Zusammenfassung: t-Test f¨ur den Mittelwert

7 Tests f¨ur Mittelwert und Varianz Gauß-Test f¨ur den Mittelwert 7.1

Zusammenfassung: Gauß-Test f¨ur den Mittelwert

bei bekannter Varianz

Anwendungs- exakt:Y∼N(µ, σ²) mitµ∈Runbekannt,σ²bekannt voraussetzungen approximativ:E(Y) =µ∈Runbekannt, Var(Y) =σ²bekannt

X1, . . . ,Xneinfache Stichprobe zuY

Nullhypothese H0:µ=µ0 H0:µ≤µ0 H0:µ≥µ0

Gegenhypothese H1:µ6=µ0 H1:µ > µ0 H1:µ < µ0

Teststatistik N=X−µ0

σ

√n

Verteilung (H0) Nf¨urµ=µ0(n¨aherungsweise)N(0,1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X=1

n Xn i=1

Xi

Kritischer Bereich (−∞,−N1−^α2) (N₁₋α,∞) (−∞,−N1−α) zum Niveauα ∪(N1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−Φ(|N|)) 1−Φ(N) Φ(N)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 133

7 Tests f¨ur Mittelwert und Varianz Gauß-Test f¨ur Anteilswertp7.2

Zusammenfassung: (Approx.) Gauß-Test f¨ur Anteilswert p

Anwendungs- approximativ:Y∼B(1,p) mitp∈[0,1] unbekannt voraussetzungen X1, . . . ,Xneinfache Stichprobe zuY

Nullhypothese H0:p=p0 H0:p≤p0 H0:p≥p0

Gegenhypothese H1:p6=p0 H1:p>p0 H1:p<p0

Teststatistik N= bp−p0

pp0·(1−p0)

√n

Verteilung (H0) Nf¨urp=p0n¨aherungsweiseN(0,1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen bp=1

n Xn

i=1

Xi

Kritischer Bereich (−∞,−N1−^α2) (N1−α,∞) (−∞,−N1−α) zum Niveauα ∪(N1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−Φ(|N|)) 1−Φ(N) Φ(N)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 135

7 Tests f¨ur Mittelwert und Varianz t-Test f¨ur den Mittelwert 7.3

Zusammenfassung: t-Test f¨ur den Mittelwert

bei unbekannter Varianz

Anwendungs- exakt:Y∼N(µ, σ²) mitµ∈R, σ²∈R++unbekannt voraussetzungen approximativ:E(Y) =µ∈R,Var(Y) =σ²∈R++unbekannt

X1, . . . ,Xneinfache Stichprobe zuY

Nullhypothese H0:µ=µ0 H0:µ≤µ0 H0:µ≥µ0

Gegenhypothese H1:µ6=µ0 H1:µ > µ0 H1:µ < µ0

Teststatistik t=X−µ0

S

√n

Verteilung (H0) tf¨urµ=µ0(n¨aherungsweise)t(n−1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X=1

n Xn

i=1

Xi

S= vu ut 1

n−1 Xn i=1

(Xi−X)²= vu ut 1

n−1 Xn

i=1

X_i²−nX²

!

Kritischer Bereich (−∞,−tn−1;1−^α2) (t_n−1;1−α,∞) (−∞,−tn−1;1−α) zum Niveauα ∪(tn−1;1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−F_t(n−1)(|t|)) 1−F_t(n−1)(t) F_t(n−1)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 139

7 Tests f¨ur Mittelwert und Varianz Chi-Quadrat-Test f¨ur die Varianz 7.4

Zusammenfassung: χ

-Test f¨ur die Varianz

einer normalverteilten Zufallsvariablen mitbekanntemErwartungswert

Anwendungs- exakt:Y∼N(µ, σ²),µ∈Rbekannt,σ²∈R++unbekannt voraussetzungen X1, . . . ,Xneinfache Stichprobe zuY

Nullhypothese H0:σ²=σ²0 H0:σ²≤σ0² H0:σ²≥σ²0

Gegenhypothese H1:σ²6=σ²0 H1:σ²> σ0² H1:σ²< σ²0

Teststatistik χ²=n·eS²

σ²₀ Verteilung (H0) χ²(f¨urσ²=σ²0) χ²(n)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen eS²=1

n Xn

i=1

(Xi−µ)²

Kritischer Bereich [0, χ²n;^α₂) (χ²_n;1−α,∞) [0, χ²n;α) zum Niveauα ∪(χ²_n;1−^α₂,∞)

p-Wert 2·min

Fχ²(n)(χ²), 1−Fχ²(n)(χ²) Fχ²(n)(χ²) 1−Fχ²(n)(χ²)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 148

