Methoden der Offline Bewegungsplanung Was erwartet mich in dieser Vorlesung?

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Methoden der Offline Bewegungsplanung Was erwartet mich in dieser Vorlesung?

Elmar Langetepe University of Bonn

Offline Bewegungsplanung Einf¨uhrung 14.10.13 cElmar Langetepe WS ’1314 1

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Organisatorisches

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Organisatorisches

• Bachelor BA-INF 124 Wahlpflicht, 4-6 Semester

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Organisatorisches

• Diplom neue DPO, Bereich A, Modulpr¨ufung 8 LP

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Organisatorisches

• Diplom neue DPO, Bereich A, Modulpr¨ufung 8 LP – Vorlesung 4 SWS, 5 LP, ¨Ubung 2 SWS, 3 LP

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Organisatorisches

– Vorlesung 4 SWS, 5 LP, Übung 2 SWS, 3 LP – Prüfungen: vorauss. mündlich

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Organisatorisches

– Vorlesung 4 SWS, 5 LP, Übung 2 SWS, 3 LP – Prüfungen: vorauss. mündlich

– Studienleistungen: Erfolgreiche ¨Ubungsteilnahme

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Organisatorisches

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Organisatorisches

• Ubungen: Dienstags 14:30-16.00 Uhr¨

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Organisatorisches

• W¨ochentlich, Beginn: 29.10

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Organisatorisches

• Aufgabenblatt, dienstags! Blatt I: 15.10 (2 Aufgaben)

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Organisatorisches

• Aufgaben, L¨osungen schriftlich, Abgabe, Korrektur, Besprechung

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Organisatorisches

• Bachelorarbeiten/Diplomarbeiten (Themenhinweise)

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Organisatorisches

• Projektgruppe (Java,www.geometrylab.de)

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Organisatorisches

• Folien/Skript online

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Organisatorisches

• Folien/Skript online

• Mailingliste https://lists.iai.uni-bonn.de/mailman/listinfo.cgi/vl-offline

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Ziele der Vorlesung

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Ziele der Vorlesung

• Fachlich: Verst¨andnis und Anwendung der typischen

algorithmischen Ans¨atze und Modelle zur Beantwortung

geometrischer Komplexit¨ats- und Optimierungsfragen in der

Bewegungsplanung von Agenten unter vollst¨andiger Information

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Ziele der Vorlesung

• Fachlich: Verst¨andnis und Anwendung der typischen

algorithmischen Ans¨atze und Modelle zur Beantwortung

geometrischer Komplexit¨ats- und Optimierungsfragen in der

Bewegungsplanung von Agenten unter vollst¨andiger Information

• Integrative Schlüsselkompetenzen: Analysefähigkeiten und Adaptionsfähigkeiten, Entwicklung eigener Lösungsansätze

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Einordung: Bewegungsplanung

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Einordung: Bewegungsplanung

• Maschinen/Agenten

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

• Mechanik

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

• Mechanik

• Kontroll- und Regelungstechnik

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

• Mechanik

• KI

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

• Mechanik

• KI

• Softwareengeneering

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

• Mechanik

• KI

• ...

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

• Mechanik

• KI

• ...

• L¨osungspl¨ane: Algorithmik

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Einordung: Bewegungsplanung

• Elektronik

• Mechanik

• KI

• ...

• L¨osungspl¨ane: Algorithmik

• Geometrische Algorithmen

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Geometrische Algorithmen

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Geometrische Algorithmen

• Geometrie des Agenten und der Szene sind gegeben

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Geometrische Algorithmen

• L¨ose Bahnplanungsproblem

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Geometrische Algorithmen

• Unterscheidung: Online/Offline

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Geometrische Algorithmen

• Fragen: Komplexit¨at der

L¨osungen/Laufzeitkomplexit¨at/Datenstrukturen

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Geometrische Algorithmen

• Untere Schranke/Obere Schranke

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Geometrische Algorithmen

• Strukturelle Eigenschaften

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Geometrische Algorithmen

• Modularer Aufbau (Black Box)

