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Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt XI vom 22. Dezember 2011

(Abgabe bis Freitag, 13. Januar 2012, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)

Aufgabe XI.1 (4 Punkte)

Seien f¨urm∈N, 1≤p <∞,H^m,p(R^d) undH₀^m,p(R^d) der Abschluss von C^∞(R^d) bzw.

C_c^∞(R^d) bzgl. derW^m,p-Norm. Beweisen Sie

H^m,p(R^d) =H₀^m,p(R^d).

Aufgabe XI.2 (5 Punkte)

Den folgenden Schluss haben wir in der Vorlesung bereits einige Male verwendet:

Seien 1 ≤p < q < r < ∞ und (un) eine Folge in L^p(R^d)∩L^r(R^d), welche beschr¨ankt ist in L^r(R^d). Weiterhin existiere ein u ∈ L^p(R^d) derart, dass ku_n−uk_Lp(R^d) → 0 f¨ur n→ ∞. Zeigen Sie:

∀n∈N: un∈L^q(R^d), u∈L^q(R^d) und ku_n−uk_Lq(R^d) →0 f¨urn→ ∞.

Aufgabe XI.3 (3+3 Punkte)

a) Seien X, Y und Z Banachr¨aume mit stetigen Einbettungen J1 : X ,→ Y und J₂ :Y ,→Z. Die Einbettung J₁ sei zudem kompakt.

Beweisen Sie, dass zu jedem ε > 0 eine Konstante C(ε)>0 existiert derart, dass f¨ur alle x∈X gilt:

kJ₁xk_Y ≤εkxk_X +C(ε)kJ₂(J₁x)k_Z.

b) Die folgende Aufgabe hat zum Ziel, das Resultat aus Teil a) zu veranschaulichen:

F¨urR >0 sei Ω =BR(0)⊂R^d. Zeigen Sie mit Hilfe elementarer Methoden, dass es zu jedem ε > 0 eine Konstante C(ε) > 0 gibt derart, dass f¨ur alle u ∈C²(Ω) gilt:

k∇uk_C(Ω)≤εkD²uk_C(Ω)+C(ε)kuk_C(Ω).

Aufgabe XI.4 (5 Punkte)

Seien Ω⊂R^doffen und beschr¨ankt sowieg∈H¹(Ω) undf ∈L²(Ω). Definieren Sie, was eine schwache L¨osungu von

(−∆u=f in Ω u=g auf ∂Ω ist und zeigen Sie, dass es maximal eine solche L¨osung gibt.

Wir w¨ unschen frohe Weihnachten und viel Erfolg im

neuen Jahr.