Ubungen zur Funktionalanalysis¨ Blatt 7
1 Seiϕ :H → R konvex und stetig und un + u eine schwach konvergente Folge, dann gilt
ϕ(u)≤lim infϕ(un).
2 2 SeiK⊂H abgeschlossen und konvex undϕ:K→Rkonvex und stetig. Dann besitzt
das Variationsproblem
J(v) =kvk2+ϕ(v)→min ∀v∈K
eine eindeutig bestimmte L¨osungu∈K. 4
3 SeiH ein komplexer Hilbertraum, dann l¨aßt sich jedes T ∈L(H) in der Form T =A+iB
ausdr¨ucken mit s.a. OperatorenA, B∈L(H). Man schreibt auch A= ReT, B= ImT.
Zeigen Sie bitte
T normal ⇐⇒ [ReT,ImT] = 0 und
T unit¨ar ⇐⇒ T normal ∧ (ReT)2+ (ImT)2= id.
6 4 SeiA∈L(H), so ist (A∗A)1/2 1der einzige positive OperatorP mit der Eigenschaft
(0.1) kP uk=kAuk ∀u∈H.
8 5 SeienA, P, U∈L(H), U unit¨ar und P ≥0. Wenn dannA=U P gilt, so heißtU P die
polare ZerlegungvonA(denken Sie anz=reiϕ).
Zeigen Sie bitte
(i) A=U P =⇒ P ist eindeutig bestimmt.
(ii) Sei Ainvertierbar, dann existiert eine eindeutig bestimmte polare Zerlegung.
(iii) F¨ur normale Operatoren existiert eine polare Zerlegung und alle drei Operatoren
kommutieren. 12
1Benutzen Sie, daß positive Operatoren eine s.a. positive Quadratwurzel besitzen.