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Geometrische Algorithmen

• Viele Grundprobleme l¨osen

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Geometrische Algorithmen

• Viele Grundprobleme l¨osen

• Geometrische Algorithmen

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Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

s

t

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Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

• Achsenparalleles Rechteck von s nach t bewegen

s

t

(42)

Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

• Achsenparallele Hindernisse

s

t

(43)

Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

• Fragen:

s

t

(44)

Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

• Fragen: Geht das?

s

t

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Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

• Fragen: Geht das? Geringe Kosten?

s

t

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Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

• Fragen: Geht das? Geringe Kosten? Berechnung?

s

t

(47)

Bsp: Translation Quadrat unter Rechtecken

• Fragen: Geht das? Geringe Kosten? Berechnung?

• Idee: Referenzpunkt kollisionsfrei setzen s

t

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Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

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Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

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Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

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Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

Translation: Verschieben Referenzpunkt

s

t

(52)

Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

s

t

Aufblasen der Hindernisse

(53)

Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

s

t

Aufblasen der Hindernisse Vereinigung Sweep

(54)

Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

s

t

Kürzester Weg????

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Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

s

t

Kürzester Weg????

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Idee: Translation Quadrat unter Rechtecken

s

t

Kürzester Weg????

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Kap 1.1: K¨ urzeste Wege, polygonale Hindernisse

(58)

Kap 1.1: K¨ urzeste Wege, polygonale Hindernisse

• Polygonale Hindernisse: Definition

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Kap 1.1: K¨ urzeste Wege, polygonale Hindernisse

• Geschlossene Kantenz¨uge,

(60)

Kap 1.1: K¨ urzeste Wege, polygonale Hindernisse

• Geschlossene Kantenz¨uge, offene Kanten¨uge

(61)

Kap 1.1: K¨ urzeste Wege, polygonale Hindernisse

• Kantenfolge, Kanten schneiden sich nur an den Eckpunkten, nur aufeinanderfolgende

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Kap 1.1: K¨ urzeste Wege, polygonale Hindernisse

• Polygonale Szene: Hindernisse ber¨uhren sich nicht

t s

(63)

Kap 1.1: K¨ urzeste Wege, polygonale Hindernisse

• Polygonale Szene: Hindernisse ber¨uhren sich nicht

• Wie berechnet man den k¨urzesten Weg?

t s

(64)

Eigenschaften K¨ urzester Wege: Anzahl

s t

4

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Eigenschaften K¨ urzester Wege: Anzahl

• m Kanten, exponentiell viele (in m) k¨urzeste Wege

s t

4

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Eigenschaften K¨ urzester Wege: Anzahl

• Genauer h = 4m + 1 Kanten, 2^m+1 k¨urzeste Wege

s t

4

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Eigenschaften K¨ urzester Wege: Anzahl

• Pro Block verdoppeln,

s t

4

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Eigenschaften K¨ urzester Wege: Anzahl

• Pro Block verdoppeln, einmal verdoppeln am Ende

s t

4

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K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

(70)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Polygonale Kette ¨uber Ecken,

s

t

(71)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Polygonale Kette ¨uber Ecken,

s

t

(72)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Polygonale Kette ¨uber Ecken, lokal abk¨urzen

s

t

(73)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Nur ¨uber konvexe Ecken der Hindernisse

s

t

(74)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Innenwinkel kleiner 180 Grad,

s

t

< 180◦

> 180◦

(75)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Innenwinkel kleiner 180 Grad,

s

t

< 180◦

> 180◦

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K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Innenwinkel kleiner 180 Grad, lokal abk¨urzen

s

t

< 180◦

> 180◦

(77)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Uber gegenseitig¨ sichtbare Ecken

s

t

(78)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

s

t

(79)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Verwendet nur solche Kanten,

s

t

(80)

K¨ urzester Weg: Strukturelle Eigenschaften

• Verwendet nur solche Kanten, sonst abk¨urzen

s

t

(81)