7 Tests f¨ur Mittelwert und Varianz Chi-Quadrat-Test f¨ur die Varianz 7.4

Zusammenfassung: χ

-Test f¨ur die Varianz

einer normalverteilten Zufallsvariablen mitunbekanntemErwartungswert

Anwendungs- exakt:Y∼N(µ, σ²),µ∈Runbekannt,σ²∈R++unbekannt voraussetzungen X1, . . . ,Xneinfache Stichprobe zuY

Nullhypothese H0:σ²=σ²0 H0:σ²≤σ²0 H0:σ²≥σ²0

Gegenhypothese H1:σ²6=σ²0 H1:σ²> σ²0 H1:σ²< σ²0

Teststatistik χ²=(n−1)S²

σ²₀

Verteilung (H0) χ²(f¨urσ²=σ²0) χ²(n−1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen S²= 1

n−1 Xn

i=1

(Xi−X)²= 1 n−1

Xn i=1

X_i²−nX²

!

mitX=1 n

Xn i=1

Xi

Kritischer Bereich [0, χ²_n−1;^α₂) (χ²_n−1;1−α,∞) [0, χ²_n−1;α) zum Niveauα ∪(χ²_n−1;1−^α₂,∞)

p-Wert 2·min

Fχ²(n−1)(χ²), 1−Fχ²(n−1)(χ²) Fχ²(n−1)(χ²) 1−Fχ²(n−1)(χ²)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 151

8 Anpassungs- und Unabh¨angigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1

Zusammenfassung: Chi-Quadrat-Anpassungstest

zur Anpassung aneinevorgegebene Verteilung

Anwendungs- approximativ:Ybeliebig verteilt voraussetzungen X1, . . . ,Xneinfache Stichprobe zuY

k−1 Klassengrenzena1<a2< . . . <a_k−1vorgegeben

Nullhypothese H0:FY=F0

Gegenhypothese H1:FY6=F0

Teststatistik χ²= Xk

i=1

(ni−np⁰_i)² np⁰_i =n

Xk i=1

ni n−p_i⁰2

p⁰_i = 1 n

Xk i=1

n²_i p⁰_i

!

−n Verteilung (H0) χ²ist n¨aherungsweiseχ²(k−1)-verteilt, fallsFY=F0

(N¨aherung nur vern¨unftig, fallsnp⁰_i≥5 f¨uri∈ {1, . . . ,k}) Ben¨otigte Gr¨oßen p⁰i=F0(ai)−F0(ai−1) mita0:=−∞,ak:=∞,

ni= #{j∈ {1, . . . ,n} |xj∈(ai−1,ai]},i∈ {1, . . . ,k}

Kritischer Bereich (χ²_k−1;1−α,∞)

zum Niveauα

p-Wert 1−Fχ²(k−1)(χ²)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 158

8 Anpassungs- und Unabh¨angigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1

Zusammenfassung: Chi-Quadrat-Anpassungstest

zur Anpassung an parametrische Verteilungsfamilie

Anwendungs- approx.:Ybeliebig verteilt,X1, . . . ,Xneinf. Stichprobe zuY voraussetzungen Familie von VerteilungsfunktionenFθf¨urθ∈Θ vorgegeben

k−1 Klassengrenzena1<a2< . . . <a_k−1vorgegeben Nullhypothese H0:FY=Fθf¨ur einθ∈Θ Gegenhypothese H1:FY6=Fθ(f¨ur alleθ∈Θ) Teststatistik χ²=

Xk i=1

(ni−np_i⁰)² np_i⁰ =n

Xk i=1

ni n−p⁰i

2

p_i⁰ = 1 n

Xk i=1

n²_i p⁰_i

!

−n Verteilung (H0) χ²ist unterH0n¨aherungsweiseχ²(k−r−1)-verteilt,

wennbθML-Sch¨atzer desr-dim. Verteilungsparametersθauf Basis klassierter Daten ist (Verwendung vonbθsiehe unten).

