨ur die in Aufgabe 8. bestimmte Steifgkeitsmatrix Kh bestimme man alle Eigenwerte und zugeh¨orige Eigenvektoren.
10. Man bestimme alle Eigenwerte der Matrix
A=
2 1 . . . 1 1 2 1 . . . 1 ... . .. ... 1 . . . 1 2 1 1 . . . 1 2
∈Rn×n.
Abgabe 2Gegeben sei eine gleichm¨assige Unterteilung von Ω = (0,1) innfinite Elemente τ` = (x`−1, x`), ` = 1, . . . , n. Mit Xh = span{ψ`}n`=1 sei der Ansatzraum der st¨uckweise konstanten Basisfunktionen
ψ`(x) =
1 f¨urx∈τ`,
0 sonst
gegeben. Man bestimme den TestraumYh = span{ϕk}nk=1 von in Ω stetig differenzierbaren Basisfunktionen ϕk mit
n
X
k=1
ϕk(x) = 1.
Weiters berechne man die Steifigkeitsmatrix Kh mit den Eintr¨agen
Kh[k, `] = Z 1
0
ψ`(x)[−ϕ00k(x)]dx f¨urk = 1, . . . , n.
