Aufgabe 1 (Bester Test). Geben Sie einen besten Test ϕ f¨ ur H

Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 7

Abgabe am 28.01.2014 in der Vorlesung

Aufgabe 1 (Bester Test). Geben Sie einen besten Test ϕ f¨ ur H

: ϑ = 0 gegen H

: ϑ = 1 zum Niveau α ∈ (0, 1/2) f¨ ur das folgende statistische Modell an:

(X = (0, 3), B((0, 3)), P

: ϑ ∈ {0, 1}) mit P

= U

und P

= U

. Aufgabe 2 (Einseitiger Test beim Lotto). Anhand von n Ziehungen des Samstagslotto

“6 aus 49” soll getestet werden, ob die “13” eine Ungl¨ uckszahl ist, weil sie seltener gezogen wird als zu erwarten w¨ are. Formulieren Sie das Testproblem und geben Sie (mit Hilfe der Normalapproximation der Binomialverteilung) einen Test zum Niveau α = 0.01 an.

Wie lautet Ihre Entscheidung f¨ ur die 2682 Ziehungen vom 9.10.1955 bis zum 3.3.2007, bei denen die “13” nur 264 mal gezogen wurde und mit Abstand am unteren Ende der H¨ aufigkeitsskala stand?

Aufgabe 3 (Test auf Gleichverteilung). Es wird vermutet, dass bei Pferderennen auf einer kreisf¨ ormigen Rennbahn die Startposition einen Einfluss auf die Gewinnchancen aus¨ ubt. Die folgende Tabelle gliedert 144 Sieger nach der Nummer ihrer Startposition auf (wobei die Startposition von innen nach außen nummeriert sind).

Startposition 1 2 3 4 5 6 7 8

H¨ aufigkeit 29 19 18 25 17 10 15 11

Testen Sie die Nullhypothese “gleiche Gewinnchancen” gegen die Alternative zum Niveau α = 0, 01 mit dem χ

-Anpassungstest.

Aufgabe 4 (Test auf Unabh¨ angigkeit). Der Einfluss von Vitamin C auf die Erk¨ altungs- h¨ aufigkeit soll getestet werden. Dazu werden 200 Versuchspersonen zuf¨ allig in zwei Grup- pen eingeteilt, von denen die eine jeweils eine bestimmte Dosis Vitamin C und die andere ein Placebo erh¨ alt. Es ergeben sich die folgenden Daten.

Erk¨ altungsh¨ aufigkeit geringer gr¨ oßer unver¨ andert

Kontrollgruppe 39 21 40

Behandlungsgruppe 51 20 29

Testen Sie zum Niveau 0,05 die Nullhypothese, dass Vitamin-Einnahme und Erkran-

kungsh¨ aufigkeit nicht voneinander abh¨ angen. Nutzen Sie den χ

-Test auf Unabh¨ angigkeit.