Allg.: Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Liniensegmente

(82)

Allg.: Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Liniensegmente

• Menge L von nicht-schneidenden Segmenten gegeben

(83)

Allg.: Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Liniensegmente

• Berechne die gegenseitig sichtbaren Segmente

(84)

Allg.: Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Liniensegmente

• Berechne die gegenseitig sichtbaren Segmente

• Def. 1.1: Sichtbarkeitsgraph von L: VisG(L) = (V, E)

(85)

Def. 1.1: Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

(86)

Def. 1.1: Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

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Def. 1.1: Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

V = { alle Endpunkte der Liniensegmente in L }

E = { (p, q)|p, q ∈ V, pq kreuzt kein Liniensegment aus L }.

(88)

Def. 1.1: Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Sichtbarkeitsgraph einer Menge von Polygonen P_i

(89)

Def. 1.1: Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• VisG(L) mit L = {Kanten der P_i }

(90)

Def. 1.1: Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• VisG(L) mit L = {Kanten der P_i }

• Entfernen der im Inneren der Polygone liegenden Sichtbarkeitskanten

(91)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

(i) (ii)

(92)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• n Liniensegmente

(i) (ii)

(93)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²),

(i) (ii)

(94)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²), O(n²),

(i) (ii)

(95)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²), O(n²), Θ(n²)

(i) (ii)

(96)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²), O(n²), Θ(n²)

• Manchmal aber auch in O(n)

(i) (ii)

(97)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²), O(n²), Θ(n²)

• Laufzeit Berechnung bestenfalls O(n²),

(i) (ii)

(98)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²), O(n²), Θ(n²)

• Laufzeit Berechnung bestenfalls O(n²), oder Case-sensitiv

(i) (ii)

(99)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²), O(n²), Θ(n²)

• Obere Schranke durch konkretes Beispiel

(i) (ii)

(100)

Komplexit¨ at Sichtbarkeitsgraph VisG(L) = (V, E )

• Ω(n²), O(n²), Θ(n²)

• Obere Schranke durch konkretes Beispiel

• Untere Schranke durch Nachdenken

(i) (ii)

(101)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(102)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

Alg. 1.1: Berechnung des k¨urzesten Weges mittels VisG(P)

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(103)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

Alg. 1.1: Berechnung des k¨urzesten Weges mittels VisG(P) 1. Sichtbarkeitsgraph (V, E) f¨ur Hindernisse:

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(104)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

Alg. 1.1: Berechnung des k¨urzesten Weges mittels VisG(P) 1. Sichtbarkeitsgraph (V, E) f¨ur Hindernisse: O(n²)

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(105)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

1. Sichtbarkeitsgraph (V, E) f¨ur Hindernisse: O(n²) 2. Sichtbare Kanten von s aus: E₁,

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(106)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

1. Sichtbarkeitsgraph (V, E) f¨ur Hindernisse: O(n²) 2. Sichtbare Kanten von s aus: E₁, O(n²)

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(107)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

3. Sichtbare Kanten von t aus: E₂,

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(108)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

3. Sichtbare Kanten von t aus: E₂, O(n²)

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(109)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

4. All shortest path: Dijkstra auf (V ∪ {s, t}, E ∪ E₁ ∪ E₂)

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(110)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

2. und 3.:

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(111)

Was bringt der Sichtbarkeitsgraph?