(N¨aherung nur vern¨unftig, fallsnp⁰_i≥5 f¨uri∈ {1, . . . ,k}) Ben¨otigte Gr¨oßen pi⁰=F_bθ(ak)−F_θb(ak−1) mita0:=−∞,ak:=∞,

ni= #{j∈ {1, . . . ,n} |xj∈(ai−1,ai]},i∈ {1, . . . ,k}

Kritischer Bereich (χ²_{k−r−1;1−}α,∞) zum Niveauα

p-Wert 1−Fχ²(k−r−1)(χ²)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 169

8 Anpassungs- und Unabh¨angigkeitstests Chi-Quadrat-Unabh¨angigkeitstest 8.2

Zusammenfassung: Chi-Quadrat-Unabh¨angigkeitstest

Anwendungs- approximativ: (Y^A,Y^B) beliebig verteilt

voraussetzungen (X1^A,X1^B), . . . ,(Xn^A,Xn^B) einfache Stichprobe zu (Y^A,Y^B) Auspr¨agungen{a1, . . . ,ak}vonY^A,{b1, . . . ,bl}vonY^Boder Klassengrenzena1< . . . <ak−1zuY^A,b1< . . . <bl−1zuY^B Nullhypothese H0:Y^A,Y^Bstochastisch unabh¨angig

Gegenhypothese H1:Y^A,Y^Bnicht stochastisch unabh¨angig

Teststatistik χ²=

Xk i=1

Xl j=1

(nij−enij)² e nij =



 Xk i=1

Xl j=1

n²ij

e nij



−n Verteilung (H0) χ²ist n¨aherungsweiseχ²((k−1)·(l−1))-verteilt, fallsH0gilt

(N¨aherung nur vern¨unftig, fallsenij≥5 f¨ur allei,j) Ben¨otigte Gr¨oßen nij= #{m∈ {1, . . . ,n} |(xm,ym)∈Ai×Bj}f¨ur allei,jmit

Ai={ai},Bj={bj}bzw. KlassenAi,Bjnach vorg. Grenzen, e

nij=^ni·_n^·n·jmitn_i·=Pl

j=1nij,n_·j=Pk i=1nij, Kritischer Bereich (χ²(k−1)·(l−1);1−α,∞) zum Niveauα

p-Wert 1−Fχ²((k−1)·(l−1))(χ²)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 178

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei verbundenen Stichproben 9.1

Zusammenfassung: t-Differenzentest

Anwendungs- exakt: (Y^A,Y^B) gemeinsam (zweidimensional) normalverteilt, voraussetzungen E(Y^A) =µA,E(Y^B) =µBsowie Varianzen/Kovarianz unbekannt

approx.: E(Y^A) =µA,E(Y^B) =µB,Var(Y^A),Var(Y^B) unbek.

(X1^A,X1^B), . . . ,(Xn^A,Xn^B) einfache Stichprobe zu (Y^A,Y^B) Nullhypothese H0:µA=µB H0:µA≤µB H0:µA≥µB

Gegenhypothese H1:µA6=µB H1:µA> µB H1:µA< µB

Teststatistik t=X

S

√n

Verteilung (H0) tf¨urµA=µB(n¨aherungsweise)t(n−1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen Xi=Xi^A−Xi^Bf¨uri∈ {1, . . . ,n}, X=1

n Xn

i=1

Xi

S= vu ut 1

n−1 Xn

i=1

(Xi−X)²= vu ut 1

n−1 Xn

i=1

X_i²−nX²

!

Kritischer Bereich (−∞,−tn−1;1−^α2) (tn−1;1−α,∞) (−∞,−tn−1;1−α) zum Niveauα ∪(tn−1;1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−F_t(n−1)(|t|)) 1−F_t(n−1)(t) F_t(n−1)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 184

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Zusammenfassung: 2-Stichproben-Gauß-Test

bei bekannten Varianzen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²A),Y^B∼N(µB, σ²B), σ²_A, σ²Bbekannt voraussetzungen X1^A, . . . ,Xn^AAeinfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^BBzuY^B.

