Ubungen zur Linearen Algebra II¨ Bergische Universit¨at Wuppertal
Blatt 11 Prof. Dr. Markus Reineke
Abgabe bis 12.01.2012, 12 Uhr Dr. Thorsten Weist
Aufgabe 1
SeiR5versehen mit dem Standardskalarprodukt und seiU :=h(1,2,3,0,0),(0,1,1,1,1)i.
Bestimme eine Orthonormalbasis vonU und eine Orthonormalbasis vonU⊥:={v∈V | hu, vi= 0 f¨ur alle u∈U}, dem orthogonalen Komplement vonU.
Aufgabe 2
Seien n∈Nund V derR-VektorraumMn,n(R). SeienU und W die Untervektorr¨aume von V mit
U :={A∈V | tA=A}bzw. W :={A∈V | tA=−A}.
Setze
b:V ×V →R,(A, B)7→Spur(AB).
Zeige:
a) Es gilt, dassb eine symmetrische Bilinearform aufV ist.
b) Es gilt
• V =U⊕W.
• b|U ist positiv definit.
Aufgabe 3
Sei V ein zwei-dimensionaler R-Vektorraum mit einer Raum- und einer Zeitdimension, d.h. mit einer BasisB= (x, t) und einer symmetrischen Bilinearformh,i:V ×V →R, so dass
hx, xi= 1,hx, ti= 0,ht, ti=−1.
Man nennt diesen Raum ”zweidimensionalen Minkowski-Raum”. Beschreibe die Menge aller Endomorphismen f ∈End(V), so dass
hv, wi=hf(v), f(w)i f¨ur alle v, w∈V, explizit.
Aufgabe 4
Betrachte den unit¨aren Vektorraum (C4,h ,i) wobeih ,idas Standardskalarprodukt sei.
SeiBdie Standardbasis desC4. Betrachte die lineare Abbildungf ∈End(C4), die durch die Matrix
MB(f) = 1
√2
1 i 0 0 i 1 0 0 0 0 1 i 0 0 i 1
gegeben ist. Berechne die Eigenwerte vonf sowie eine Orthonormalbasis A des C4, so dass MA(f) eine Diagonalmatrix ist.
Wir w¨ unschen allen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
Kathrin Kerkmann Markus Reineke Thorsten Weist