2. und 3.: Kanten mit den Ecken, Test auf Schnitt

V isG (s, v),(v, t)

P3

P1 s

P2

t

(112)

Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Menge von Liniensegmenten

(113)

Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Menge von Liniensegmenten

• Naiv: O(n³)

(114)

Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Menge von Liniensegmenten

• Naiv: O(n³)

• Single-Source Sweep: O(n² log n)

(115)

Sichtbarkeitsgraph f¨ ur Menge von Liniensegmenten

• Naiv: O(n³)

• Single-Source Sweep: O(n² log n)

• Simultaner Sweep: O(n²)

(116)

Sweep Technik

(117)

Sweep Technik

• Ausfegen der Ebene mit Sweepline

(118)

Sweep Technik

• Komplexit¨atsreduktion: 2-Dim nach 1-Dim

(119)

Sweep Technik

• Sortieren und gem. Sort. fegen

(120)

Sweep Technik

• SSS (Sweep-Status-Struktur): Invariante in der N¨ahe der Sweepline

(121)

Sweep Technik

• ES (Ereignisstruktur): Haltepunkte der Sweepline

(122)

Sweep Technik

• Ereignisverarbeitung: Aktualisierung SSS

(123)

Sweep Technik

• Laufzeitanalyse: (# Ereignisse) x Kosten(Verab)

(124)

Sweep Technik

• Korrektheit Ergebnis: Invariante erf¨ullt

(125)

Sweep Technik

• Korrektheit Ergebnis: Invariante erf¨ullt

• Einfaches Beispiel: Punkte auf Linie, Closest pair

(126)

Single-Source Sweep: Punkt p

p

(127)

Single-Source Sweep: Punkt p

• F¨ur jeden Endpunkt p die sichtbaren Segmente bestimmen

p

(128)

Single-Source Sweep: Punkt p

• Nur zu einer Seite reicht aus

p

(129)

Single-Source Sweep: Punkt p

• Vereinigung dieser Kanten ergibt Sichtbarkeitsgraph

p

(130)

Single-Source Sweep: Punkt p

• Vereinigung dieser Kanten ergibt Sichtbarkeitsgraph

• Radialer Sweep f¨ur jeden einzelnen Punkt

p

(131)

Alg. 1.2: Single-Source Sweep: Punkt p

p

r0 q(α)

α

(132)

Alg. 1.2: Single-Source Sweep: Punkt p

• ES: Punkte rechts von p sortiert nach Polarkoordinaten

p

r0 q(α)

α

(133)

Alg. 1.2: Single-Source Sweep: Punkt p

• SSS: Balanc. Baum (Liste der Segmente)/dynam. Schl¨ussel (Entfernung)

p

r0 q(α)

α

(134)

Alg. 1.2: Single-Source Sweep: Punkt p

Vorderster Punkt q(α)

p

r0 q(α)

α

(135)

Alg. 1.2: Single-Source Sweep: Punkt p

Vorderster Punkt q(α)

• Initialisierung: Blick nach unten

p

r0 q(α)

α

(136)

Single-Source Sweep SSS: Balancierter Baum

p

s₃ s₁

s₂ s₅

s₄

s₃

s₄ s₂

s₆

s₅ s₆

s₁ α₅₁ q(α)

α₅₂

(137)

Single-Source Sweep SSS: Balancierter Baum

• Dynamische Schl¨ussel, Liniensegmente

p

s₃ s₁

s₂ s₅

s₄

s₃

s₄ s₂

s₆

s₅ s₆

s₁ α₅₁ q(α)

α₅₂

(138)

Single-Source Sweep SSS: Balancierter Baum

• Abh¨angig vom Winkel α, Distanz zum Liniensegment

p

s₃ s₁

s₂ s₅

s₄

s₃

s₄ s₂

s₆

s₅ s₆

s₁ α₅₁ q(α)

α₅₂

(139)

Single-Source Sweep SSS: Balancierter Baum

• Zeiger auf kleinstes Element des Baumes: q(α)

p

s₃ s₁

s₂ s₅

s₄

s₃

s₄ s₂

s₆

s₅ s₆

s₁ α₅₁ q(α)

α₅₂

(140)

Single-Source Sweep SSS: Balancierter Baum

• Zeiger auf kleinstes Element des Baumes: q(α)

• AVL B¨aume: Grundstudium

p

s₃ s₁

s₂ s₅

s₄

s₃

s₄ s₂

s₆

s₅ s₆

s₁ α₅₁ q(α)

α₅₂