Nullhypothese H0:µA=µB H0:µA≤µB H0:µA≥µB

Gegenhypothese H1:µA6=µB H1:µA> µB H1:µA< µB

Teststatistik N= X^A−X^B

qσ²_A nA+^σ_n^B_B² Verteilung (H0) Nf¨urµA=µBN(0,1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A=_n¹_APnA

i=1Xi^A, X^B=_n¹_BPnB i=1Xi^B

Kritischer Bereich (−∞,−N1−^α2) (N₁₋α,∞) (−∞,−N1−α) zum Niveauα ∪(N1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−Φ(|N|)) 1−Φ(N) Φ(N)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 188

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Zusammenfassung: 2-Stichproben-t -Test

bei unbekannten, aber ¨ubereinstimmenden Varianzen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²_A),Y^B∼N(µB, σ_B²), µA, µB, σ_A²=σ_B²unbek.

voraussetzungen approx.: E(Y^A) =µA,E(Y^B) =µB,Var(Y^A) = Var(Y^B) unbekannt X1^A, . . . ,Xn^AAeinfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^BBzuY^B.

Nullhypothese H0:µA=µB H0:µA≤µB H0:µA≥µB

Gegenhypothese H1:µA6=µB H1:µA> µB H1:µA< µB

Teststatistik t= X^A−X^B

qS² nA+_n^S_B²

=X^A−X^B S

rnA·nB

nA+nB

Verteilung (H0) tf¨urµA=µB(n¨aherungsweise)t(nA+nB−2)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A=_n¹_APnA

i=1X_i^A, X^B=_n¹_BPnB i=1X_i^B, S=

r

(nA−1)S²_{Y A}+(nB−1)S²_{Y B} nA+nB−2 =

rPnA

i=1(X_i^A−X^A)²+PnB i=1(X_i^B−X^B)² nA+nB−2

Kritischer Bereich (−∞,−tnA+nB−2;1−^α2) (tnA+nB−2;1−α,∞) (−∞,−tnA+nB−2;1−α) zum Niveauα ∪(tnA+nB−2;1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−F_t(nA+nB−2)(|t|)) 1−F_t(nA+nB−2)(t) F_t(nA+nB−2)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 190

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Zusammenfassung: 2-Stichproben-t -Test f¨ur Anteilswerte

Anwendungs- approx.:Y^A∼B(1,pA),Y^B∼B(1,pB),pA,pBunbekannt voraussetzungen X1^A, . . . ,Xn^AAeinfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^BBzuY^B.

Nullhypothese H0:pA=pB H0:pA≤pB H0:pA≥pB

Gegenhypothese H1:pA6=pB H1:pA>pB H1:pA<pB

Teststatistik t=qbpA−bpB S² nA+^S_nB²

=bpA−bpB

S

rnA·nB

nA+nB

Verteilung (H0) tf¨urpA=pBn¨aherungsweiset(nA+nB−2)-verteilt (N¨aherung ok, falls 5≤nAbpA≤nA−5 und 5≤nBbpB≤nB−5) Ben¨otigte Gr¨oßen bpA=_n¹_APnA

i=1X_i^A, bpB=_n¹_BPnB i=1X_i^B, S=q

nA·bpA·(1−bpA)+nB·bpB·(1−bpB) nA+nB−2

Kritischer Bereich (−∞,−tnA+nB−2;1−^α2) (tnA+nB−2;1−α,∞) (−∞,−tnA+nB−2;1−α) zum Niveauα ∪(tnA+nB−2;1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−F_t(nA+nB−2)(|t|)) 1−F_t(nA+nB−2)(t) F_t(nA+nB−2)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 194

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Zusammenfassung: F -Test zum Vergleich der Varianzen

zweier normalverteilter Zufallsvariablen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²A),Y^B∼N(µB, σB²), µA, µB, σA², σ²Bunbek.

voraussetzungen X1^A, . . . ,Xn^AAeinfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^BBzuY^B.

Nullhypothese H0:σ²A=σB² H0:σ²A≤σ²B H0:σA²≥σ²B

Gegenhypothese H1:σ²_A6=σ_B² H1:σ²_A> σ²_B H1:σ_A²< σ²_B

Teststatistik F=S_Y²A

S_Y²B

Verteilung (H0) FunterH0f¨urσ²A=σ²BF(nA−1,nB−1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A=_n¹_APnA

i=1X_i^A, X^B=_n¹_BPnB i=1X_i^B, S_Y²A=_nA¹₋₁PnA

i=1(Xi^A−X^A)²=_nA¹₋₁ PnA i=1(Xi^A)²

−nAX^A2 S_Y²B=_nB¹₋₁PnB

i=1(Xi^B−X^B)²=_nB¹₋₁ PnB i=1(Xi^B)²

−nBX^B2

Kritischer Bereich [0,FnA−1,nB−1;^α2) (FnA−1,nB−1;1−α,∞) [0,FnA−1,nB−1;α) zum Niveauα ∪(FnA−1,nB−1;1−^α2,∞)

p-Wert 2·min

FF(nA−1,nB−1)(F), 1−FF(nA−1,nB−1)(F) FF(nA−1,nB−1)(F) 1−FF(nA−1,nB−1)(F)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 204

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche beik>2 unabh¨angigen Stichproben 9.4

Zusammenfassung: Einfache Varianzanalyse

Anwendungs- exakt:Yj∼N(µj, σ²) f¨urj∈ {1, . . . ,k}

voraussetzungen approximativ:Yjbeliebig verteilt mit E(Yj) =µj, Var(Yj) =σ² kunabh¨angige einfache StichprobenXj,1, . . . ,Xj,njvom Umfang njzuYjf¨urj∈ {1, . . . ,k},n=Pk

j=1nj

Nullhypothese H0:µ1=µjf¨ur allej∈ {2, . . . ,k}

Gegenhypothese H1:µ16=µjf¨ur (mindestens) einj∈ {2, . . . ,k}

Teststatistik F= SB/(k−1)

SW/(n−k)

Verteilung (H0) Fist (approx.)F(k−1,n−k)-verteilt, fallsµ1=. . .=µk

Ben¨otigte Gr¨oßen xj= 1 nj

nj

X

i=1

xj,if¨urj∈ {1, . . . ,k},x=1 n

Xk j=1

nj·xj,

SB= Xk

j=1

nj·(xj−x)²,SW= Xk j=1 nj

X

i=1

(xj,i−xj)²

Kritischer Bereich (Fk−1,n−k;1−α,∞)

zum Niveauα

p-Wert 1−FF(k−1,n−k)(F)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 211

10 Lineare Regression Konfidenzintervalle und Tests 10.4

Zusammenfassung: t-Test f¨ur den Parameter β

im einfachen linearen Regressionsmodell mit Normalverteilungsannahme

Anwendungs- exakt:yi=β1+β2·xi+uimituiiid

∼N(0, σ²) f¨uri∈ {1, . . . ,n}, voraussetzungen σ²unbekannt,x1, . . . ,xndeterministisch und bekannt,

Realisationy1, . . . ,ynbeobachtet

Nullhypothese H0:β1=β1⁰ H0:β1≤β1⁰ H0:β1≥β1⁰

Gegenhypothese H1:β16=β₁⁰ H1:β1> β₁⁰ H1:β1< β₁⁰

Teststatistik t=βb1−β⁰1

b σ_βb1 Verteilung (H0) tf¨urβ1=β⁰1t(n−2)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen βb2=sX,Y

s_X² ,βb1=y−βb2·x,σbβb1= s

(s²_Y−βb2·sX,Y)·x² (n−2)·sX²

Kritischer Bereich (−∞,−tn−2;1−^α2) (tn−2;1−α,∞) (−∞,−tn−2;1−α) zum Niveauα ∪(tn−2;1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−F_t(n−2)(|t|)) 1−F_t(n−2)(t) F_t(n−2)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 247

10 Lineare Regression Konfidenzintervalle und Tests 10.4

Zusammenfassung: t-Test f¨ur den Parameter β

im einfachen linearen Regressionsmodell mit Normalverteilungsannahme

Anwendungs- exakt:yi=β1+β2·xi+uimituiiid

∼N(0, σ²) f¨uri∈ {1, . . . ,n}, voraussetzungen σ²unbekannt,x1, . . . ,xndeterministisch und bekannt,

Realisationy1, . . . ,ynbeobachtet

Nullhypothese H0:β2=β⁰2 H0:β2≤β⁰2 H0:β2≥β⁰2

Gegenhypothese H1:β26=β⁰₂ H1:β2> β⁰₂ H1:β2< β⁰₂

Teststatistik t=βb2−β2⁰

b σ_βb2 Verteilung (H0) tf¨urβ2=β⁰2t(n−2)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen βb2=sX,Y

s_X² ,bσβb2= s

s_Y²−βb2·sX,Y

(n−2)·s_X²

Kritischer Bereich (−∞,−tn−2;1−^α2) (tn−2;1−α,∞) (−∞,−tn−2;1−α) zum Niveauα ∪(tn−2;1−^α2,∞)

p-Wert 2·(1−F_t(n−2)(|t|)) 1−F_t(n−2)(t) F_t(n−2)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 248